1、- 1 -二项式定理1二项式定理：，01() ()nnrnnabCabCabN 2基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做 的二项展开式。()二项式系数:展开式中各项的系数 .rn0,12,)项数：共 项，是关于 与 的齐次多项式(1)rab通项：展开式中的第 项 叫做二项式展开式的通项。用 表示。rrC 1rnrTCab3注意关键点：项数：展开式中总共有 项。()n顺序：注意正确选择 , ,其顺序不能更改。 与 是不同的。ab()nab()na指数： 的指数从 逐项减到 ，是降幂排列。 的指数从 逐项增到 ，是升幂排列。各项的次数和00等于 .系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系
2、数依次是 项的系数是12,.rnnCC与 的系数（包括二项式系数） 。ab4常用的结论：令 1,x012() ()n rnnnCxxN 令 , 1)x 5性质：二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即 ，0nC1knC二项式系数和：令 ,则二项式系数的和为 ，1ab0122rnnnC 变形式 。2rnnC 奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令 ，则 ，,0123()(1)0nnn从而得到： 0242 12r rnn 奇数项的系数和与偶数项的系数和： 012012100123(), (1)n nn nn nnnaxCaxCaxaxax 令 则 令
3、 则 024135, ()2(1), nnnaa 得 奇 数 项 的 系 数 和 得 偶 数 项 的 系 数 和二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数 是偶数时，则中间一项的二项式系数 取得最大值。2nC如果二项式的幂指数 是奇数时，则中间两项的二项式系数 , 同时取得n 1n最大值。系数的最大项：求 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别()nabx为 ，设第 项系数最大，应有 ，从而解出 来。121,Ar12rrAr- 2 -6二项式定理的十一种考题的解法：【题型一：二项式定理的逆用】【例 1】： 1232166 .nnnCC解： 与已知的有一些差距，013() n1
4、232112(6)n nnn C 01 1(66)(7nn【练 1】： 2319 .nnCC解：设 ，则1 nS2301233 1(3)nnnn nnCC ()4【题型二：利用通项公式求 的系数】nx【例 2】：在二项式 的展开式中倒数第 项的系数为 ，求含有 的项的系数？3241()3453x解：由条件知 ，即 ， ，解得 ，由25nCn290n9()10nn舍 去 或，由题意 ，2101034341()rrrrTxx 12,6rr解 得则含有 的项是第 项 ,系数为 。37610TC【练 2】：求 展开式中 的系数？29()x9解： ，令 ,则182 1831999()()2rrrrrrr
5、rTCxx9r3故 的系数为 。x39()【题型三：利用通项公式求常数项】【例 3】：求二项式 的展开式中的常数项？210()x解： ，令 ，得 ，所以520101 1)(rrrrrTCCx02r8891045()26TC【练 3】：求二项式 的展开式中的常数项？6(2)x解： ，令 ，得 ，所以6 6621 1)()()rrrrrrr x r334(0TC【练 4】：若 的二项展开式中第 项为常数项，则2)nx5_.n解： ，令 ，得 .44215(nnx206【题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项】【例 4】：求二项式 展开式中的有理项？93()- 3 -解： ，令 ,( )得 ，1
6、27193621 9()()rrrrrrTCxCxrZ09r39r或所以当 时， ， ，7463449(1)8Tx当 时， ， 。9r3r10x【题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和】【例 5】：若 展开式中偶数项系数和为 ，求 .23()nx256n解：设 展开式中各项系数依次设为2101,a,则有 ， ,则有 x令 010,nax令 0123(1)2,naa将-得： 35()2n135,n有题意得， ， 。86n9【练 5】：若 的展开式中，所有的奇数项的系数和为 ，求它的中间项。352()x 4解： ， ，解得02413211r rnnnnnCC 120n1n所以中间两个项
7、分别为 ， ，6,7565432()Txx6562Tx【题型六：最大系数，最大项】【例 6】：已知 ，若展开式中第 项，第 项与第 项的二项式系数成等差数列，求展开式中1(2)nx7二项式系数最大项的系数是多少？解： 解出 ，当 时，展开式中二项式系数最大465,1980,nnC14n或 n的项是 ， 当 时，展开式T和 34475()2C的 系 数 347()20,TC的 系 数 14n中二项式系数最大的项是 ， 。8T714()2的 系 数【练 6】：在 的展开式中，二项式系数最大的项是多少？2()nab解：二项式的幂指数是偶数 ，则中间一项的二项式系数最大，即 ，也就是第 项。21nT1
8、n【练 7】：在 的展开式中，只有第 项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？31()2nx5解：只有第 项的二项式最大，则 ，即 ,所以展开式中常数项为第七项等于5128n 628()7C【例 7】：写出在 的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？7()ab解：因为二项式的幂指数 是奇数，所以中间两项( )的二项式系数相等，且同时取得最大值，4,5第 项从而有 的系数最小， 系数最大。3447TC357TCab【例 8】：若展开式前三项的二项式系数和等于 ，求 的展开式中系数最大的项？91(2nx解：由 解出 ,假设 项最大，0129,nn121r1212)(4)x，化简得到 ，又 ， ，
