1、远一中 2016 年下期高二第一次月考数学试题(理 A) (2016.9.29)命题：李冬昌 审题：龙小平 满分：150 分 时量：120 分钟一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.不在 3x+2y0，bbb a (B)aba b(C)ab ba (D)abab7.数列a n满足 a1=1, ,则数列 的前 10 项和为( )2(1nn 1n(A) (B) (C) (D)8.设 ,其中 a、b 是正实数,且 ab, ,则 A 与 B 的大小关系是( )A 242xB(A)AB (B)AB (C)An0,则 的最小值为( )nm42(A)1 (B)2 (C)4 (D
2、)812.设 x,y 满足条件 若目标函数 (a0,b0)的最大值为 10,则0,263yxbyaxz的最小值为( )ba32(A)25 (B)19 (C)13 (D)5二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.函数 y= 23x-的定义域是 .14.设等比数列 的公比 q=2,前 n 项和为 ,则 . nanS24a15.一船以每小时 15 km 的速度向东航行,在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60,行驶 4 h 后,船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15,这时船与灯塔距离为 km. 16.观察下面的数阵，则第 20 行第 9 个数是_14 3 25 6
3、7 8 916 15 14 13 12 11 1017 18 19 20 21 22 23 24 25 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.(本小题满分 10 分)已知 a，b，c 分别是ABC 的三个内角 A、B、C 的对边，若ABC面积为 ，c 2，A60 ，求 a、b 及角 C 的值3218.(本小题满分 12 分)已知等差数列 ， ， ，na9215a（1 ）求 的通项公式；na（2 ）若 ，求数列 的前 n 项和 bbnS19. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=2 sin xcos x-3sin2x-cos2x+2.(1)求 f(x)的最大值;(2)若AB
4、C 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足= ,sin(2A+C)=2sin A+2sin Acos(A+C),求 f(B)的值.20.(本小题满分 12 分)某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少 支援物资的任180t务该公司有 辆载重 的 型卡车与 辆载重为 的 型卡车，有 名驾驶员，每辆86tA410tB卡车每天往返的次数为 型卡车 次， 型卡车 次；每辆卡车每天往返的成本费 型为B3A元， 型为 元请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最320B504低？若只安排 型或 型卡车，所花的成本费分别是多少？21.(本小题满分 12 分)已知关于 x 的不等
5、式 tx2-6x+t22,均有 f(x)(m+2)x-m-15 成立,求实数 m 的取值范围.22.(本小题满分 12 分)已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 an2S nSn1 0(n2)，a1 . (1)求证： 是等差数列；12 1Sn(2)求 an的表达式；(3)若 bn2(1n)a n(n 2)，求证：b b b 0，bb b a Ba ba bC ab ba D aba b7.数列a n满足 a1=1, ,则数列 的前 10 项和为为( B )2(1nn 1na(A) (B) (C) (D)解析:依题意 an0 且 n2 时, =1+ ,即 - =1,数列 是以 1 为首项
6、,1 为公差的等差数列, ， ， ，S 10= - + - + - =n1n111nnan.故选 B.8. 设 ,其中 a、b 是正实数,且 ab, ，则 A 与 B 的大小关系是A 242xB( B )(A)AB (B)AB (C)A2 =2,即 A2,B=-x2+4x-2=-(x2-4x+4)+2=-(x-2)2+22,即 B2,AB.9.若ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足(a+b) 2-c2=4,且 C=60,则ABC 的面积为( A )(A) (B) (C) (D)3324363解析:由已知得 a2+b2-c2+2ab=4,由于 C=60,所以 cos C= =
7、,即 a2+b2-c2=ab,因此 ab+2ab=4,ab= , ；故选 A.CabSsin21310.已知a n为等差数列,其公差为-2,且 a7是 a3与 a9的等比中项,S n为a n的前 n 项和,nN *,则S10的值为( D )(A)-110 (B)-90 (C)90 (D)110解析:由题意得(a 1-12)2=(a1-4)(a1-16),解得 a1=20.S10=10a1+ (-2)=110.故选 D.11.已知 mn0, 则 的最小值为( C )nm42(A)1 (B)2 (C)4 (D)8解析:由 mn0 知 m-n0,m+ =m+ =m-n+ 2 =4,当且仅当 m-n=
8、2 时取等号.故选 C.12. 设 x,y 满足条件 ，若目标函数 (a0,b0)的最大值为 10,则0,263yxbyaxz的最小值为( D )ba32(A)25 (B)19 (C)13 (D)5解析:画出不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分).由 z=ax+by 知 y=- x+ ,故该直线经过可行域内的点 A 时,z 有最大值,由 得 z max=4a+6b=10,即 2a+3b=5, + = (2a+3b)（ + ）= (13+ + ) (13+26 )= 25=5,当且仅当 = ,且515151512a+3b=5,即 a=b=1 时等号成立.故选 D.二、填空题(本大题共 4 小
9、题,每小题 5 分,共 20 分)13.函数 y= 23x-的定义域是 .3,114.设等比数列 的公比 q=2,前 n 项和为 ,则 . nanS24a解析:设a n的首项为 a1,则 S4=15a1,a2=2a1, = .答案:15.一船以每小时 15 km 的速度向东航行,在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60,行驶 4 h 后,船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15,这时船与灯塔距离为 km. 解析:如图所示,由题意可知,AC=154=60(km),CAB=30,ACB=105,ABC=180-30-105=45.在ABC 中,由正弦定理知 = ,BC= = =30 (km).
