勾股定理导学案.doc

1、1cb aD CA B勾股定理1 勾股定理（一）学习目标：1. 了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。2. 利用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三条边的长。学习重点：探索和验证勾股定理。学习难点：证明勾股定理。导学流程：一、 自主学习前置学习：自学指导：阅读教材第 64 至 66 页，完成下列问题。1. 教材第 64 至 65 页思考及探究。2. 画一个直角边为 3cm 和 4cm 的直角ABC，用刻度尺量出 AB 的长。 （勾 3，股 4，弦 5） 。以上这个事实是我国古代 3000 多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三

2、角形，勾广三，股修四，弦隅五。 ”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是 3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是 5。再画一个两直角边为 5 和 12 的直角ABC，用刻度尺量 AB 的长。你是否发现 + 与 的关系， + 和234221的关系，即213+ _ ， + _ ，那么就有_4513+_ =_ 。( 用勾、股、弦填空)2对于任意的直角三角形也有这个性质吗？要点感知：如果直角三角形的两直角边长分别是、 ， 斜边为 ，那么 ，即abc直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的 。二、展示成果活动 1 已知：在ABC 中，C=90，A、B、C 的对边为 、 、 。求证：

3、abc。22abc证明：如赵爽弦图，思考：除此之外，还有证明勾股定理的其他办法吗？活动 2 如果将活动 1 中的图中的四个直角三角形按如图所拼，又该如何证明呢？知识点归纳：上述问题可视为命题 1 的证明命题 1 如果直角三角形的两直角边长分别为 、a， 斜边为 ，那么 。bc总结：经过证明被确认正确的命题叫 。命题 1 在我国称为 ，而在西方称为 。三、合作探究活动 3 已知在 RtABC 中，C=90，、 、 是ABC 的三边，则abc（1） = 。 （已知 、 ，求 ）cba（2） = 。 （已知 、 ，求 ）（3） = 。 （已知 、 ，求 ）活动 4 ABC 的三边 a、b、c，（1）

4、若满足 ，则C 是 角；22（2）若满足 ，则C 是 角；（3）若满足 ，则C 是 角。22abc四、当堂自测bbbbccccaaaa bbbbaa ccaa2AC BD基础训练：1. 在直角三角形 ABC 中， C=90，若 ，=5a，则 。=12bc2. 在直角三角形 ABC 中，若 ， ，则 3abc。3. 若把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2 倍，则其斜边扩大到原来的 。4. 在 中， ABC90（1）已知 ， ，求 的长68AB（2）已知 ， ，求 的长175C能力提升：5. 直角三角形的两边长的比是 ，斜边长是3:420，则它的两直角边的长分别是 。五、中考链接1.（201

5、1 广东肇庆，13，3 分）在直角三角形ABC中，C90，BC12，AC9，则 AB 2. (2009 年达州) 图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形 E 的面积是A. 13 B. 26 C. 47 D. 943. （2009 年宜宾）已知：如图，以 RtABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形若斜边 AB3,则图中阴影部分的面积为 六、布置作业：教材第 69 页习题 18.1 题 1七、备注(小结反思) ：1 勾股定理（二）学习目标：1. 熟知并运用勾股定理进行简单的计算。2. 灵活运

6、用勾股定理解决生活中的问题。学习重点：运用勾股定理进行简单计算。学习难点：灵活运用勾股定理解决简单实际问题。导学流程：一、自主学习前置学习：自学指导：阅读教材第 66 至 68 页，完成下列问题。1. 勾股定理的具体内容是： 。2. 填空: 在 RtABC ， C=90（1）如果 =7， =25，则 = 。 acb（2）如果A=30， =4，则 = 。（3）如果 =10， =2，则 = 。（4） 如果 、 、 是连续整数，则 = abc。（5）如果 =8， = ，则 = 。b:ac35c3D C B A AC BDC ABC AB3. 如果梯子的底端离建筑物 9 米，那么 15 米长的梯子可以

7、到达建筑物的高度是多少米？要点感知：勾股定理的前提是_三角形，已知直角三角形的两边，求第三边，要先弄清楚哪条是直角边，哪条是斜边，不能确定时，要_。二、 展示成果 活动 1 在 RtABC ，C=90，（1）已知 ，求 ；（2）已知5abc=1， =2，求 ；（3）已知 = ， =5，c:ab12c求 。分析：（1）已知_边，求_边,直接用_定理。 （2）已知_边和_边，求_边，用勾股定理的变形式。 （3）已知一边和两边比，求未知边。活动 2 教材第 66 页探究 1知识点归纳：在直角三角形中，1. 已知任意两边都可以求出第三边；当不能确定直角边还是斜边时，必须要_；2. 已知一边和两边关系，

8、也可以求出未知边。三、合作探究活动 3 教材第 67 页探究 2活动 4 已知：如图，等边ABC 的边长是 6cm。（1）求等边ABC 的高 . （2）求 SABC 。注意：勾股定理的使用范围是在_三角形中，因此注意要创造_三角形，作_是常用的创造_三角形的辅助线做法。四、当堂自测基础训练：1. 填空题（1）一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。（2）已知等边三角形的边长为 2cm，则它的高为 ，面积为 。（3）小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着 45度的坡路走了 500 米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。2. 已知：如图，在ABC 中，C=60，AB=

