1、1数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和 7 种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和利用下
2、列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式： dnanS2)1(2)(112、等比数列求和公式： )()(11 qqnnn3、 4、)(21kSn )12(612nkSn5、 213)(nk例 1 已知 ，求 的前 n 项和.logl23x nxx32解：由 21logll1l 3323 2由等比数列求和公式得 （利用常用公式）nnxxS32 1n1)(2)(nn例 2 设 Sn1+2+3+n ，nN *,求 的最大值.1)3()nSnf解：由等差数列求和公式得 ， （利用常用公式）2n )2(1n 1)32()nSnf 643 6450)8(2n1 当 ，即
3、n8 时，)(maxf二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列a n b n的前n 项和，其中 a n 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例 3 求和： 132)2(7531nxxS解：由题可知， 的通项是等差数列2n1的通项与等比数列 的通项之积1)(n 1nx设 . （设制错位）nn xxxx )1(432得 （错位相减 ）nnn xS )12(21)( 1432再利用等比数列的求和公式得： nnxSx1)( 2)()(2Snn 例 4 求数列 前 n 项的和.,264,3解：由题可知， 的通项是等差数列2n的通项与等比数列 的通项
4、之积n n213设 nnS26243 （设制错位）141得 （错位相减 ）1432 2)( nn1n 24nS三、反序相加法求和这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） ，再把它与原数列相加，就可以得到 n 个 .)(1a例 5 求证： nnCC2)1(2(5320 证明： 设 . nnnS1把式右边倒转过来得（反序）0113)2()( nnnn 又由 可得mnC. nnn CS110)()1(+得 （反序相加）nn2)1()20 nn)(例 6 求 的值 89sii3sii1sin 22222 解：设 . in2S将式右边反序得. （反序） 1sii3
5、sin8sin9si 22222又因为 co),0co(xxx+得 （反序相加）89 )89cos(sin)2s(sin)1(sin2 22222 S S44.5题 1 已知函数4（1）证明： ；（2）求 的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1 ）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以 .练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例 7 求数列的前 n 项和： ，231,7,412naa解：设 )()()() 1S将其每一项拆开再重新组合
6、得（分组）)2374()11(2 naann当 a1 时， （分组求和）3(Sn2)1当 时， )(1nann2)13(1nan例 8 求数列n(n+1)(2n+1)的前 n 项和.解：设 kkak23)2(5 nkkS1)12( )32(2knk将其每一项拆开再重新组合得 Sn （分组）nknkk12131 )21()(3)(2223 nn （分组求和）()2nn 2)(1五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解 （裂项） 如：（1） （2）)(1(nffan nnta)
7、1ta()cos(1i （3） （4）)(n )12()2(an（5） )(1)(21)( an(6) nnnnnn S2)1(,2)()()( 1 则（7） (1)(1CABCABan （8） 1nn例 9 求数列 的前 n 项和.,1,32,n解：设 （裂项）na16则 （裂项求和）1321nSn )()()( 1n例 10 在数列a n中， ，又 ，求数列b n的前 n 项的和.12nan 12nnab解： 21n （裂项）)(82nb 数列b n的前 n 项和（裂项求和）)1()413()1()(8 nS 8例 11 求证： 1sinco89cos2cos1cos0 2解：设 1S （
8、裂项） nnta)1ta()cos(1i （裂项求和） 89cos12cos0S 8tan9t)2tan3(t)tan(t)0ta1(tsin tn89ti 1ctsisi2 原等式成立答案：六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 Sn.7例 12 求 cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.解：设 Sn cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179 （找特殊性质项）)180cos(nS n （cos1+ cos179）+（ cos2+ c
9、os178）+ （cos3+ cos177）+（cos89+ cos91）+ cos90 （合并求和） 0例 13 数列a n： ，求 S2002.nnaa12321,解：设 S2002 0由 可得nna12321,654a,2,3, 1110987 a ,2,3,1 656466266 kkkkkk aa （找特殊性质项）054 S 2002 （合并求和）20321 )()()( 626112876 kkkaaaa 020911943 202019 4636kkkkaa5例 14 在各项均为正数的等比数列中，若 的值.103231365 loglogl,9aa求解：设 1032313logl
10、ogl aaSn 由等比数列的性质 （找特殊性质项）qpnmqpn和对数的运算性质 得NMaaalll（合并求和）)log(l)og()og(l 6353932310313 aSn (l)l 6598 9logl9log33310七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前 n 项和，是一个重要的方法.例 15 求 之和.11个n解：由于 （找通项及特征）)10(9911 kkk个个 个n （分组求和）)10(9)0(9)()0(9321 n 13 个nn 910)(9n )(8n例 16 已知数列a n： 的值.11
11、)(,)3(18nnaa求解： （找通项及特征）)4(2)3()(11n （设制分组）)(1)4(218 nn （裂项）)41384 （分组、裂项求和） 111 ()42()( nnnna 839 31提高练习：1已知数列 中， 是其前 项和，并且 ，nanS1 142(,)nSaa设数列 ，求证：数列 是等比数列；),21(1b nb设数列 ，求证：数列 是等差数列；,2cn c2设二次方程 x - +1x+1=0(nN)有两根 和 ，且满足 6-2 +6=3na2(1)试用 表示 a ；13数列 中， 且满足 na2,841annaa12*N求数列 的通项公式；设 ，求 ；|21nnS nS
