1、本卷第 1页（共 5页）分段函数的几种常见题型及解法【关键词】 分段函数; 定义域; 值域或最值; 函数值; 解析式; 图像; 反函数; 奇偶性; 方程; 不等式. 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 笔者就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：1求分段函数的定义域和值域例 1求函数 的定义域、12,0;()()3,;xf值域.
2、【解析】作图, 利用“数形结合”易知 的定义域为()fx, 值域为 . 1)(1,32求分段函数的函数值例 2 （05 年浙江理）已知函数 求 . 2|1|,(|)()xf12()f【解析】因为 , 所以 . 3122()|f31222314()()ff3求分段函数的最值例 3求函数 的最大值. 43(0)()15xf【解析】当 时, , 当 时, , 0xmax()03ff1xmax()14ff11o322-1yx-1本卷第 2页（共 5页）当 时, , 综上有 . 1x514xmax()4f4求分段函数的解析式例 4在同一平面直角坐标系中, 函数 和 的图象关于直线()yfx()g对称,
3、现将 的图象沿 轴向左平移 2个单位, 再沿 轴向上平移 1个单yx()ygx y位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数 的表达式为（ ()fx） 2(10).()2xxAf2().()0xBfx2(12).()4xCf26().()3xxDf【解析】当 时, , 将其图象沿 轴向右平移 2个单位, 再沿 轴向下0x12yxxy平移 1个单位, 得解析式为 , 所以112()yx, 当 时, , 将其图象沿 轴向右平移 2()2(1)fxx0x个单位, 再沿 轴向下平移 1个单位, 得解析式 , 所以y (2)14yxx, 综上可得 , 故选 A. 12()(02)fxx
4、20()()xf5作分段函数的图像例 5函数 的图像大致是（ ）|ln1|xye-12131o-2yx本卷第 3页（共 5页）A11oyxByx1 1OCyxO 11DyxO 116求分段函数得反函数例 6已知 是定义在 上的奇函数, 且当 时, , 设()yfxR0x()31xf得反函数为 , 求 的表达式. ()fxg()x【解析】设 , 则 , 所以 , 又因为 是定义在 上的奇函数, 0x()31xf()fxR所以 , 且 , 所以 , 因此()(ff0(f, 从而可得 . 31()()0xxf3log(1)0)()0lx7判断分段函数的奇偶性例 7判断函数 的奇偶性. 2(1)()0
5、xfx【解析】当 时, , , 当 时, 0xx22()(1)()(fxxfx0, 当 , , ()ff0因此, 对于任意 都有 , 22(1)()(xxxfxR()fxf所以 为偶函数. )f本卷第 4页（共 5页）8判断分段函数的单调性例 8判断函数 的单调性. 32(0)()xf【解析】显然 连续. 当 时 , 恒成立, 所以 是单调递增函()fx0x2()31fx()fx数, 当 时, 恒成立, 也是单调递增函数, 所以 在0()2f()f ()f上是单调递增函数; 或画图易知 在 上是单调递增函数. R()fxR例 9写出函数 的单调减区间. ()|1|fx【解析】 , 画图易知单1
6、23()()fxx调减区间为 . 12(,9解分段函数的方程例 10 （01 年上海）设函数 , 则满足方程 的812()log)xf 1()4fx的值为 x【解析】若 , 则 , 得 , 所以 （舍去）, 若142x2x(1x2x, 则 , 解得 , 所以 即为所求. 81log1483)310解分段函数的不等式例 11设函数 , 若 , 则 得取值范围是（ ）12(0)()xf0()1fx0x.(1,)A.(,)B20C.(,)(,)Dyx52o-1252xy1-1 1本卷第 5页（共 5页）【解析 1】首先画出 和 的大致图像, 易知 时, 所对应的 的取值范()yfx10()1fx0x
7、围是 . (,1),【解析 2】因为 , 当 时, , 解得 , 当 时, 0()fx0x021x01x0x, 解得 , 综上 的取值范围是 . 故选 D. 1201(,)(,)例 12设函数 , 则使得 的自变量 的取值范围2()41(xf1fxx为（ ）A B. (,20,1(,20,C. D. 1【解析】当 时, , 所以 , 1x2()1()0fxx或 21xx或 0当 时, , 所以 , 综413x1上所述, 或 , 故选 A项. 2x0x【点评：】 以上分段函数性质的考查中, 不难得到一种解题的重要途径, 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 效果明显.
