1、1数列通项与求和一、数列的通项方法总结：对于数列的通项的变形，除了常见的求通项的方法，还有一些是需要找规律的，算周期或者根据图形进行推理。其余形式我们一般遵循以下几个原则：对于同时出现 , , 的式子，首先要对等式进行化简。常用的化简方法是因式分解，或naS者同除一个式子，同加，同减，取倒数等，如果出现分式，将分式化简成整式；利用 关系消掉 （或者 ），得到关于 和 的等式，然后用传统的求1nnnana通项方法求出通项；根据问题在等式中构造相应的形式，使其变为我们熟悉的等差数列或等比数列；对于出现 或 （或更高次时）应考虑因式分解，最常见的为二次函数十字相乘法，提2naS取公因式法；遇到 时还
2、会两边同除 .11na1. 规律性形式求通项1-1.数列a n满足 an+1= ，若 a1= ，则 a2016 的值是（ ）A B C D1-2.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦B 曼德尔布罗特（Benoit B Mandelbrot ）在 20 世纪 70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路下图按照的分形规律生长成一个树形图，则第 12 行的实心圆点的个数是（ ）A55 B89 C144 D2331-3.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第 n 行有 n 个数且两端的数均为 （n2），每个数是它下一行左右相邻两数的
3、和，如 ， ，2，则第 10 行第 4 个数（从左往右数）为（ ）A B C D2.出现 , , 的式子naS1-4.正项数列a n的前项和a n满足: 22(1)()0nnss(1)求数列a n的通项公式 an;(2)令 ,数列 bn的前 项和为 .证明:对于任意的 ,都有 .21nbnT*nN564nT1-5.设数列 的前 项和为 .已知 , , .nanS1a2123nSn*N(1) 求 的值;2(2) 求数列 的通项公式.n31-6.已知首项都是 1 的两个数列 ， 满足 .na),0(*Nnb0211nnnbab(1)令 ，求数列 的通项公式；nbacnc(2)若 ，求数列 的前 项
4、和 .13nanS牛刀小试：1.已知数列 的前 n 项和为 Sn， 1，且 ，数列 aa12()(1)*nnSSNnb满足 ， ，其前 9 项和为 63.210(*)nbN53b（1）求数列数列 和 的通项公式；na2.已知数列 的前 n 项和为 ,且anS11,.2nnaa(1)求 的通项公式;n(2)设 恰有 4 个元素,求实数 的取值* *2, ,n nbNMbN， 若 集 合 范围.43.需构造的（证明题）1-7.已知数列 的前 项和为 ,且满足 , .nanS021nnSa21a(1) 求证: 是等差数列;nS(2)求 表达式 ；a1-8.设数列a n的前 n 项和为 Sn，且首项
5、a13，a n+1=Sn+3n（nN *）（1）求证：S n3n是等比数列；（2）若a n为递增数列，求 a1 的取值范围牛刀小试1已知数列 中， ， na1321na)(Nn（1）证明：数列 是等比数列； （2）求数列 的前 n 项和为 n nanS52.数列 中， 1， nana)(1241Nnabn，（1）求证：数列 是等差数列； b二、数列求和与放缩数列求和的考察无外乎错位相减、裂项相消或者是分组求和等，但有一些通项公式需要化简才可以应用传统的方法进行求和。对于通项公式是分式形式的一般我们尝试把“大”分式分解成次数（分母的次数）相等的“小”分式，然后应用裂项相消的方法进项求和。放缩，怎
6、么去放缩是重点，一般我们不可求和的放缩为可求和的，分式形式，分母是主要化简对象。2-1. 数列 满足 .na )(21,211 Nnana（1） 设 ，求数列 的通项公式.nabnb（2） 设 ，数列 的前 n 项和为 ，不等式 对一切 成1nccnSnSm412 N立，求 m 的范围.2-2.设数列 满足 且na101.nna（1）求 的通项公式；n（2）设 11,1.nnn knabbS记 S证 明 ：62-32-42-5牛刀小试：71.已知等差数列a n的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1， S2，S 4 成等比数列(1)求数列a n的通项公式；(2)令 bn(1) n1 ，求数
7、列b n的前 n 项和 Tn.4nanan 1三、数列与不等式问题在这类题目中一般是要证明 ，一般思路有两种：1.若a n可求和或 者 一 个 常 数nfa，则可直接求出其和，再转化为 ，而后一般转化为函数，或单调性来比较大小；2.nSS若a n不可求和，则利用放缩法转化为可求和数列，再重复 1 的过程。1.应用放缩法证明，将不规则的数列变成规则的数列，将其放大或是缩小。但如果出界了怎么办（放的太大或缩的太小），一般情况下，我们从第二项开始再放缩，如果还大则在尝试从第三项开始放缩。2.应用数列单调性求数列中的最大或最小项。我们一般将数列中的 看做自变量， 看做因变nna量 ，用函数部分求最值方
8、法来求数列的最值；或者可以利用做商比较大小（一般Nnfa)(出现幂时采取这个方法）；也可相减做差求单调性。3-1.设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且 满足 ，nanS23nnSS20.nN（1）求 的值；1a（2）求数列 的通项公式；n（3）证明：对一切正整数 ，有 .12113naaa83-2记公差不为 0 的等差数列 的前 项和为 ， ， 成等比数列nanS93853a，(1) 求数列 的通项公式 及 ；naS(2) 若 ，n=1，2，3，问是否存在实数 ，使得数列 为单调递减数列？若)(2c nc存在，请求出 的取值范围；若不存在，请说明理由牛刀小试：1.数列 的前 项和为 ，已知
9、 ， ( ).nanS12a21)nSan*N(1) 求 ；23,(2) 求数列 的通项；n(3)设 ,数列 的前 项和为 ,证明: ( ).+1nbSnbnT52n*N2.设数列 的前 项和为 .已知 , , .nanS1a2123nSn*N(1) 求 的值;29(2) 求数列 的通项公式;na(3) 证明:对一切正整数 ,有 .1274naa3.数列作业1.设数列 的前 项和为 ，且 ，nanS42n（1）求数列 的通项；（2）设 ，数列 的前 项和为 ,求证： .nbnbnT14n2.已知 是各项均为正数的等比数列，且 na1234,2.aa(I)求数列 的通项公式；(II)设数列 满足
10、 ，求数列 的前 项和。nb )(1231*2 Nnnb nb103.已知数列 的各项均为正数，其前 项和为 ，且满足 ， N .nannS11,2nnaS*（1）求 的值；2（2）求数列 的通项公式；n（3）是否存在正整数 , 使 , , 成等比数列? 若存在, 求 的值； 若不存在, 请说明理kka21S4k k由.4.已知 为数列 的前 项和， （ ），且 nSna3(1)nSa*nN21a（1）求 的值；1（2）求数列 的前 项和 ；nn（3）设数列 满足 ，求证： .nbnS1232nb5.设数列 的前 项和为 ，且 .nanS1na（1）求数列 的通项公式；（2）设数列 满足： ，又 ，且数列 的前 项和为 ，求证：nb1na1nnbacncnT.3nT
