1、 2.1.2 指数函数及其性质（学案）（第 1 课时）【知识要点】1.指数函数；2.指数函数的图象；3.指数函数的单调性与特殊点【学习要求】1.理解指数函数的概念与意义；2.能借助计算器或计算机画出具体的指数函数的图象，并理解指数函数的单调性与特殊点；【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 54 页第 57 页）1.指数函数的概念（1）函数 与 的特点是 .xy073.1xy)21(（2）一般地，函数 （ ）叫做指数函数，其中 是自变量，函数的定义域是 .a2.指数函数的图象与性质（1）列表、描点、作图象图象xxyx)21(xy2xy)21(25.1.05.1.2（2）两个图象的关系函数 与
2、的图象，都经过定点 ，它们的图象关于 对称.通xyx)21(过图象的上升和下降可以看出， 是定义域上的增函数， 是定义域上的减函数.（3）类比以上函数的图像，总结函数性质，填写下列表格：10a1a图象定义域值域性质【基础练习】1.指出下列哪些是指数函数 （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；xy44xyxyxy)4(xy（6） ；（7） ；（8） .12)1(aa且2.作出 的图象.xy33.求下列函数的定义域及值域：（1） ；3xay（2） ；2（3） 1)(xy4.下列关系中正确的是（ ）.（A） （B）3123)(5)1(3231)5()2(（C） （D）32132)()(
3、3123)()5(【典型例题】例 1 已知指数函数 的图象经过点 ，求 ， ，)1,0()axf且 ),3()0(f1f的值.)3(f例 2 比较下列各题中两个值的大小：（1） ， ；5.731（2） ， ；.082.0（3） ， .3.191.函数 是指数函数，则有（ ）.bxaay)3(2（A） 或 （B）1R,0,1ba（C） （D）0,2b ,且2.若函数 与 得图象关于 轴对称，则满足 的 的取值范围是)(xfxg)21(y1)(xf（ ）.（A） （B） （C） （D）R)0,(),0(),(3.函数 的定义域是（ ）.12xy（A） （B） （C） （D）x 2x1xR4.若集合
4、 ， ，则（ ）.R,2xyR,y（A） （B） （C） （ D）ABA5.函数 是 上的减函数，则 的取值范围是（ ）.xaf)1(a（A） （B） （C） （D） 0011a6. 函数 的定义域和值域分别为 .13xy7.函数 的图象必经过点 .)0(2a且8.某厂从今年起每年计划增产 ，则经过 年，产量能达到现在的 倍（精确%85到 ）.019.（1）比较 与 的大小并说明理由.21)54(3109（2）已知 且 ，比较 与 的大小.2baab210.已知函数 的图象过点 和 .baxfx2)( )3,21(,0（1）求 的解析式；（2）画函数 的图象；)(xfy1.用清水漂洗衣服，若每
5、次能洗去污垢的 ，写出存留污垢 与漂洗次数 的函数关系43yx式，若要使存留污垢不超过原来的 ，则至少要漂洗几次？%12.1.2 指数函数及其性质（教案）（第 1 课时）【教学目标】1.使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系.2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点.3.在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般过程、数形结合的方法等.【重点】指数函数的概念和性质.【难点】用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质.【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 54 页第 57 页）1.
