1、1中考数学压轴题总结（动点）（一） 因动点产生的相似三角形问题 例 1，已知抛物线的方程 C1： (m 0)与 x 轴交于点 B、C ，与 y(2)yx轴交于点 E，且点 B 在点 C 的左侧（1）若抛物线 C1 过点 M(2, 2)，求实数 m 的值；（2）在（1）的条件下，求BCE 的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BHEH 最小，求出点H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线 C1 上是否存在点 F，使得以点 B、C 、F 为顶点的三角形与BCE 相似？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由图 1思路点拨1第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当 H 落在
2、线段 EC 上时，BHEH 最小2第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线 BF，作CBFEBC45，或者作 BF/EC再用含 m 的式子表示点 F 的坐标然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于 m 的方程满分解答（1）将 M(2, 2)代入 ，得 解得 m41(2)yxm124()（2）当 m4 时， 所以 C(4, 0)，E(0, 2)4x2所以 SBCE 1622BCOE（3）如图 2，抛物线的对称轴是直线 x1，当 H 落在线段 EC 上时，BHEH 最小设对称轴与 x 轴的交点为 P，那么 EOC因此 解得 所以点 H 的坐标为 234HP323(1,)2（4）如图 3，过点 B
3、作 EC 的平行线交抛物线于 F，过点 F 作 FFx 轴于 F由于BCEFBC，所以当 ，即 时，BCEFBCCE2BCE设点 F 的坐标为 ，由 ，得 1(,2)(xxmFO1(2)xm解得 xm2所以 F(m2, 0)由 ，得 所以 COBE24B2(4)Fm由 ，得 2F22()()4m整理，得 016此方程无解图 2 图 3 图 4如图 4，作CBF45交抛物线于 F，过点 F 作 FFx 轴于 F，由于EBCCBF，所以 ，即 时，BCEBFCBEC2BE在 Rt BFF中，由 FFBF ，得 1()xmx3解得 x2m所以 F 所以 BF2m2， (2,0) 2()BFm由 ，得
4、 解得 BCE ()综合、，符合题意的 m 为 2例 2，抛物线经过点 A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以 A、P、M 为顶点的三角形与OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线 AC 上方的抛物线是有一点 D，使得DCA 的面积最大，求出点 D 的坐标,图 1思路点拨1已知抛物线与 x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便2数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长3按照两条直角边对应
5、成比例，分两种情况列方程4把DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于 OA4满分解答 （1）因为抛物线与 x 轴交于 A(4，0) 、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为，代入点 C 的 坐标（0，2） ，解得 所以抛物线的解析式为)4(xay 21a512（2）设点 P 的坐标为 )4(2,(xx如图 2，当点 P 在 x 轴上方时，1x4， ， )(1MxAM如果 ，那么 解得 不合题意2COAP24)(1x5x如果 ，那么 解得 21M2)(xx此时点 P 的坐标为（2，1） 如图 3，当点 P 在点 A 的右侧时，x4， ， )4(12xPM4xAM解方程 ，得 此时点 P 的坐
6、标为 24)(12x5),5(解方程 ，得 不合题意2)(xx如图 4，当点 P 在点 B 的左侧时，x1， ， )4(12xPMxAM解方程 ，得 此时点 P 的坐标为 24)(21x3),3(解方程 ，得 此时点 P 与点 O 重合，不合题意21)(x0x5综上所述，符合条件的 点 P 的坐标为（2，1）或 或 )14,3()2,5(图 2 图 3 图 4（3）如图 5，过点 D 作 x 轴的垂线交 AC 于 E直线 AC 的解析式为 21xy设点 D 的横坐标为 m ，那么点 D 的坐标为 ，点 E)41( )52,(m的坐标为 所以 )2,( )1)25(mE2因此 4)1(SDAC
7、4(2当 时，DCA 的面积最大，此时点 D 的坐标为（2，1） 2m（二） 因动点产生的等腰三角形问题例 3，抛物线 yax 2bx c 经过 A(1,0) 、B(3, 0)、C (0 ,3)三点，直线 l 是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；6（2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标；（3）在直线 l 上是否存在点 M，使MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由图 1 思路点拨1第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点 P 在线段 BC 上时PAC 的周长最小2第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三
