1、1高中数学数列常见、常考题型总结题型一 数列通项公式的求法1前 n 项和法（知 求 ） nSa1nnS)2(例 1、已知数列 的前 n 项和 ，求数列 的前 n 项和a21|naT变式：已知数列 的前 n 项和 ，求数列 的前 n 项和n练习：1、若数列 的前 n 项和 ，求该数列的通项公式。答案：nS212n)(2、若数列 的前 n 项和 ，求该数列的通项公式。答案：a3aa33、设数列 的前 n 项和为 ，数列 的前 n 项和为 ，满足 ，nnT2Sn求数列 的通项公式。 4. 为 的前 n 项和， =3（ 1） ，求 （nN +）nSanSa5、设数列 满足 ，求数列 的通项公式（作差法
2、）2 *13()3-+na2.形如 型（累加法）)(1fan（1）若 f(n)为常数,即： ,此时数列为等差数列，则 = .dan1 nd)1(1（2）若 f(n)为 n 的函数时，用累加法.例 1. 已知数列 an满足 ,证明)2(3,11nn 23na例 2.已知数列 的首项为 1，且 写出数列 的通项公式.*1aN例 3.已知数列 满足 ， ，求此数列的通项公式.na31 )(1nn3.形如 型（累乘法）)(1fn（1）当 f(n)为常数，即： （其中 q 是不为 0 的常数） ，此数列为等比且 = .an1 na1nq（2）当 f(n)为 n 的函数时,用累乘法.例 1、在数列 中 ，
3、求数列的通项公式。答案：11,nn)2(2n练习：1、在数列 中 ，求 。答案：na11,nna)(nSa与 )1(an2、求数列 的通项公式。234.形如 型（取倒数法）srapn1例 1. 已知数列 中， ， ，求通项公式 )2(21nan na2练习：1、若数列 中， , ,求通项公式 .答案：na113nnana231n2、若数列 中， ， ，求通项公式 .答案：125形如 ,其中 )型（构造新的等比数列）0(,1cdn1（1）若 c=1 时，数列 为等差数列 ;（2）若 d=0 时，数列 为等比数列;ana（3）若 时，数列 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.且
4、cn方法如下：设 ,利用待定系数法求出 A)1An例 1已知数列 中， 求通项 .,2111nnan练习：1、若数列 中， , ,求通项公式 。答案：na2a12n2、若数列 中， , ,求通项公式 。答案：131nn n )3(n6.形如 型（构造新的等比数列）)(1fpn(1)若 一次函数(k,b 是常数，且 )，则后面待定系数法也用一次函数。bkf)( 0k例题. 在数列 中， ， ,求通项 .na21 361anna解：原递推式可化为 b()(比较系数可得：k=-6,b=9,上式即为 1nb所以 是一个等比数列，首项 ,公比为 .nb 2961a1即： ，故 .1)2(9nn)(996
5、)(na练习：1、已知数列 中， ， ，求通项公式a3141a(2)若 (其中 q 是常数，且 n 0,1)nf)若 p=1 时，即： ，累加即可n1若 时，即： ，后面的待定系数法也用指数形式。pp两边同除以 . 即： ,n qaqnn11令 ,则可化为 .然后转化为类型 5 来解，nqabb例 1. 在数列 中， ，且 求通项公式n521a)(31Nnnna1、已知数列 中， ， ，求通项公式 。答案：a)2(1n122、已知数列 中， ， ，求通项公式 。答案：n1 nn nn37题型二 根据数列的性质求解（整体思想）1、已知 nS为等差数列 的前 项和， 106a，则 1S ；na2、
6、设 、 T分别是等差数列 、 的前 n项和， 327nT，则 5ba .33、设 nS是等差数列 na的前 n 项和，若 5935,Sa则 （ ）5、在正项等比数列 中， 15722，则 35a_。6、已知 n为等比数列 前 项和， 4nS， 60n，则 n .n7、在等差数列 a中，若 ,84，则 219817的值为（ ）8、在等比数列中，已知 910()a， 920ab，则 10a . 题型三：证明数列是等差或等比数列A)证明数列等差例 1、已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 an+2SnSn1 =0（n2） ，a 1= .求证： 是等差数列；2nS1B）证明数列等比例 1、已知
