1、4 保角映射的物理应用拉普拉斯方程式 为工程数学中最重要偏微分方02程式之一，因为它应用于有关重力场、静电场、稳态热传导以及不可压缩流体之流动问题本文所及者皆为二维问题，它们虽原三维空间内之物理系统，但是诸如位势中与空间第三坐标无关，因此拉普拉斯方程为（1）0222yx称曲线 常数为等位线),(定义 1 对于区域 内的实值函数 （或 ） ，G),(yx)(z如果其本身以及一阶、二阶偏导数连续而且满足（1） ，则称 在 内调和或 是区域 的调和函数注意：对于定义中调和函数的光滑性要求可以减弱。可以说明调和性是共性映射（保角映射）下的不变性质，因为若 是区域 到 的共性映射，记)(zDG，不难验证
2、：)(uU)()()(2zuzU因此，若 在 内调和，必有 在 内调和zuGUD定义 2 设 和 在区域 内调和，如果)()(zvG，则称 是 的共轭调和函数xyx vuv, )(zv)(zu称 为 的共轭dyudxy* dyux微分理论上说，一个调和函数的共轭函数的存在性虽有待讨论，但其共轭微分总是有意义的定理 1 若 是单连通区域 内的调和函数，则其共)(zuG轭调和函数 一定存在，因此为v内的解析函数)()()(zizzfG证明 例 2 已知调和函数 ，求其22(,)uxyxyxy共轭调和函数 及解析函数(,)v.()(,),fzuxyixy解 利用 C-R 方程， (2)2vuyxyx
3、xy所以 .2(2)()xvyxdygy因此，2()vxgyy2uxy比较两式可得： ，有2()2,()xgyxygy 故.()2gydC因此，。22xyvyC从而得到解析函数()(,)(,)fzuxyivxy222()()xyi iC2222iixiyi.21iziC定义 3 设 为区域 内一调和函数，且 为(,)xyD),(yx内的“共轭”调和函数，则 为解D()(,)Fzxyi析函数，称此 为对应于实位势 的复位势)(zF说明：应用复位势 有两优点其一，就技术层面来说，解析函数 较其实部，虚部函数更易处理其二，就)(z物理自身而言， 有一很重要意义据保角性，曲线 为常数，与等位线 为常数
4、相交为直角，因此，具有电力线之方向等意义，故称力线这些力线可表示带电粒子之运动轨1-1yxoo xy迹例 1 两平行板之间的位势 求电位分别为 和 之无12穷延伸两平行电板之间的电场的位势解：由实际情况可知 仅有 有关那么由x，可得 将边界条件代入，0ba)(，12()ab解得，21211()()()xx易知 的一个共轭调和函数 ，故复位势aybzibaxzF )(力线为 轴平行之线例 2 共轴圆柱之间的位势解 显然， 仅与 有关（对称性） ，而且与2yxr无关，因此考虑变量代换，对解 更为便 利令，sincoryx则由求偏导的链式法则，不难算得：z=1zo xyA，01y2222 urrx因
5、此， ， （对 求导） ，即 。0r rr1，即adrrln1，lln所以 ， 因此ra)( brarln)(bzazln)(可以知道 的一个“共轭”函数 ，故复)( zazrg.)(位势 ，其力线为经原点的直线bzazFln例 3 非同心轴圆柱间的位势解：这里主要用到两个知识点，其一，同心圆柱之势，如同例 2 是我们熟识的，因此如何寻找这两个二连通区域之间的共形映射是关键我们前面学到过的分式线性变换可以做到这一点其二，利用调和函数的共形映射不变性映射要求： 152;10rwzwz设 ，其中 zTw01)(0合理的要求： 。054,rwo uv因此，0000 0145.zrrzz )2()1(
6、解（2）得 ，或 （舍去） 210r0r故 zzTw1)(由例 2， 平面上的复位势 baFln)(*（ 为实数） ，b因此实位势bwaFvuln)(Re),(*由条件 时， ， 时， 得1w02110)(*wln1,b所以 zazFz21l)()(*实位势 yxlnRe, )2ln0(请诸位根据所得结果，自己注明电力线方向流体运动在平面任一点 处，流体具有某固定之速度，可由),(yx向量值函数表示， ，亦可由复变数示之：),(,21yxvv cyxo（1）),(),(),( 21 yxivyxvyxv可以证明在无旋不可压缩之条件下，存在解析函数（2）),(),()( yxiyxzF使得其流线
7、为 常数，而且速度, （3）)(21 zFivV亦可证明 ，即,yxgradvx21,（4）证明：先证滑旋函数 yVxy12),(设曲线 的参数方程为：c （以弧长 为自然参数）)()(siyxszs设 为 在切线方向的分号，因此tv，dyvxsdvt 21.则 表示流体沿 之环流cct c如果 是简单闭曲线，由格林公式dyVxsdvDc )(.12双重积分内心被积函数称为涡旋函数，记为 yxy12),( （5）如若无旋流，则有 012yVx（6）由（6）并格林公式，可知如下定义之 为一单位函数),(yxdyVxyxyx2),(10,(而且， 1x 2Vy（7）在不可压缩条件下，在无源，无汇之
8、区域内，散度021yVxvdi（8）至于散度函数 可由读者自行推导查阅相关材yxvdi21料因此将（7）代入（8）即得 ，这说明 是个022yx调和函数取 的共轭调和函数 ，则 解析，故)()(zizF，21)( iVxixizF因此 （10）)(21ziVwzoyxo例 1绕过一直角的流动。解 问题的关键在于将一个“非典型”区域保角映射为一个“典型”区域。由于半平面上的流体平行流动较容易算出其复位势，所以通过幂函数将角域保角映射为上半平面。在 平面 w，),(),()( * vuivuF因为在 平面流速为常速 ，故(0)k，因此*()dwvkkF)(* ：将第 I 象限 上半平面2zw，)2()()( 222* ixyyxkzzF故流线常数 （双曲线）kxy2流速为，)(2)( iyxkzzFV即 ， ，因此每点的速率为12kx2ky22Vx例 2绕过一圆柱体的流动yx1-1 owzoo解 如上图，由单位圆外到整个复平面割去裂缝 的1,保角映射为。1()2wz如同例 1，在 平面复位势 ，因此kwF)(*11()()2kFzzxiyi，2()ixiy所以流线。2(,)()kyxyCx速度，2221()()kkxyiVFzz由上式我们可以看出，当点离远点较远时，流速近似于一
