1、 数的起源与发展 数是一个神秘的领域，人类最初对数并没有概念。但是，生活方面的需要，让人类脑海中逐渐有了“数量”的影子。数究竟产生于何时，由于其年代久远，我们已经无从考证。不过可以肯定的一点是数的概念和计数的方法在文字记载之前就已经发展起来了。根据考古学家提供的证据，人类早在 5000 多年前就已经采用了某种计数方法。原始时代的人类，为了维持生活他们必须每天外出狩猎和采集果实。有时他们满载而归，有时却一无所获；带回的食物有时有富余，有时却不足果腹。生活中这种数与量上的变化，使人类逐渐产生了数的意识。在那个时候，他们开始了解有与无，多与少的差别，进而知道了一和多的区别。然后又从多到二、三等单个数
2、目概念的形成，是一个不小的飞跃。随着社会的进一步进步和发展，简单的计数就是必须的了，一个部落集体必须知道它有多少成员或有多少敌人，一个人也必须知道他的羊群里的羊是不是少了。这样，人类的祖先在与大自然的艰难搏斗中，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，逐渐产生了数的概念。当人们用自己的十个手指记数不敷应用时，便开始采用“石头记数” 、 “结绳记数”和“刻痕记数”等记数方法。考古证据表明，虽然地区和民族之间存在差异，但在采用计数方法时，都不约而同地使用过“一一对应”的方法。这种画杠的方法曾经被多个民族所采用。关于这个一一对应的方法，可以举出许多别的例证，如一些非洲的原始猎人通过积
3、累野猪的牙齿来计数他们所捕野猪的数目；居住在乞力马扎罗山山坡上的马萨伊游牧部落的少女，习惯在颈上佩戴铜环，其个数等于自己的年龄。几乎所有的人都常常扳着指头计数较小的数目。在我国北京郊区周口店的山顶洞人遗址中，考古学家发掘出了四根带有磨刻痕迹的骨管，发现它们已有一万多年的历史了。结绳记数(或记事)的方法，也曾经被许多民族所使用。比如，南美印加人的结绳办法就是在一条较粗的绳子上，拴住很多颜色各异的细绳，再在细绳上打不同的结，根据绳的颜色，结的大小和位置，来代表不同事物的数目。在记数史上，继结绳和刻画之后，人们开始用语言来表述一定的数目。数的发展总体可以分为远古时期、罗马时期、筹算、0 的引进和阿拉
4、伯数字这五个阶段。远古时期的人类在生活中遇到了许多无法解决的困难：如何表示一棵树、两只羊等等。而在当时并没有符号或数字表示具体的数量，所以他们主要以结绳记事或在石头上。大约在两千五百年前，罗马人还处在文化发展的初期，当时他们用手指作为计算工具。为了表示一、二、三、四个物体，就分别伸出一、二、三、四个手指；表示五个物体就伸出一只手；表示十个物体就伸出两只手。这种习惯人类一直沿用到今天。人们在交谈中，往往就是运用这样的手势来表示数字的。当时，罗马人为了记录这些数字，便在羊皮上画出、来代替手指的数；要表示一只手时，就写成“”形，表示大指与食指张开的形状；表示两只手时，就画成“”形，后来又写成一只手向
5、上，一只手向下的“” ，这就是罗马数字的雏形。 后来为了表示较大的数，罗马人用符号 C 表示一百。C 是拉丁字“century”的头一个字母，century 就是一百的意思。用符号 M 表示一千。M是拉丁字“mille”的头一个字母，mille 就是一千的意思。取字母 C 的一半，成为符号 L，表示五十。用字母 D 表示五百。若在数的上面画一横线，这个数就扩大一千倍。这样，罗马数字就有下面七个基本符号：（1） 、（5） 、（10） 、L（50） 、C（100） 、D（500） 、M（1000 ） 。 3.第三阶段-筹算筹算是中国古代使用算筹进行十进位制计算的程序。算筹和筹算属于不同范畴，前者是
6、计算器具，后者是计算算术程序。4.第四个阶段-0 的引进如果你细心观察的话，会发现罗马数字中没有“0” 。其实在公元 5 世纪时，“0”已经传入罗马。大约 1500 年前，欧洲的数学家们是不知道用“0”这个数字的。这时，罗马有一位学者从印度计数法中发现了“0”这个符号。他发现，有了“0” ，进行数学运算非常方便。他非常高兴，还把印度人使用“0”的方法向大家做了介绍。这件事不久就被罗马教皇知道了。当时，教会的势力非常大，而且远远超过皇帝。教皇非常愤怒，他斥责说，神圣的数是上帝创造的，在上帝创造的数里没有“0”这个怪物。如今谁要使用它，谁就是亵渎上帝！于是，他下令，把那位学者抓了起来，并对他施加了
