1、- 1 -线、角、相交线、平行线规律 1.如果平面上有 n(n2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出n(n1)条.12规律 2.平面上的 n 条直线最多可把平面分成 n(n+1)+1个部分.12规律 3.如果一条直线上有 n 个点，那么在这个图形中共有线段的条数为 n(n1)条.12规律 4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半.例：如图，B 在线段 AC 上，M 是 AB 的中点，N 是 BC 的中点.求证：MN = AC12证明：M 是 AB 的中点，N 是 BC 的中点AM = BM = AB ,BN = CN
2、= BC12MN = MB+BN = AB + BC = (AB + BC)MN = AC12练习：1.如图，点 C 是线段 AB 上的一点，M 是线段 BC 的中点.求证：AM = (AB + BC) 2.如图，点 B 在线段 AC 上，M 是 AB 的中点，N 是 AC 的中点.求证：MN = BC 123.如图，点 B 在线段 AC 上，N 是 AC 的中点，M 是 BC 的中点.求证：MN = AB 规律 5.有公共端点的 n 条射线所构成的交点的个数一共有 n(n1)个.12规律 6.如果平面内有 n 条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有 2n（n1）个.规律 7. 如果平面
3、内有 n 条直线都经过同一点，则可构成 n（n1）对对顶角.规律 8.平面上若有 n（n 3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出 n(n1)16(n 2）个.规律 9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为 90o.规律 10.平面上有 n 条直线相交，最多交点的个数为 n(n1) 个.12规律 11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半.规律 12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直.例：如图，以下三种情况请同学们自己证明.规律 13.已知 ABDE, 如图,规律如下：1 ABC+BCD
4、+CDE=360E DCBAHGFEDBCAHGFEDBCAHG FEDBCANM CBAMC BANM CBAN M CBA- 2 -规律 14.成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半.例：已知，BE、DE 分别平分ABC 和ADC，若A = 45 o,C = 55o,求E 的度数.解：AABE = EADE CCDE = ECBE 得AABECCDE = EADE ECBEBE 平分ABC、DE 平分ADC，ABE =CBE，CDE =ADE2E =A CE = (AC)1A =45 o,C =55 o,E =50o 三角形部分规律 15在利用三角形三边
5、关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题.例：如图，已知 D、E 为ABC 内两点，求证： ABACBDDECE. 证法（一）：将 DE 向两边延长，分别交 AB、AC 于 M、N在AMN 中， AM ANMDDE NE 在BDM 中，MB MD BD 在CEN 中，CNNECE 得AM ANMBMD CNNEMDDENE BDCEAB ACBD DECE证法（二）延长 BD 交 AC 于 F，延长 CE 交 BF 于 G,在ABF 和GFC 和GDE 中有，AB AFBDDGGFGF
6、FCGE CEDGGE DE有AB AFGFFC DGGEBDDGGFGECEDEAB ACBD DECE注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题.练习：已知：如图 P 为ABC 内任一点，求证： (ABBCAC)PAPBPCAB BCAC12规律 16三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半.FGNMEDCBA+= CDEABCBCD2E DCBA-=CDE ABCBCD3 E DCBA-= CDEABCBCD4 E DCBA+=CDE ABCBCD5 E D CBA+= C
7、DEABC BCD6E DCBA NMEDBCA- 3 -例：如图，已知 BD 为ABC 的角平分线，CD 为ABC 的外角ACE 的平分线，它与 BD 的延长线交于 D.求证：A = 2 D证明：BD、CD 分别是ABC 、ACE 的平分线ACE =2 1, ABC =22A = ACE ABCA = 212 2又D =1 2A =2D规律 17. 三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于 90o 加上第三 个内角的一半.例：如图，BD、CD 分别平分ABC、ACB， 求证：BDC = 90o A12证明：BD、CD 分别平分ABC、ACBA2122 = 180o2(12)= 180 oAB