9、展开111224rrrrAC9.40.rr0r- 4 -式中系数最大的项为 ,有1T120110()4689Cx【练 8】：在 的展开式中系数最大的项是多少？0(2)x解：假设 项最大，1rT10rrr，化简得到 ，又1121002(1)20,rrrrAr 解 得 6.37.k， ，展开式中系数最大的项为07778150TCx【题型七：含有三项变两项】【例 9】：求当 的展开式中 的一次项的系数？25(3)xx解法： ， ，当且仅当 时， 的展开25(32515()(3rrr 1r1rT式中才有 x的一次项，此时 ，所以 得一次项为42rTx 4523Cx它的系数为 。1450C解法： 250
10、514501455(3)()()()xCxCx故展开式中含 的项为 ，故展开式中 的系数为 240.44【练 9】：求式子 的常数项？3(2)x解： ，设第 项为常数项，则3611()x1r，得 , , .66216()r rrrTCxCx 0r3316()20TC【题型八：两个二项式相乘】【例 10】： 34221求 展 开 式 中 的 系 数 .解： 33()(),mmxxx的 展 开 式 的 通 项 是4441 10,123,4,nnnn的 展 开 式 的 通 项 是 其 中,0,()mn x 令 则 且 且 且 因 此.202 0343434()2(1)6CCC的 展 开 式 中 的
11、系 数 等 于【练 10】： 6134()()x求 展 开 式 中 的 常 数 项 .解：436103 3412610604(1) mnmnxx展 开 式 的 通 项 为 ,6,2,2, , 8mn 其 中 当 且 仅 当 即 或 或.03468616101024CC时 得 展 开 式 中 的 常 数 项 为【练 11】： 2 *3(1)( ,_.nx nNn 已 知 的 展 开 式 中 没 有 常 数 项 且 则解： 343()nrrnrnxxx展 开 式 的 通 项 为 通 项 分 别 与 前 面 的 三 项 相 乘 可 得44142C, ,28rrr展 开 式 中 不 含 常 数 项,8
12、765.n且 且 ， 即 且 且【题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和】【例 11】： 206(), ,2,_.xxSxS在 的 二 项 展 开 式 中 含 的 奇 次 幂 的 项 之 和 为 当 时- 5 -解： 206123206()xaxaxx设 =- -352052062061 )()()x 得 206 1() x Sx展 开 式 的 奇 次 幂 项 之 和 为 3206206206308,()()S 当 时【题型十：赋值法】【例12】：设二项式 的展开式的各项系数的和为 ，所有二项式系数的和为 ,若31()nxps,则 等于多少？27ps解：若 ，有 ， ，2301()n nxaa
13、x01nPa02nnSC令 得 ，又 ,即 解得14P7ps427()26n， .26()nn或 舍 去 【练 12】：若nx3的展开式中各项系数之和为 ，则展开式的常数项为多少？64解：令 ，则n1的展开式中各项系数之和为 ，所以 6n，则展开式的常数项为1x 2n336()Cx.540【例 13】： 209123209 20912(1) (),aaaxaxR若 则 的 值 为解： 0920910 0222, ,ax令 可 得091, .在 令 可 得 因 而【练 13】： 54321012345() , _.axxxa若 则解： 0014532,xaa令 得 令 得1245.a【题型十一：
14、整除性】【例 14】：证明： 能被 64整除2*89()nN证： 21138989n n 01121nnnCC()n 011288nnnCC由于各项均能被 64整除 2*364n能 被 整 除以上是二项式定理应用的十一种典型题型，可概括为三个方面的应用：二项式的展开式及组合先项原理的应用；通项公式的应用（求指定项如第三项、倒数第二项、含有 项、常数项、有理项、无2x理项等，还可求系数最大的项） ；赋值法的应用。另外，在题型上还可以与数列、函数等知识相结合。练习：1.已知(a+ b)n展开式中各项的二项式系数之和为 8 192, 则 (a+b)n的展开式中项数共有 ( )A.14 B.13 C.
15、12 D.15 - 6 -2.ab0,a+b=1,(a+b)9展开按 a 的降幂排列后第二项不大于第三项,则 a 的取值范围是 ( ) A. B. C. D.(1,+)51, 5454,3.在 的展开式中含常数项，则自然数 n 的最小值是 ( ) nx32 A.2 B.3 C.4 D.54.设( +x)10=a0+a1x+a2x2+a10x10,则(a 0+a2+a4+a10)2-(a1+a3+a 9)2的值是 ( ) A.1 B.-1 C.0 D.( -1)105.设(1+x)+(1+x )2+(1+x)3+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+an xn,当 a0+a1+a2+an=254
16、 时，n 等于 ( ) .A.5 B.6 C.7 D.86.在(1x) 4n+1 展开式中系数最大的项是 ( ) A.第 2n 项 B.第 2n+1 项C.第 2n 项和第 2n+1 项 D.第 2n+2 项7.(1+x)3+(1+x)4+(1+x)9+(1+x)10展开式中 x3项的系数是 ( ) A. B. C. D.10C4101C41C8. 的值为 ( ) 32A.3210 B.310 C. (29-1) D. (310-1)229. 多项式(1-2x) 6(1+x)4展开式中，x 最高次项为 ，x 3的系数为 .10 的展开式中 的系数为 （用数字作答）1(01011 在(x 2+3
17、x+2)5的展开式中 x 的系数为 ( ) A.160 B.240 C.360 D.80012 求(1+x+x 2)7(1-x)8展开式中 x10的系数. 13已知 的展开式中 的系数为 ，常数 的值为 9(a349a14. 展开式中的常数项是 ( ) 32|1|xA.12 B.-12 C.20 D.-2015. 展开式中有理项的个数是 ( ) 0315A.1 B.2 C.3 D.416.(2x+y-z)6 展开式中 的系数是 （ ）32xyzA.480 B.160 C.-480 D.-16017.已知 ),()1)(Nnmfm的展开式中 x的系数为 11，求展开式中 项系数的最小值；2x当 项系数取最小值时，求 展开式中 的奇次幂项的系数之和。2 xf
