1、- 1 -初中数学证明题常见辅助线作法记忆歌诀及几何规律汇编人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。初中几何常见辅助线作法歌诀人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成
2、中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。- 2 -切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆
3、。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。线、角、相交线、平行线规律 1.如果平面上有 n(n2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出 n(n1)条.12规律 2.平面上的 n 条直线最多可把平面分成 n(n+1)+1个部分.规律 3.如果一条直线上有
4、n 个点，那么在这个图形中共有线段的条数为 n(n1)条.12规律 4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半.例：如图，B 在线段 AC 上， M 是 AB 的中点，N 是 BC 的中点.求证：MN = AC12证明：M 是 AB 的中点，N 是 BC 的中点NM CBA- 3 -AM = BM = AB ,BN = CN = BC1212MN = MB+BN = AB + BC = (AB + BC)MN = AC练习：1.如图，点 C 是线段 AB 上的一点，M 是线段 BC 的中点.求证：AM = (AB + BC) 122.如图，点 B 在线段
5、AC 上，M 是 AB 的中点，N 是 AC 的中点.求证：MN = BC 3.如图，点 B 在线段 AC 上， N 是 AC 的中点，M 是 BC 的中点.求证：MN = AB 12规律 5.有公共端点的 n 条射线所构成的交点的个数一共有 n(n1)个.12规律 6.如果平面内有 n 条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（n1）个.规律 7. 如果平面内有 n 条直线都经过同一点，则可构成 n（n1）对对顶角.规律 8.平面上若有 n（n3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出 n(n1)(n2 ）个.6规律 9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为
6、 90o.规律 10.平面上有 n 条直线相交，最多交点的个数为 n(n1)个.12规律 11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半.规律 12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直.例：如图，以下三种情况请同学们自己证明.HGFEDBCAHGFEDBCAHG FEDBCAMC BANM CBAN M CBA- 4 -规律 13.已知 ABDE,如图,规律如下：规律 14.成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半.例：已知，BE、DE 分别平分ABC 和ADC，若A = 45o,C =
7、 55 o,求E 的度数.解：AABE =EADE CCDE =ECBE 得AABECCDE =EADEECBEBE 平分ABC、DE 平分ADC，ABE =CBE，CDE =ADE2E =ACE = (AC)12A =45 o, C =55o,1 ABC+BCD+CDE=360E DCBA+= CDEABCBCD2E DCBA-=CDE ABCBCD3 E DCBA-= CDEABCBCD4 E DCBA+=CDE ABCBCD5 E D CBA+= CDEABC BCD6E DCBANMEDBCA- 5 -E =50 o 三角形部分规律 15在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接
8、证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题.例：如图，已知 D、E 为ABC 内两点，求证：ABACBDDECE. 证法（一）：将 DE 向两边延长，分别交 AB、AC 于M、N在AMN 中， AM ANMDDENE 在BDM 中，MBMDBD 在CEN 中，CNNECE 得AMANMBMDCNNEMDDENEBDCEABACBDDECE证法（二）延长 BD 交 AC 于 F，延长 CE 交 BF 于 G,在ABF 和GFC 和GDE 中有，ABAFBDDGGFGFFCGECEDGGEDE有ABAFGFFCDGGE BD
9、DGGFGECEDEABACBDDECE注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题.练习：已知：如图 P 为ABC 内任一点，求证： (ABBCAC)PAPBPCABBCAC12规律 16三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半.例：如图，已知 BD 为ABC 的角平分线，CD 为ABC 的外角ACE 的平分线，它与BD 的延长线交于 D.求证：A = 2D证明：BD、CD 分别是ABC、ACE 的平分线ACE =21, ABC =22A = ACE ABCFGNMEDCBA2
10、1C EDBA- 6 -A = 2122又D =12A =2D规律 17. 三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于 90o 加上第三个内角的一半.例：如图，BD、CD 分别平分ABC、ACB， 求证：BDC = 90 o A12证明：BD、CD 分别平分ABC、ACBA2122 = 180 o2(12)= 180 oABDC = 180 o(12)(12) = 180 oBDC把式代入式得2(180oBDC)= 180 oA即：360 o2BDC =180 oA2BDC = 180 oABDC = 90 o A12规律 18. 三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于 90o 减去第三个内角