8、DC = 180o(12)(12) = 180oBDC把式代入式得2(180oBDC)= 180 oA即：360 o2BDC =180 oA2BDC = 180oABDC = 90o A规律 18. 三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于 90o 减去第三个内角的一半.例：如图，BD、CD 分别平分EBC、FCB， 求证：BDC = 90o A12证明：BD、CD 分别平分EBC、FCBEBC = 21、 FCB = 2221 =A ACB 22 =A ABC 得2（12）= AABC ACBA2（12）= 180oA（12）= 90o A12BDC = 180o(12)BDC = 180o
9、(90 o A)BDC = 90o A2规律 19. 从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对值）的一半.例：已知，如图，在ABC 中，C B， ADBC 于 D， AE 平分BAC.求证：EAD = (CB)1证明：AE 平分BACBAE =CAE = BAC2BAC =180o(BC)EAC = 180o(B C)1ADBCDAC = 90 o CEAD = EACDAC2 1C EDBADCBA2121 FE DCBAE D CBA- 4 -EAD = 180 o(BC)(90 oC)12= 90o (BC) 90oC= (CB)如果把 AD 平移可
10、以得到如下两图，FD BC 其它条件不变，结论为EFD = (CB).12注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力.规律 20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.例：已知 D 为ABC 内任一点，求证：BDC BAC证法（一）：延长 BD 交 AC 于 E，BDC 是EDC 的外角，BDC DEC同理：DECBACBDC BAC证法（二）：连结 AD，并
11、延长交 BC 于 FBDF 是ABD 的外角，BDFBAD同理CDFCADBDFCDFBADCAD即：BDC BAC规律 21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为ABC 的中线且1 = 2，3 = 4，求证：BECF EF证明：在 DA 上截取 DN = DB，连结 NE、NF，则 DN = DC在BDE 和NDE 中，DN = DB1 = 2ED = EDBDENDEBE = NE同理可证：CF = NF在EFN 中，ENFNEFBECFEF规律 22. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为ABC 的
12、中线，且1 = 2，3 = 4，求证：BECFEF证明：延长 ED 到 M，使 DM = DE，连结 CM、FMBDE 和CDM 中，BD = CD1 = 5ED = MDBDECDMCM = BE又1 = 2， 3 = 4123 4 = 180o3 2 = 90 o即EDF = 90 oFDM = EDF = 90oEDF 和MDF 中ED = MDFDM = EDFDF = DFAB CDEFFED CBAFAB CDEDCBA4321NFED CBAMAB CDE F1 2 345- 5 -EDFMDFEF = MF在CMF 中，CF CM MFBECFEF（此题也可加倍 FD，证法同上
13、）规律 23. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为ABC 的中线，求证：ABAC2AD证明：延长 AD 至 E，使 DE = AD，连结 BEAD 为ABC 的中线BD = CD在ACD 和EBD 中BD = CD 1 = 2AD = EDACDEBDABE 中有 ABBEAEAB AC2AD规律 24.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等.这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段 a、b、c、d 有下列情况之一时用此种方法：abab = cab = cd例：已知，如图，在AB
14、C 中，ABAC，1 = 2，P 为 AD 上任一点，求证：ABAC PBPC证明：截长法：在 AB 上截取 AN = AC，连结 PN在APN 和APC 中，AN = AC1 = 2AP = APAPN APCPC = PNBPN 中有 PBPCBNPBPCAB AC补短法：延长 AC 至 M，使 AM = AB，连结 PM在ABP 和AMP 中AB = AM 1 = 2AP = APABPAMPPB = PM又在PCM 中有 CM PMPCAB ACPBPC练习：1.已知，在ABC 中，B = 60o,AD、CE 是ABC 的角平分线,并且它们交于点 O求证：AC = AE CD2.已知，
15、如图，ABCD1 = 2 ,3 = 4. 求证：BC = ABCD 规律 25.证明两条线段相等的步骤：观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等.如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形.例:如图，已知，BE、CD 相交于 F，B = C，1 = 2，求证： DF = EF证明：ADF =B3 AEF = C 4又3 = 41 2ED CBAP1 2ND CBAAB CD21PM 4321E DCBA- 6 -B = CADF = AEF在ADF 和AEF 中ADF = AEF