7、数列 n满足 *1221,3,().nnaN证明：数列 1是等比数列； 求数列 a的通项公式；题型四：求数列的前 n 项和基本方法：A）公式法，B）分组求和法1、求数列 的前 项和 nS.n232. )12(75Sn3.若数列a n的通项公式是 an(1) n(3n2)，则 a1a 2a 10( )A15 B12 C12 D154.求数列 1，2+ ，3+ ，4+ ，2481n5.已知数列a n是 321,62 21,92 31,122 41， ，写出数列a n的通项公式并求其前 n 项和 Sn.C）裂项相消法，数列的常见拆项有： ； 11；()()kk例 1、求和：S=1+ n 321321
8、例 2、求和： 14 .D）倒序相加法，例、设 21)(xf，求： ).201()9()2()()()( 132091201 ffffff E）错位相减法，1、若数列 na的通项 nn3)(，求此数列的前 n项和 nS.2. （将分为 和 两种情况考虑）2130nSxx 1x4题型五：数列单调性最值问题例 1、数列 中， 492na，当数列 的前 n项和 nS取得最小值时， n . n a例 2、已知 S为等差数列 的前 项和， .16,2541当 为何值时， S取得最大值；例 3、设数列 n的前 项和为 nS已知 ， 3nn， *N（）设 3b，求数列 b的通项公式；（）若 1a ， ，求
9、a的取值范围题型六：总结规律题1 已知数列 na满足 ),2(5*1Nnan，且 n前 2014 项的和为 403，则数列 1n的前2014 项的和为？2 数列a n满足 an+1(1) n an 2n1，则a n的前 60 项和为？常见练习1方程 2640x的两根的等比中项是（ ）A 3 B 2 C 6 D 22、已知等比数列 na的前三项依次为 1a， ， 4a，则 nA 4nB 43nC132nD13n3一个有限项的等差数列，前 4 项之和为 40，最后 4 项之和是 80，所有项之和是 210，则此数列的项数为（ ）A12 B 1 C16 D184a n是等差数列， 101,0S，则使
10、 0na的最小的 n 值是（ ）A5 B 6 C7 D85.若数列 231,cos,cos, 前 100 项之和为 0，则 的值为（ ）A. ()3kZ B. ()kZ C. 2()3kZ D.以上的答案均不对6.设 2a=3,2b=6,2c=12,则数列 a,b,c 成A.等差 B.等比 C.非等差也非等比 D.既等差也等比7如果等差数列 n中， 34512a，那么 127.a( )（A）14 （B）21 （C）28 （D）358.设数列 na的前 n 项和 ，则 的值为( ) 3S4（A） 15 (B) 37 (C) 27 （D）649.设等比数列 的公比 ，前 n 项和为 ，则 （ ）n
11、2qnS2a5A B C D24215710.设 nS为等比数列 na的前 项和，已知 342Sa， 32Sa，则公比 q（ ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）611已知 n是等比数列， 2， 51，则 231n （ ）A 2(1)3 B 6(4)n C ()n D 2(4)12.若数列 na的通项公式是 ，则 ( ) 13na1220a（A）30 （B）29 （C）-30 （D）-2913.已知等比数列 n满足 0,2,n ，且 25(3)n，则当 1n时，212321logllogaa（ ） A. ()n B. () C. 2n D. 2()14巳知函数 (cs,0fx有两个不同的零点
