1、TOPSIS 分析方法研究摘要本文主要介绍了 TOPSIS 分析方法理论及其主要思想，运用数学理论，对其算法进行了详细的分析，并指出原始方法存在的优缺点；在此基础上提出了一种改进的 TOPSIS 分析方法，给出具体求权重的方法，突出其客观公正性.本文还分析了 TOPSIS 方法逆序产生的原因及其改进的方法，突出其实用性，推广其应用范围.关键词 TOPSIS 法; 改进的 TOPSIS; 权重；逆序2TOPSIS ANALYSIS METHODABSTRACTThis paper describes a method of theoryTOPSIS, and its main idea. Usi
2、ng mathematical theory, its algorithm for a detailed analysis and noted the advantages and disadvantages of the original methods. On this base ,an improved TOPSIS method is given, and specific for weight, in order to highlight its objective impartiality. The paper also analyzes the causes of TOPSIS
3、Reverse and its improved methods, highlight its practicality and the promotion of its use. Keywords TOPSIS method; Improved TOPSIS; weight; Reverse3目 录中文摘要 .英文摘要 .引言 .11 一般 TOPSIS 分析方法1.1 TOPSIS 分析方法概念.2 1.2 TOPSIS 分析方法的一般解题步骤.21.3 应用实例.42 改进的 TOPSIS 法2.1 一般 TOPSIS 解法的缺点.52.2 改进的 TOPSIS 法.52.2.1 统一指
4、标，确定理想解.52.2.2 指标权重的确定.62.2.3 各方案优劣排序.72.3 实例分析.73. 关于 TOPSIS 法的逆序问题93.1 逆序产生的原因.93.1.1 由于增加新的方案产生逆序.93.1.2 由于指标权重改变原始数据结构产生逆序.103.2 逆序消除的方法.11结论.13参考文献.13致谢.141引 言TOPSIS 的全称是“逼近于理想值的排序方法”(Technique for Order Preference bv Similarity to Ideal Solution)，是 Hwang 和 Yoon 于 1981 年提出的一种适用于根据多项指标、对多个方案进行比较
5、选择的分析方法.这种方法的中心思想在于首先确定各项指标的正理想值和负理想值，所谓正理想解是一设想的最好值(方案) ,它的各个属性值都达到各候选方案中最好的值,而负理想解是另一设想的最坏值(方案)，然后求出各个方案与理想值、负理想值之间的加权欧氏距离，由此得出各方案与最优方案的接近程度，作为评价方案优劣的标准.TOPSIS 法是有限方案多目标决策的综合评价方法之一，它对原始数据进行同趋势和归一化的处理后，消除了不同指标量纲的影响，并能充分利用原始数据的信息，所以能充分反映各方案之间的差距、客观真实的反映实际情况，具有真实、直观、可靠的优点，而且其对样本资料无特殊要求，故应用日趋广泛.TOPSIS
6、 法较之单项指标相互分析法，能集中反映总体情况、能综合分析评价，具有普遍适用性.例如，其在评价卫生质量、计划免疫工作质量、医疗质量；评价专业课程的设置、顾客满意程度、软件项目风险评价、房地产投资选址；评价企业经济效益、城市间宏观经济效益、地区科技竞争力、各地区农村小康社会等方面都已得到广泛、系统的应用.尽管如此，该方法在评价各类不同问题过程中还存在着不同的问题，例如权重信息是事先给定，因此结果有一定主观性；另外此方法在应用中由于新增加方案而容易产生逆序问题等，需要对其进行更加具体深入的分析研究.21一般 TOPSIS 分析方法11 TOPSIS 分析方法概念TOPSIS(Technique f
7、or Order Preference by Similarity to Ideal Solution)称为逼近于理想解的排序方法.它的基本思想是：对归一化后的原始数据矩阵，确定出理想中的最佳方案和最差方案，然后通过求出各被评方案与最佳方案和最差方案之间的距离，得出该方案与最佳方案的接近程度，并以此作为评价各被评对象优劣的依据. 假设有 m 个目标，每个目标都有 n 个属性，则多属性决策问题的数学描述如式 (1)所示： Z=max min | i=l，2，m，j=l，2，.n (1)ijz12 TOPSIS 分析方法的一般解题步骤设有 m 个目标(有限个目标)，n 个属性,专家对其中第 i 个
8、目标的第 j 个属性的评估值 1为 ,则初始判断矩阵 V 为：ijx(2)121212niijmmnxxVxx 由于各个指标的量纲可能不同，需要对决策矩阵进行归一化处理： 2(3) 121 2 1 2 niijmmnxxVxx 其中 = / , i=1,2m; j=1,2n. （4）ijx21nijkx3根据DELPHI法获取专家群体对属性的信息权重矩阵B，形成加权判断矩阵： 3 112 22 1 200njiij nmmnwxxZVwxx = （5）112212niijmmnffffff 根据加权判断矩阵获取评估目标的正负理想解： 4正理想解： (6) *max(),injjfJf1,2.j