16、1 = 2 AF = AFADF AEFDF = EF规律 26.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角 （等角）的余角相等来证明两个角相等.例：已知，如图 RtABC 中，AB = AC，BAC = 90o，过 A 作任一条直线 AN，作 BDAN 于 D，CEAN 于E，求证：DE = BDCE证明：BAC = 90o, BDAN12 = 90 o 13 = 90o2 = 3BD AN CEANBDA =AEC = 90o在ABD 和CAE 中，BDA = AEC2 = 3AB = ACABDCAEBD = AE 且 AD = CEAEAD = BDCEDE = BDCE规律 27.三角
17、形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等.例：AD 为ABC 的中线，且 CFAD 于 F，BEAD 的延长线于 E求证：BE = CF证明：（略）规律 28.条件不足时延长已知边构造三角形.例：已知 AC = BD，ADAC 于A，BCBD 于 B求证：AD = BC证明：分别延长 DA、CB 交于点 EADAC BCBDCAE = DBE = 90o在DBE 和CAE 中DBE =CAEBD = ACE =EDBECAEED = EC ，EB = EAEDEA = EC EBAD = BC规律 29.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成 三角形来解决问题.例：已知，如图，ABCD，
18、AD BC求证：AB = CD证明：连结 AC（或 BD）AB CD，ADBC1 = 2 在ABC 和CDA 中，1 = 2 AC = CA3 = 4 ABC CDA43 21FEDCBA321NEDCBA21D CBAFEOED CBA4321DCBA EFD CBA- 7 -AB = CD练习：已知，如图，AB = DC，AD = BC，DE = BF，求证：BE = DF规律 30.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为“角分垂等腰归”.例：已知，如图，在 RtABC 中，AB = AC，BAC = 90 o，1 = 2 ，CEBD 的延长线于 E求证：BD = 2CE证
19、明：分别延长 BA、CE 交于 FBECFBEF =BEC = 90o在BEF 和BEC 中1 = 2 BE = BEBEF =BECBEFBECCE = FE = CF2BAC = 90o , BECFBAC = CAF = 90o 1BDA = 90 o1BFC = 90 oBDA = BFC在ABD 和ACF 中BAC = CAFBDA = BFCAB = ACABDACFBD = CFBD = 2CE练习：已知，如图，ACB = 3B，1 =2,CDAD 于 D，求证：ABAC = 2CD规律 31.当证题有困难时，可结合已知条件，把 图形中的某两点连接起来构造全等三角形.例：已知，如
20、图，AC、BD 相交于 O，且 AB = DC，AC = BD，求证：A = D证明：（连结 BC，过程略）规律 32.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供 条件.例：已知，如图，AB = DC，A = D求证：ABC = DCB证明：分别取 AD、BC 中点 N、M，连结 NB、NM 、NC（过程略）规律 33.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做 垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题.例：已知，如图，1 = 2 ，P 为 BN 上一点，且 PDBC 于 D，ABBC = 2BD，求证：BAP BCP = 180o证明：过 P 作 PEBA 于 EPD BC
21、 ，1 = 2 PE = PD在 RtBPE 和 RtBPD 中21EFDCBAOABDCBA DC21D CBANPEDCBA21- 8 -BP = BPPE = PDRtBPE RtBPDBE = BDAB BC = 2BD，BC = CDBD，AB = BEAEAE = CDPEBE，PD BCPEB =PDC = 90 o在PEA 和PDC 中PE = PDPEB =PDCAE =CDPEAPDCPCB = EAPBAPEAP = 180 oBAPBCP = 180 o练习：1.已知，如图，PA、PC 分别是ABC 外角MAC 与NCA 的平分线，它们交于 P，PD BM 于 M，PF
22、BN 于 F，求证：BP 为MBN 的平分线2. 已知，如图，在ABC 中，ABC =100o，ACB = 20o，CE 是ACB 的平分线，D 是 AC 上一点，若CBD = 20o，求CED 的度数。规律 34.有等腰三角形时常用的辅助线作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB = AC，BDAC 于 D，求证：BAC = 2DBC证明：（方法一）作BAC 的平分线 AE，交 BC 于 E，则1 = 2 = BAC1又AB = ACAEBC2ACB = 90oBD ACDBC ACB = 90 o2 = DBCBAC = 2DBC（方法二）过 A 作 AEBC 于 E（过程略