6、指数函数的概念（1）函数 与 的特点是 解析式都可以表示为 的形式 .xy073.1xy)21( xay（2）一般地，函数 （ ）叫做指数函数，其中 是自变量，函数a,0a且的定义域是 .R2.指数函数的图象与性质（1）列表、描点、作图象图象xxy2x)1(xy2xy)21(5.041.71.5.0.07.1254.（2）两个图象的关系函数 与 的图象，都经过定点 ，它们的图象关于 轴 对称.通xyx)21( )1,0(y过图象的上升和下降可以看出， 是定义域上的增函数， 是定义域上的减函xy2x)21(数.（3）类比以上函数的图像，总结函数性质，填写下列表格： 10aa图象定义域 RR值域
7、),0(),0(过定点 ，即 时，)1,x1y性质在 上时减函数 在 上时增函数【基础练习】1.指出下列哪些是指数函数 （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；xy44xyxyxy)4(xy（6） ；（7） ；（8） .12)1(aa且解：是指数函数的有（1） ， （4） ， （5） ， （8）.2.作出 的图象.xy3解： ，如图：0,3xyx3.求下列函数的定义域：（1） ； （2） ； （3）3xayxy21)2(xy解：（1）要使式子有意义，则需要 ，即 ，定义域为 .03x3x),3（2）要使式子有意义，则需要 为实数，因此，定义域为 .2R（3）要使式子有意义，则需要 有
8、意义，定义域为 .1x1x4.下列关系中正确的是（ D ）.（A） （B）3123)(5)1(323)5()2(（C） （D）32132)()( 3123)()51(【典型例题】例 1 已知指数函数 的图象经过点 ，求 ， ，),0()axf且 ),()0(f1f的值.)3(f【审题要津】结合以前学过的求函数解析式的方法，本题中只要求出参数 就可以了.a解：因为 得图象经过点 ，所以xaf)(),3(，即3解得 ，于是 .1a3)(xf所以， ， ， .10f 31(f 1)(f【方法总结】从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，即只需要列一个方程即可.向学生渗透方程的思想.例 2 比较下列各
9、题中两个值的大小：（1） ， ；5.731（2） ， ；.082.0（3） ， .3.19【审题要津】 （1） ， （2）利用指数函数单调性， （3）要构造中间数解：（1） ， 可看作函数 的两个函数值 .由于底数 ，所以指数5.73xy7.117.函数 在 上是增函数.xy.R因为 ，所以 .35.235.271（2） 可看作函数 的两个函数值.由于底数 ，所以指数.01.8,xy8018.0函数 在 上是减函数 .xy.R因为 ，所以 .2.01.201.0（1） 由指数函数的性质知 7.319.01.所以 .13.097【方法总结】比较幂值的大小常常华化为同底数的幂，利用指数函数的单调性
10、比较大小，或者借助幂值的范围利用中间数值过渡，常用的数值可能是 或 .根据具体情况也可能是01其他数值.1.函数 是指数函数，则有（ C ）.bxaay)3(2（A） 或 （B）1R,0,1ba（C） （D）0,2b ,且2.若函数 与 得图象关于 轴对称，则满足 的 的取值范围是)(xfxg)21(y1)(xf（ C ）.（A） （B） （C） （D）R)0,(),0(),(3.函数 的定义域是（ B ）.12xy（A） （B） （C） （D）x 2x1xR4.若集合 ， ，则（ A ）.R,2xyR,y（A） （B） （C） （ D）AB5.函数 是 上的减函数，则 的取值范围是（ B ）
11、.xaf)1(a（A） （B） （C） （D） 0011a6.当 时，函数 的值域是 .,xxf3)(3,7.函数 的图象必经过点 .)10(2ayx且 )1,2(8.某厂从今年起每年计划增产 ，则经过 年，产量能达到现在的 倍（精确%85471到 ）.019.（1）比较 与 的大小并说明理由.21)54(3109（2）已知 且 ，比较 与 的大小.2baab2解：（1） 与 底数不同，指数也不同， 21)54(3109应插入一个中间量进行比较.根据两个数的特征应插入 或 .31)54(2109在 ）上是增函数xy,0(，又 ， 是减函数，2121)954(312.9xy)09(3121)0(
12、3131)9(54（2） 2ba只需比较 与 的大小2b，即,12又 是增函数， ，即xbybba210.已知函数 的图象过点 和 .afx2)( )3,1(,0(1) 求 的解析式；(2)画函数 的图象；)(xfy解：（1）由题意知： ，21)0(,321bfba解得： 12ba4)(2xxf（2）1.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的 ，写出存留污垢 与漂洗次数 的函数关系43yx式，若要使存留污垢不超过原来的 ，则至少要漂洗几次？%1解：设未漂洗时衣服上的污垢量为 ,经过 次漂洗后，存留污垢量为 ，则)0(axy经过第一次漂洗， ，4)3(ay经过第二次漂洗， 2)1(1 经过第 次漂洗，x xaay)4(.4若使存留污垢不超过原来的 ，%1即 ，1ay)4(x043256164x至少要漂洗 4 次，存留污垢才不会超过原来的 .%1