9、，AC=4，AD 是 BC 边上的高，求 BC 的长。34能力提升：3. 已知：如图，四边形 ABCD 中， ADBC，ADDC，ABAC ，B=60，CD=1cm，求BC 的长。4. 如图，原计划从 A 地经 C 地到 B 地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由 A 地到B 地直接修建，已知高速公路一公里造价为 300万元，隧道总长为 2 公里，隧道造价为 500 万元，AC=80 公里，BC=60 公里，则改建后可省工程费用是多少？5. 如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高 24米，B CDA4B ACDB=C=30，E、F 分别为 BD、CD 中点，试求 B、 C 两点之间的距

10、离，钢索 AB 和 AE 的长度。（精确到 1 米）五、中考链接1.（2009 年滨州）如图 1，已知ABC 中，AB17，AC10，BC 边上的高 AD8， 则边 BC 的长为（ ）A. 21 B. 15 C. 6 D. 以上答案都不对ACDB1ACDB22. （2009 年湖南长沙）如图 2，等腰 中，AB， 是底边上的高，若A5cm，则 cm6cm六、布置作业：教材第 68 页 练习 题 2；第 69 页 习题 18.1 题2、8七、备注(小结反思) ：1 勾股定理（三）学习目标：1. 会用勾股定理解决较综合的问题。2. 树立数形结合的思想。学习重点：勾股定理的综合应用。学习难点：勾股定

11、理的综合应用。导学流程：一、自主学习前置学习：自学指导：阅读教材第 68 至 69 页，完成下列问题。1. 如图，水池中离岸边 D 点 1.5 米的 C 处，直立长着一根芦苇，出水部分 BC 的长是 0.5 米，把芦苇拉到岸边，它的顶端 B 恰好落到 D 点，并求水池的深度 AC。2. 教材 P68 页探究 3变式训练：在数轴上画出表示 的点。2,1二、 展示成果 活动 1 已知：在 RtABC 中，C=90，CDBC 于 D，A=60，CD= ，求线段 AB3的长。三、合作探究活动 2 已知：如图，B =D = 90，A = 60，AB = 4，CD = 2。求：四边形 ABCD 的面积。知

12、识点归纳：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解。四、当堂自测基础训练：1. ABC 中，AB=AC=25cm，高 AD=20cm，则 BC= ，S ABC = 。ACB DE FAB CDE5AB CCA BDAB CCA BD2. ABC 中，若 A=2B=3C，AC= cm，则A 32= 度，B = 度，C = 度，BC = ，SABC = 。3. ABC 中， C=90 ，AB=4，BC= ，CDAB32于 D， 则 AC = ， CD = ，BD = ，AD = ，S ABC = 。能力提升：4. 已知：如图，ABC 中，AB =26，BC =25，AC =17，求 SABC 。5.

13、 已知：如图，ABC 中，AC=4，B=45，A=60，根据题设可知什么？五、中考链接1（2011 山东滨州，9，3 分）在ABC 中,C=90，C=72,AB=10,则边 AC 的长约为(精确到 0.1)（ ）A.9.1 B.9.5 C.3.1 D.3.52（2011 贵州贵阳，7，3 分）如图，ABC 中，C=90，AC=3，B=30，点 P 是 BC 边上的动点，则 AP 长不可能是（A）3.5 （B）4.2 （C）5.8 （D）7六、布置作业：教材第 69 页练习 题 1、2；第 69 页 习题 18.1题 10七、备注(小结反思) ：2 勾股定理的逆定理（一）学习目标：1. 体会勾股

14、定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理及其作用。2. 探究勾股定理的逆定理的证明方法。3. 理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。学习重点：勾股定理的逆定理及应用。学习难点：勾股定理的逆定理的证明。导学流程：一、自主学习前置学习：自学指导：阅读教材第 73 至 74 页，完成下列问题。1. 说出下列命题的逆命题，判断逆命题是否成立？同旁内角互补，两条直线平行。如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一30半。2.了解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。3.勾股定理的逆定理：_4.勾股数：_；勾股数扩大

15、相同倍数后仍为_；常用的勾股数有_ _ _。二、展示成果 活动 1 教材第 73 页命题 2 的证明及第 74 页的探究6活动 2 判断由线段 ， ， 组成的三角形是不abc是直角三角形：(理解勾股数)（1） 15， 8， 17；（2） 13， 14，abb15。c知识点归纳：运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：先判断那条边最大。分别用代数方法计算出 和 的值。判断2ab2c和 是否相等，若相等，则是直角三角形；2ab2c若不相等，则不是直角三角形。三、 合作探究活动 3 已知： ABC 中，A、B、C 的对边分别是 ， ， ， ， =2 ，abc21anbn（ ）求