8、角形的存在性满分解答（1）因为抛物线与 x 轴交于 A(1,0)、B(3, 0)两点，设 ya(x1)(x3) ，代入点 C(0 ,3)，得3a3解得 a1所以抛物线的函数关系式是 y(x1)(x3)x 22x3（2）如图 2，抛物线的对称轴是直线 x1当点 P 落在线段 BC 上时，PAPC 最小，PAC 的周长最小设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 H由 ，BO CO ，得 PHBH2BHOC所以点 P 的坐标为(1, 2) 图 2（3）点 M 的坐标为(1, 1) 、(1, )、(1, )或(1,0)7考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点 M 的坐标为(1,m) 在MAC 中，AC
9、 210，MC 21( m3) 2，MA 24m 2如图 3，当 MAMC 时，MA 2MC 2解方程 4m 21( m3) 2，得 m1此时点 M 的坐标为(1, 1) 如图 4，当 AMAC 时，AM 2AC 2解方程 4m 210，得 6此时点 M 的坐标为(1, )或 (1, )6如图 5，当 CMCA 时，CM 2CA 2解方程 1(m3) 210，得 m0 或 6当 M(1, 6)时，M、A、C 三点共线，所以此时符合条件的点 M 的坐标为(1,0) 图 3 图 4 图 5例 4，点 A 在 x 轴上，OA4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB 的位置（1）求点 B
10、 的坐标；（2）求经过 A、O、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由8图 1思路点拨1用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验2本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点 P 重合在一起满分解答（1）如图 2，过点 B 作 BCy 轴，垂足为 C在 Rt OBC 中， BOC30 ，OB4，所以 BC2， 3O所以点 B 的坐标为 (2,3)（2）因为抛物线与 x 轴交于 O、A(4, 0)，设抛物线的解析式
11、为 yax( x4)，代入点 B ， 解得 (,3)2(6)a36a所以抛物线的解析式为 234yxx（3）抛物线的对称轴是直线 x2，设点 P 的坐标为(2, y)当 OPOB 4 时，OP 216所以 4+y216解得 23当 P 在 时，B、O、P 三点共线（如图 2） (2,3)9当 BPBO 4 时，BP 216所以 解得 224(3)16y123y当 PBPO 时，PB 2PO 2所以 解得 222综合、，点 P 的坐标为 ，如图 2 所示(,3)图 2 图 3考点伸展如图 3，在本题中，设抛物线的顶点为 D，那么DOA 与OAB 是两个相似的等腰三角形由 ，得抛物线的顶点为 23
12、(4)()66yxx23(,)D因此 所以DOA 30，ODA120 2tanDOA（三） 因动点产生的直角三角形问题例 5：在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数 yk( x2x1)的图象交于点A(1,k)和点 B(1,k)（1）当 k2 时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大，求 k 应满足的条件以及 x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为 Q，当ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时，求 k的值10思路点拨1由点 A(1,k)或点 B(1,k )的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是 题kyx目中的 k 都是一致的2由点 A(1,
13、k)或点 B(1,k )的坐标还可以知道，A、B 关于原点 O 对称，以 AB 为直径的圆的圆心就是 O3根据直径所对的圆周角是直角，当 Q 落在O 上是， ABQ 是以 AB 为直径的直角三角形满分解答（1）因为反比例函数的图象过点 A(1,k)，所以反比例函数的解析式是 kyx当 k2 时，反比例函数的解析式是 2yx（2）在反比例函数 中，如果 y 随 x 增大而增大，kyx那么 k0当 k0 时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y 随x 增大而增大抛物线 yk(x 2x 1) 的对称轴是直线 215()4kxk12x图 1所以当 k0 且 时，反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大2x（3）抛物线的顶点 Q 的坐标是 ，A、B 关于原点 O 中心对称，15(,)4k当 OQOA OB 时，ABQ 是以 AB 为直径的直角三角形由 OQ2OA 2，得 22215()14k解得 （如图 2） ， （如图 3） 13k