10、答案:3016.观察下面的数阵，则第 20 行第 9 个数是_14 3 25 6 7 8 916 15 14 13 12 11 1017 18 19 20 21 22 23 24 25 答案 392解析 由题得每一行数字个数分 别为 a11， a23，a 35，a n2n1，它 们成等差数列，则前 20 行总共有 400 个数，2001a9因此第 20 行第 1 个数为 400，第 9 个数即为 392.三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.(本小题满分 10 分)已知 a，b，c 分别是ABC 的三个内角 A、B、C 的对边，若ABC面积为 ，c 2，A60 ，求 a、b 及角
11、 C 的值32解析 因为 S bcsinA ，所以 b2sin60 ，得 b 1.12 32 12 32由余弦定理 a2b 2c 22bc cosA，所以 a21 22 221 2cos603，则 a .3又由正弦定理 ，得 sinC 1，C90.asinA csinC csinAa 2 32318.(本小题满分 12 分)已知等差数列 ， ， ，n925（1 ）求 的通项公式；na（2 ）若 ，求数列 的前 n 项和 bbnS解：(1) 设数列 an 的公差为 d，则 a5=a2+3d.得 21=9+3d, d = 4, an = a2 + (n2) d = 4n + 1(2) bn = 2
12、 an, bn = 24n+1, 又 = 16, bn+1bn bn 是以 16 为公比的等比数列.b 1=25=32, Sn = = (16n 1)32(1 16n)1 16 321519.已知函数 f(x)=2 sin xcos x-3sin2x-cos2x+2.(1)求 f(x)的最大值;(2)若ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 = ,sin(2A+C)=2sin A+2sin Acos(A+C),求 f(B)的值.解:(1)f(x)= sin 2x-3sin2x-cos2x+2(sin2x+cos2x)= sin 2x+cos2x-sin2x= sin 2x
13、+cos 2x=2sin(2x+ ).f(x)的最大值是 2.(2)由 sin(2A+C)=2sin A+2sin Acos(A+C)得sin Acos (A+C)+cos Asin(A+C)=2sin A+2sin Acos (A+C)；化简得 sin C=2sin A,由正弦定理得 c=2a.又 b= a,由余弦定理得:a 2=b2+c2-2bccos A=3a2+4a2-4 a2cos Acos A= ，A= ,B= ,C= ,f(B)=f( )=2sin =1.20.(本小题满分 12 分)某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少 支援物资的任180t务该公司有 辆载重 的 型卡车与
14、辆载重为 的 型卡车，有 名驾驶员，每辆86tA410tB卡车每天往返的次数为 型卡车 次， 型卡车 次；每辆卡车每天往返的成本费 型为B3A元， 型为 元请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最320B504低？若只安排 型或 型卡车，所花的成本费分别是多少？解：设需 型、 型卡车分别为 辆和 辆列表分析数据Axy型车 型车 限量车辆数 y10运物吨数 24308费用 30x54yz由表可知 ， 满足的线性条件：xy，102438y 且 32054zx作出线性区域，如图所示，可知当直线 过 时，y(7.50)A，最小，但 不是整点，继续z(.)，xCDBA8O4向上平移直线
15、 可知， 是最优解这时32054zxy(52)，（元），即用 辆 型车， 辆 型车，成本费最min 68z A2B低若只用 型车，成本费为 （元），只用 型车，成本费为A3205（元）18054321.(本小题满分 12 分) 已知关于 x 的不等式 tx2-6x+t22,均有 f(x)(m+2)x-m-15 成立,求实数 m 的取值范围.解:(1)依题意可得 解得 t=-3,a=-3.(2)由（1）f(x)=x 2-2x-8.当 x2 时,f(x)(m+2)x-m-15 恒成立,x 2-2x-8(m+2)x-m-15,即 x2-4x+7m(x-1).对一切 x2,均有不等式 m 成立.而 =
16、(x-1)+ -22 -2=2.(当且仅当 x-1= 即 x=3 时等号成立)实数 m 的取值范围是(-,2.21.(本小题满分 12 分)已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 an2S nSn1 0(n2)，a1 . (1)求证： 是等差数列；12 1Sn(2)求 an的表达式；(3)若 bn2(1n)a n(n 2)，求证：b b b 1.2 23 2n(1)证明 当 n2 时，a nS nS n1 ，又 an2S nSn1 0，所以 SnS n1 2S nSn1 0.若 Sn0，则 a1S 10 与 a1 矛盾故 Sn0，所以 2.12 1Sn 1Sn 1又 2，所以 是首项为 2，公差为 2 的等差数列1S1 1Sn(2)解析 由(1)得 2(n1)2 2n，故 Sn (nN )1Sn 12n当 n2 时，a n2S nSn1 2 ；12n 12n 1 12nn 1