23、）（方法三）取 BC 中点 E，连结 AE（过程略）有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，ABC 中，AB = AC，D 为 BC 中点，DEAB 于 E，DF AC 于 F，求证：DE = DF证明：连结 AD.D 为 BC 中点，BD = CD又AB =ACAD 平分BACDEAB，DFACDE = DF将腰延长一倍，构造直角三角形解题FMNPBADCED CBA21EDCBAFED CBA- 9 -例：已知，如图，ABC 中，AB = AC，在 BA 延长线和 AC 上各取一点 E、F，使 AE = AF，求证：EFBC证明：延长 BE 到 N，使 AN = AB,连结 CN,则 A
24、B = AN = ACB = ACB, ACN = ANCBACB ACNANC = 180o2BCA 2ACN = 180oBCA ACN = 90o即BCN = 90oNC BCAE = AFAEF = AFE又BAC = AEF AFEBAC = ACN ANCBAC =2AEF = 2ANCAEF = ANCEFNCEFBC常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在ABC 中，AB = AC，D 在 AB 上，E 在 AC 延长线上，且 BD = CE，连结 DE 交 BC 于 F求证：DF = EF证明：（证法一）过 D 作 DNAE，交 BC 于 N，则DNB = A
25、CB，NDE = E ，AB = AC，B = ACBB = DNBBD = DN又BD = CE DN = EC在DNF 和ECF 中1 = 2NDF =EDN = EC DNF ECFDF = EF（证法二）过 E 作 EMAB 交 BC 延长线于 M,则EMB =B （过程略）常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图，ABC 中，AB =AC，E 在 AC 上，D 在 BA 延长线上，且 AD = AE，连结 DE求证：DEBC证明：（证法一）过点 E 作 EFBC 交 AB 于 F，则AFE = BAEF = CAB = ACB = CAFE =AEFAD = AEAED =A
26、DE又AFEAEFAEDADE = 180o2AEF2AED = 90 o 即FED = 90 o DEFE又EFBCDEBC（证法二）过点 D 作 DNBC 交 CA 的延长线于 N， （过程略）（证法三）过点 A 作 AMBC 交 DE 于 M， （过程略）常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形-等边三角形例：已知，如图，ABC 中，AB = AC，BAC = 80o ,P 为形内一点，若 PBC = 10o PCB = 30o 求PAB 的度数.解法一：以 AB 为一边作等边三角形，连结 CE则BAE =ABE = 60oAE = AB = BEAB = ACNFECBA21N FEDCB
27、A21MFEDCBA NMF EDCBA- 10 -AE = AC ABC =ACBAEC =ACEEAC =BACBAE= 80o 60o = 20oACE = (180oEAC)= 80o12ACB= (180oBAC)= 50oBCE =ACE ACB= 80o50 o = 30oPCB = 30 oPCB = BCEABC =ACB = 50 o, ABE = 60 oEBC =ABE ABC = 60 o50 o =10oPBC = 10 oPBC = EBC在PBC 和EBC 中PBC = EBCBC = BCPCB = BCEPBCEBCBP = BEAB = BEAB = BP
28、BAP =BPAABP =ABCPBC = 50o10 o = 40oPAB = (180oABP)= 70 o12解法二：以 AC 为一边作等边三角形，证法同一。解法三：以 BC 为一边作等边三角形BCE，连结 AE,则EB = EC = BC， BEC =EBC = 60 oEB = ECE 在 BC 的中垂线上同理 A 在 BC 的中垂线上EA 所在的直线是 BC 的中垂线EABCAEB = BEC = 30 o =PCB12由解法一知：ABC = 50oABE = EBCABC = 10o =PBCABE =PBC,BE = BC,AEB =PCBABEPBCAB = BPBAP =BPAABP =ABCPBC = 50o10 o = 40oPAB = (180oABP) = (180o40 o)= 70o1212规律 35.有二倍角时常用的辅助线构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角例：已知，如图，在ABC 中，1 = 2，ABC = 2C ，求证：ABBD = AC证明：延长 AB 到 E，使 BE = BD，连结 DE则BED = BDEABD =E BDEABC =2E21ED CBAPECBAPECBA