7、酷刑，使他再也不能握笔写字。就这样， “0”被那个教皇命令禁止了。尽管罗马皇帝禁止“0”的出现，但“0”的出现，谁也阻挡不住。后来， “0”在欧洲被广泛使用，而罗马数字却逐渐被淘汰了。 关于 0 的出现还有另一个历史：0 的发现始于印度。公元左右，印度最古老的文献吠陀已有“0”这个符号的应用，当时的 0 在印度表示无（空）的位置。约在 6 世纪初，印度开始使用命位记数法。7 世纪初印度大数学家葛拉夫.玛格蒲达首先说明了 0 的 0 是 0，任何数加上 0 或减去 0 得任何数。遗憾的是，他并没有提到以命位记数法来进行计算的实例。也有的学者认为，0 的概念之所以在印度产生并得以发展，是因为印度佛
8、教中存在着“绝对无”这一哲学思想。公元 733 年，印度一位天文学家在访问现伊拉克首都巴格达期间，将印度的这种记数法介绍给了阿拉伯人，因为这种方法简便易行，不久就取代了在此之前的阿拉伯数字。这套记数法后来又传入西欧。5、第五个阶段-阿拉伯数字阿拉伯数字就是现今国际通用的数字。阿拉伯数其实字应该称为印度数字，公元 3 世纪，印度的一位科学家巴格达发明了阿拉伯数字。最古的计数目大概至多到 3，为了要设想“4”这个数字，就必须把 2 和 2 加起来，5 是 2 加 2 加1，3 这个数字是 2 加 1 得来的，大概较晚才出现了用手写的五指表示 5 这个数字和用双手的十指表示 10 这个数字。这个原则
9、实际也是数学计算的基础。阿拉伯人把这种数字传入西班牙。公元 10 世纪，又由教皇热尔贝奥里亚克传到欧洲其他国家。公元 1200 年左右，欧洲的学者正式采用了这些符号和体系。至13 世纪，在意大利比萨的数学家费婆拿契的倡导下，普通欧洲人也开始采用阿拉伯数字，15 世纪时这种现象已相当普遍。那时的阿拉伯数字的形状与现代的阿拉伯数字尚不完全相同，只是比较接近而已，为使它们变成今天的1、2、3、4、5、6、7、8、9、0 的书写方式，又有许多数学家花费了不少心血。阿拉伯数字起源于印度，但却是经由阿拉伯人传向四方的，这就是后来人们误解阿拉伯数字是阿拉伯人发明的原因。正因阿拉伯人的传播，成为该种数字最终被
10、国际通用的关键节点，所以人们称其为“阿拉伯数字” 。阿拉伯数字由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 共 10 个计数符号组成。由于它们书写方便，一直被沿用至今。（三）数的衍生发展到阿拉伯数字为止，我们发现这些数全都是自然数。但随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的。如果分配猎获物时，5 个人分 4 件东西，每个人人该得多少呢？于是分数就产生了。中国对分数的研究比欧洲早 1400 多年，自然数、分数和零，通称为算术数。自然数也称为正整数。 随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。为了表示这样的量，又产生了负数。正整数、负整数和零，统称为整数。如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数。后来，又有学者发现了一些无法用有理数表示的数。有这样一个故事：一个叫希帕索斯的学生画了一个边长为 1 的正方形。设对角线为 x，根据勾股定理 x2=12+12=2,可见对角线是存在的，可它是多事呢？又该怎样表示它呢? 希帕索斯等人百思不得其解，最后认定这是一个从未见过的新数。寝室，这就是后来人们发现的“无理数” ，这些数无法用准确的数字表示出来，它们是无限不循环小数，所以用根号来表示。无理数和有理数统称为实数。除了实数以外，后来人们又发现了虚数和复数，数这个大家庭在不断地扩大。