9、n负理想解： (7)* i(),axjjifJf1,2.jn其中， 为效益型指标， 为成本型指标.*JJ计算各目标值与理想值之间的欧氏距离： 5(8)*21(),1,.miijjjSfn(9) 21(),.iijjjf计算各个目标的相对贴近度： 6*/(),12,.iiiCSm4(10) 依照相对贴近度的大小对目标进行排序，形成决策依据. 71.3 应用实例某公司需要对其信息化建设方案进行评估，方案由 4 家信息咨询公司分别提供，记为方案一(S1)、方案二(S2)、方案三(S3)、方案四(S4). 每套方案的评估标准均包括以下 6项内容：Pl( 目标指标)、P2(经济成本)、P3(实施可行性)
10、、P4(技术可行性) 、P5(人力资源成本) 、 P6(抗风险能力).，四个方案作为 4 个目标， 6 个评价标准作为 6 个属性. 其中，P2和 P5 是成本型指标，其他为效益型指标. 这里每个目标所对应的属性值均由 4 名评估专家分别给出，表 l 列出了去模糊化之后 4 位专家评估值的集结结果，并把它作为多属性决策的初始矩阵，每个属性在评估结果中所占的比重(W)根据德尔菲法获得，整个决策方法的处理步骤如下所述： 表 1 专家评估值结果表属性目标P1 P2 P3 P4 P5 P6S1 8.1 255 12.6 13.2 76 5.4S2 6.7 210 13.2 10.7 102 7.2S3
11、 6.0 233 15.3 9.5 63 3.1S4 4.5 202 15.2 13 120 2.6初始条件：根据表 l 的专家决策结果生成初始判断矩阵 V 1 8.125.613275.46700.9.146V利用德尔菲法则，生成集结后的群体偏好矩阵： .T(2.3,51.0,64.8,32)B正、负理想解如下： 25*(1.428,.79,.164,3.5,.287,0.56)jf0031j结果(计算贴近度) ： 3= （0.6621，0.4666，0.6106，0.5851），依据 从小到大的顺序对决策方案进行*iC *iC排序可知 ，表明方案一更优.2431C结果分析: 根据方案的排序
12、结果，可以看出, 技术可行性占方案的比重最大，经济成本次之，他们对整个评估结果的影响也最大. 2.改进的 TOPSIS 法2.1 一般 TOPSIS 解法的缺点从 TOPSIS 法的排序决策步骤可知，TOPSIS 法存在如下的缺点： 用(4)式求规范决策矩阵时比较复杂，不易求出正理想解和负理想解；权重 (j=l，2， ，n)是事先j确定的，其值通常是主观值，因而具有一定的随意性；当方案 ， 关于 和 的连izj*f线对称时，由于 = ， = ， 因而无法比较 、 的优劣. 文献10提出了一种改*ifjifj izj进的 TOPSIS 法，既保留了 TOPSIS 法的优点，同时又克服了 TOPS
13、IS 法存在的三个缺点.2.2 改进的 TOPSIS 法2.2.1 统一指标，确定理想解此处举一工程招标的例子来说明改进的 TOPSIS 法的求解步骤. 一般来说，对承包单位的选择需要从招标单位的利益出发，考虑的因素包括投标单位的工程报价、工程工期等等，由于评标方案有多指标性特点，各方案指标的优劣程度可能会不统一. 除此之外，在这类评标过程中，对客观、公正性要求较高，因此，我们运用改进的理想解法对各个承包单位进行优选. 设经过资格初审后的投标单位有 m 家，评标采用的指标有 n 个，设第 i 家投标单位的第 j 个指标值为 ，构成一个 m 行 n 列的评价矩阵：A= . 显然 是从各投ijx
14、mijx)(ijx标单位在投标或资格初审时提供的资料中获取的.求解步骤：6求矩阵进行规范化，将其统一为效益型指标，得到标准化矩阵 1 ()ijmnRr对于效益型指标(1)minaxminaxmin()/(),1.ijjjjjjijxr对于成本型指标(2)maxmaxinmaxin()/(),1.jijjjjjijr. 确定标准化矩阵的理想解：， . （3）*1a,inijmjjrJr1,2jn其中 为效益型指标集， 为成本型指标集， 表示第j个指标的理想值.JJ*r显然，对于矩阵R，因为都统一为效益型指标了，故理想解 =(1，1，1)，负理想*jR解 =(0，0，0).j2.2.2 指标权重的
15、确定从上面的分析中可知，应用改进理想解法进行评价必须先确定各指标的权重. 确定指标权重通常有两类方法：一类是主观方法，如专家打分法、层次分析法、经验判断法等；另一类是客观方法，如熵权计算法、主成分分析法等. 因评标过程中，指标的权重对被评价对象的最后得分影响很大，要做到评标尽可能客观，所以采用客观计算法来计算指标的权重比较合适. 即根据决策矩阵的数值信息建立目标规划优化评标模型，通过一定的高等数学求解方法来计算权重. 求解步骤：设有指标 , ,， ，对应的权重分别为 , ,， , 各方案正理想1G2n 1w2n解和负理想解的加权距离平方和为= (4)12(),.)iinfwf2211()nji
16、jjj jrir在距离意义下， 越小越好，由此建立如下的多目标规划模型if， (5)12mn(),().()mffwf7其中 ， .1njj0,12,j n由于 上述多目标规划可以化为单目标规划()0,2,.ifwim， (6)1in()()mijfwf其中 ， .1jj0,2,j n构造拉格朗日函数. (7) 221 1(,)()()mn njijij jij jFwrw 令 （8） 2112()00mjijijjinjjFwr解之得 . （9） 1/,njjjw其中 . （10）21/()mj ijijir2.2.3 各方案优劣排序根据（4）式可求出各方案 的值，将其由大到小排序，即可得优劣顺序.()ifw2.3 实例分析某公司拟向国内外招标，现有数家单位投标，经资格预选后，有4家单位达到条件标准，可参与最后的竞标，其具体资料如下表所示