11、的一半.例：如图，BD、CD 分别平分EBC、FCB， 求证：BDC = 90 o A12证明：BD、CD 分别平分EBC、FCBEBC = 21、FCB = 2221 =AACB 22 =AABC 得2（12）= AABCACBA2（12）= 180 oA（12）= 90 o A12BDC = 180 o(12)BDC = 180 o(90 o A)BDC = 90 o A12规律 19. 从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对值）的一半.例：已知，如图，在ABC 中，CB， ADBC 于 D， AE 平分BAC.DCBA2121 FE DCBA- 7
12、 -求证：EAD = (CB)12证明：AE 平分BACBAE =CAE = BACBAC =180 o(BC)EAC = 180 o(BC)12ADBCDAC = 90 o CEAD = EACDACEAD = 180 o(BC)(90 oC)12= 90o (BC)90 oC= (CB)12如果把 AD 平移可以得到如下两图，FDBC 其它条件不变，结论为EFD = (CB).注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力.规律 20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来
13、，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.例：已知 D 为ABC 内任一点，求证：BDCBAC证法（一）：延长 BD 交 AC 于 E，BDC 是EDC 的外角，BDCDEC同理：DECBACBDCBAC证法（二）：连结 AD，并延长交 BC 于 FBDF 是ABD 的外角，BDFBADE D CBAAB CDEFFED CBAFAB CDEDCBA- 8 -同理CDFCADBDFCDFBADCAD即：BDCBAC规律 21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为ABC 的中线且1
14、 = 2，3 = 4，求证：BECFEF证明：在 DA 上截取 DN = DB，连结 NE、NF，则 DN = DC在BDE 和NDE 中，DN = DB1 = 2ED = EDBDENDEBE = NE同理可证：CF = NF在EFN 中，ENFNEFBECFEF规律 22. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为ABC 的中线，且1 = 2，3 = 4，求证：BECFEF证明：延长 ED 到 M，使 DM = DE，连结 CM、FMBDE 和CDM 中，BD = CD1 = 5ED = MDBDECDMCM = BE又1 = 2，3 = 412
15、3 4 = 180 o3 2 = 90 o即EDF = 90 oFDM = EDF = 90 oEDF 和MDF 中ED = MDFDM = EDFDF = DFEDFMDFEF = MF4321NFED CBAMAB CDE F1 2 345- 9 -在CMF 中，CFCM MFBECFEF（此题也可加倍 FD，证法同上）规律 23. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为ABC 的中线，求证：ABAC2AD证明：延长 AD 至 E，使 DE = AD，连结 BEAD 为ABC 的中线BD = CD在ACD 和EBD 中BD = CD 1 = 2AD =
16、EDACDEBDABE 中有 ABBEAEABAC2AD规律 24.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等.这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段 a、b、c、d 有下列情况之一时用此种方法：abab = cab = cd例：已知，如图，在ABC 中，ABAC，1 = 2，P 为 AD 上任一点，求证：ABACPBPC证明：截长法：在 AB 上截取 AN = AC，连结 PN在APN 和APC 中，AN = AC1 = 2AP = APAPNAPCPC = PNBPN 中有 PBPCBNPBPCABAC补短法：延长
17、AC 至 M，使 AM = AB，连结 PM在ABP 和AMP 中AB = AM 1 2ED CBAP1 2ND CBAAB CD21PM- 10 -1 = 2AP = APABPAMPPB = PM又在PCM 中有 CM PMPCABACPBPC练习：1.已知，在ABC 中，B = 60 o,AD、CE 是ABC 的角平分线,并且它们交于点O求证：AC = AECD2.已知，如图，ABCD1 = 2 ,3 = 4. 求证：BC = ABCD 规律 25.证明两条线段相等的步骤：观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段
18、代换，再证它们所在的三角形全等.如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形.例:如图，已知，BE、CD 相交于 F，B = C，1 = 2，求证：DF = EF证明：ADF =B3 AEF = C4又3 = 4B = CADF = AEF在ADF 和AEF 中ADF = AEF1 = 2 AF = AFADFAEFDF = EF规律 26.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等.例：已知，如图 RtABC 中，AB = AC，BAC = 90o，过 A 作任一条直线 AN，作BDAN 于 D，CEAN 于 E，求证：DE = BDCE证明：BAC = 90 o, BDAN12 = 90 o 13 = 90 o2 = 343 21FEDCBA4321E DCBA