12、 12,x,且方程 fxm有两个不同的实根 34,x.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数 m的值为 ( )A B C D15已知等比数列a n的前 n 项和 Snt 5n2 ，则实数 t 的值为( )15A4 B5 C. D.45 1516已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 4+a7+a10=9，S 14S3=77，则使 Sn 取得最小值时 n 的值为（ ）A4 B 5 C 6 D717若a n是等差数列，首项 a10，公差 d0 成立的最大自然数 n 是( )A4 027 B4 026 C4 025 D4 02418已知数列满足：a 11，a n1 ，(nN *)，若
13、bn1 (n) ，b 1，且数列b n是单调递增anan 2 (1an 1)数列，则实数 的取值范围为 ( )A2 B 3 C2 D319、由正数构成的等比数列a n，若 13242349aa，则 23a 20已知数列 na的前 项和为 ,S某三角形三边之比为 :，则该三角形最大角为 621、给定 (1)log2na（nN* ） ，定义乘积 12ka 为整数的 k（kN* ）叫做“理想数”，则区间1，2008内的所有理想数的和为 22设 1,d为实数，首项为 1a，公差为 d的等差数列 n的前项和为 nS，满足 34150，则 d的取值范围为 23设正整数数列 满足： ，且对于任何 ，有 ，则
14、 na24*nN1122nnaa1024.已知 n为等比数列, , 568a,则 10a_. 4725.设等差数列 的公差 不为 0， 若 是 与 的等比中项，则 _.ad19dk2kk26、已知函数 ()fx是一次函数，且 (),f()5,(4)ff成等比数列，设 ()naf，( N)（1）求 1nia；（2）设 2nb，求数列 nab的前 n 项和 nS。27、已知数列 n中， 1， 23，其前 项和 n满足 121nS（ 2n， *） （1）求数列 na的通项公式；（2）设 14()2(anb为非零整数， *N） ，试确定 的值，使得对任意*N，都有 nb1成立28已知数列 中 2215
15、, .3nnnaaa满 足（I）设 ，求证数列 是等比数列；（）求数列 的通项公式1nnbn29已知等差数列 满足： 4,9625.（）求 na的通项公式；（）若 nanq( 0)，求数列 nb的前 n 项和 nS.30已知数列 的前 项和为 ，且 .S1,4*1()6ntStN,为 常 数若数列 为等比数列，求 的值； 若 ，数列 前 项和为 ，()nt()1,lgtannnT时 取最小值，求实数 的取值范围当 且 仅 当 =6T31 是一个公差大于 0 的等差数列, 成等比数列, .()求数列 的通项公式; ()若521a462数列 和数列 满足等式: = ,求数列 的前 n 项和32已知
16、数列 na满足 11,4nna,其中 N*.()设 21nba,求证:数列 b是等差数列,并求7出 na的通项公式 na;()设 41nac,数列 2nc的前 项和为 nT,是否存在正整数 m,使得1nmTc对于 N*恒成立,若存在,求出 m的最小值,若不存在,请说明理由.33 已知各项均为正数的数列 前 n 项和为 ，首项为 ，且 成等差数列.（1）求数列 的通anS1anS,2na项公式；（2）若 ，设 ，求数列 的前 n 项和 .nbna)2(nbccT34一个等比数列 中， ，求这个数列的通项公式.n142381aa，35有四个数：前三个成等差数列，后三个成等比数列。首末两数和为 16，中间两数和为 12.求这四个数.36.已知等差数列 na满足： ， 576，数列 n的前 n 项和为 nS2（）求 n及 S；（）设 nba是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列 b的前 项和 nT.37.设 是公比为正数的等比数列， 1， 324a.（）求 na的通项公式； （）求数列的前 项和 . (21)nan38已知数列 的前 n 项和为 ，点 在直线 上.nS,n1yx（）求数列 na的通项公式；（）设 ，求数列 nb的前 n 项和为 ，并求使不13(2)()nnba nT等式 对一切 都成立的最大正整数 k 的值20nkT*N