16、证：C=90。21cn四、当堂自测基础训练：1填空题。1）任何一个命题都有 ，但任何一个定理未必都有 。2）ABC 三边之比是 1：1： ，则ABC 是 三2角形。2下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）Aa=8 ，b=15，c=17 Ba=9 ，b=12 ，c=15 Ca= ，b= ，c= Da ：b：c=2 ：3：4532能力提升：3. 在 ABC 中，若 2 = 2 2，则ABC 是 c三角形， 是直角；若 2 2 2，则B 是 。4. 在ABC 中，= 2 2， = ， = 2 2，则ABCamnbcmn是 三角形。五、中考链接（2011 山东德州 13,4 分）下列命题中，其逆命题

17、成立的是_。 （只填写序号）同旁内角互补，两直线平行；如果两个角是直角，那么它们相等；如果两个实数相等，那么它们的平方相等；如果三角形的三边长 ， ， 满足 22abc，abc那么这个三角形是直角三角形。六、布置作业：教材第 75 页练习 题 1、2；第 76 页 习题 18.2 题 1（2） （4）七、备注(小结反思) ：2 勾股定理的逆定理（二）学习目标：1. 灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 。2. 加深性质定理与判定定理之间关系的认识。学习重点：应用勾股定理及逆定理解决实际问题。学习难点：应用勾股定理及逆定理解决实际问题。导学流程：一、自主学习前置学习：自学指导：阅读教材第 75

18、 页，完成下列问题。1. 若三角形的三边是 1， ，2； 3 ； 3 2，4 2，5 2 9，40，41； 51,4，2mn 2（mn） ， ；则构成的是直角三角形2+1的有（ ）A2 个 B3 个 4 个 5 个2、已知：在ABC 中， A、B、C 的对边分别是 a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？a=9，b=41，c=40； 7AB CDAB CDa=15，b=16，c=6； a=2，b= ，c=4；32二、 展示成果活动 1 教材第 75 页例 2知识点归纳：已知三边求角，利用勾股定理的逆定理活动 2 一根 30 米长的细绳折成 3 段，围成一

19、个三角形，其中一条边的长度比较短边长 7 米，比较长边短 1 米，请你试判断这个三角形的形状。四、 合作探究活动 3 如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得 AB=4 米，BC=3 米，CD=13 米，DA=12 米，又已知B=90 。四、当堂自测基础训练：1一根 24 米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 。2小强在操场上向东走 80m 后，又走了 60m，再走 100m 回到原地。小强在操场上向东走了80m 后，又走 60m 的方向是 。3一根 12 米的电线杆 AB，

20、用铁丝 AC、AD 固定，现已知用去铁丝 AC=15 米，AD=13 米，又测得地面上 B、C 两点之间距离是 9 米，B、D 两点之间距离是 5 米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？能力提升：4如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13 海里的 A、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达 C 地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120 海里，乙巡逻艇每小时航行 50 海里，航向为北偏西 40，问：甲巡逻艇的航向？五、 中考链接( 2012 巴中)已知 a、b、c 是ABC 的三边长,且满足关系 + =0,则ABC 的形状为22c六、布置作业：教材第

21、76 页 练习 题 3；习题 18.2 题 3七、备注(小结反思) ：勾股定理复习小结一、重点：1、明确勾股定理及其逆定理的内容 2、能利用勾股定理解决实际问题二、知识小管家：通过本章的学习你都学到了三、练习：考点一、已知两边求第三边1.在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm、2cm ，则斜边长为_2.已知直角三角形的两边长为 3、2，则另一条边长是_3.已知，如图，在 ABC 中，D CAB8ABAB=BC=CA=2cm，AD 是边 BC 上的高。求 AD 的长；ABC 的面积。考点二、利用列方程求线段的长4.如图，铁路上 A，B 两点相距 25km，C，D 为两村庄，DAAB 于 A，

22、CBAB 于 B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E，使得 C，D 两村到 E 站的距离相等，则 E 站应建在离 A 站多少km 处？5.如图，某学校（A 点）与公路（直线 L）的距离为 300 米，又与公路车站（D 点）的距离为 500米，现要在公路上建一个小商店（C 点） ，使之与该校 A 及车站 D 的距离相等，求商店与车站之间的距离。考点三、判别一个三角形是否是直角三角形7.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5；（2）5、12、13；（3）8、15、17；（4）4、5、6；其中能够成直角三角形的有_。8.若三角形的三别是

23、, , (2ab2ab),则这个三角形是_。0ab四、灵活变通9、直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为 7 ，8 ，则以斜边为边长的正方2cm2形的面积为_ 。2cm10.如图一个圆柱，底圆周长 6cm，高 4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从 A 点爬到 B点，则最少要爬行 _cm。11.一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5，高为 12，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出 4.6，问吸管要做多长？12.如图：带阴影部分的半圆的面积是_（ 取 3）13.若一个三角形的周长12 cm,一边长为3 cm,其他两边之差为 cm,则这个三角形是_。五、能力提升14.已知：如图，ABC中，ABAC，AD是BC边上的高求证： 。2ABCBD15.如图，四边形 ABCD 中， 为 的中点，FDC为 上一点，且 你能说明EBCBE41是直角吗？AFAD E BC6 86 8