1、第二节 多元函数的基本概念分布图示 领域 平面区域的概念 二元函数的概念 例 1 例 2 例 3 二元函数的图形 二元函数的极限 例 4 例 5 例 6 例 7 例 8 例 9 例 10 二元函数的连续性 例 11 二元初等函数 例 12-13 闭区域上连续函数的性质 内容小结 课堂练习 习题 6-2内容提要一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域二、二元函数的概念定义 1 设 D 是平面上的一个非空点集，如果对于 内的任一点 ，按照某种法D),(yx则 ，都有唯一确定的实数 与之对应，则称 是 上的二元函数，它在 处的函数f zf ,值记为 ，即 ，其中 x，y 称
2、为自变量， z 称为因变量. 点集 D 称为该函数),(yxf ),(xf的定义域，数集 称为该函数的值域.,|Dfz类似地，可定义三元及三元以上函数. 当 时, n 元函数统称为多元函数.2二元函数的几何意义三、二元函数的极限定义 2 设函数 在点 的某一去心邻域内有定义，如果当点),(yxfz),(0yxP无限趋于点 时，函数 无限趋于一个常数 ，则称 A 为函数),(yxP),(0yxP,当 时的极限. 记为,fz),.Ayxfyx),(lim0或 （ ）f),( ),(),(0也记作或 APf)(li0 APf)()(0二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详
3、述. 为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限. 四、二元函数的连续性定义 3 设二元函数 在点 的某一邻域内有定义，如果),(yxfz),(0,lim0yx则称 在点 处连续. 如果函数 在点 处不连续，则称),(fz),( ),(yxfz),(0函数 在 处间断.x0与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由和 的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函y数称为二元初等函数. 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域
4、内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.特别地，在有界闭区域 上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满D足的定理. 下面我们不加证明地列出这些定理.定理 1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域 D 上的二元连续函数, 在 D 上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理 2（有界性定理）在有界闭区域 D 上的二元连续函数在 D 上一定有界.定理 3（介值定理）在有界闭区域 D 上的二元连续函数, 若在 D 上取得两个不同的函数值, 则它在 D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次.例题选讲多元函数的概念例 1（E01）某公司的总体成本（以千元计）为，)1ln(245),(2wz
5、yxwzyxC其中 是员工工资， 是原料的开销， 是广告宣传的开销， 是机器的开销，求x。)10,32(C解 用 2 替换 ，3 替换 ，0 替换 ，10 替换 ，则xyzw)1ln(45)10,32( ，C（千元） 。6.9例 2（E02）求二元函数 的定义域.2)3arcsin(),(yxyxf解 0132yx24所求定义域为 .,42|),( 22yxxyD例 3（E03）已知函数 求 .,),(2yxf),(xf解 设 则,yxu,v2vu故得 ),(vuf 22vu,2vu即有 .),(2yxf二元函数的极限例 4（E04）求极限 .2201sin)(limyxyxy解 令 则,2x
6、u=0.uyyyx 1sinl1sin)(li 020例 5 求极限 .)sin(lm20yxy解 其中20)si(lyx,)si(l220yxyxyxy20)sin(lmu2usinlm0,12xx211, x所以 .0)sin(lm20yyx例 6（E05）求极限 .2liyxy解 当 时，0xy220yxyxxy ),(021yx所以 .lim2yx例 76 求极限 .li4230yxy解 (当4242yxx 242)(1xyx012xy)0,y所以 .0lim4230yyx例 8 求 .)(li20xyyx解 因为.)(lim)ln(im2020yxxyyxxe )ln()()ln(
7、2222 yxyxy .)ln()(22yx而 )l()(li220 tyx 令 ,0limtt所以 故 ,0)ln(im20yyx .1)(li020eyxxy例 9（E06）证明 不存在.20liyxy证 取 为常数),则kxy(,1limli 22020 kxkxyyx 易见题设极限的值随 的变化而变化,故题设极限不存在.例 10 证明 不存在.2630limyxy证 取 其值随 的不同而变化, 故极,3k623026303lili xkxyyx,12k限不存在.二元函数的连续性例 11 (E07) 讨论二元函数 在 处的连续性.)0,(,0),(23yxyxf ,解 由 表达式的特征，利用极坐标变换：),(yxf令 则,sin,cox )cos(sinlm),(li 30)0,( yxfyx ),0(f所以函数在 点处连续.例 12 求 .1)ln(i210xyyx解 210 01)ln()l(imyx .例 13 求 .li10yxey解 因初等函数 在 处连续，故yxef),()1,0( .210lim10eyxy课堂练习1.设 求,2yxyf ).,(yxf2. 若点 沿着无数多条平面曲线趋向于点 时, 函数 都趋向于 A, 能),( )(0yx),(yxf否断定 ?),(lim),(),0Afyx3.讨论函数 的连续性.0,0,),(242yxyxf
