1、1 / 11全等三角形辅助线系列之三与截长补短有关的辅助线作法大全一、截长补短法构造全等三角形截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想所谓“截长” ，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短” ，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解截长补短法作辅助线，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目典型例题精讲【例 1】 如图，在 中， ， 是
2、 的平分线，且 ，求 的ABC60ADBCACBDABC度数 D CBA【解析】法一：如图所示，延长 至 使 ，连接 、 ABEDEC由 知 ，ACBDC而 ，则 为等边三角形60注意到 ， ， ，EA故 .从而有 ， ，E故 .2BDCDC所以 ， .20E6028ABBE法二：在 上取点 ，使得 ，则由题意可知 .A D在 和 中， ， ， ，EA则 ，从而 ，B进而有 ， ，DECDC.A2注意到 ，则：A，13180120BBABAC故 .80C【答案】见解析2 / 11ED CBA ED CBA【例 2】 已知 中， ， 、 分别平分 和 ， 、 交于点 ，试判ABC60BDCABC
3、.CEO断 、 、 的数量关系，并加以证明ED DOECBA【解析】 ，BECD理由是：在 上截取 ，连结 ，BFEOF利用 证得 ， ，SAO12 ， ， ，60900A120DE ， ，18DE8 ，13 ， ， ，240234利用 证得 ， ，ASCOFC BFBE【答案】见解析4321FDOECBA【例 3】 如图，已知在ABC 内， ， ，P、Q 分别在 BC、CA 上，并且 AP、BQ60BAC4分别是BAC 、ABC 的角平分线，求证： BAB3 / 11QPCB A【解析】延长 AB 至 D，使 ，连 DPBP在等腰BPD 中，可得 ，40从而 ，40PACADPACP（ASA
4、 ） ，故 D又 ，故 ， 40QBBQBP从而 AP【答案】见解析【例 4】 如图，在四边形 ABCD 中， ， ，BD 平分ABC，求证：BCAD180ACCDBA【解析】延长 BA 至 F，使 ，连 FDBCBDFBDC（SAS ） ，故 ，DD又 ，故在等腰BFD 中，ACFBDA故有 180B【答案】见解析4 / 11【例 5】 点 ， 在等边三角形 的 边上运动， ， ， ，MNABCBDC12060MDN求证： 21 EAB CDMNNMD CBA【解析】延长 至 ，使得NCEMB 是等腰三角形，且 ，BD120DC30BCD 是等边三角形A 6A 9MBNE在 和 中， ， ，
5、BCEBE .D , .12又 ， .60N+60NDC在 与 中，E， ，60MEM D CB【答案】见解析 21 EAB CDMNNMD CBA【例 6】 如图在ABC 中， ， ，P 为 AD 上任意一点，求证： ABC12ABPC21PDBA5 / 11【解析】延长 AC 至 F，使 ，连 PDABABPAFP（SAS）故 BP由三角形性质知 CFAFCBA【答案】见解析【例 7】 如图，四边形 ABCD 中，ABDC，BE 、CE 分别平分ABC 、BCD，且点 E 在 AD 上求证： BCADDECBA【解析】在 BC 上截取 ，连接 EFBFABE 平分ABC， EB又 ，ABE
6、 FBE（SAS） ， EABFEAB/CD， 180AD ，BFCC又 ，CE 平分 BCD，EEDCEFCE（AAS） ， DF BCFABC【答案】见解析6 / 11【例 8】 如图，点 为正方形 的边 上任意一点， 且与 外角的平分线交于MABCDMNDABC点 ， 与 有怎样的数量关系？NNCDEBMANCDEBMA【解析】猜测 .在 上截取 ，DMNG ，GB45 ， ，13 DN ， 【答案】见解析【例 9】 已知：如图， 是正方形， ，求证： ABCDFADEBDFAE FEDCBA MFEDCBA【解析】延长 至 ，使得 ，连接 .CBMDFAM ， ， ，AD F ，FB
7、B AEAFAEBA ， MMDF【答案】见解析【例 10】 如图所示，已知正方形 ABCD 中，M 为 CD 的中点，E 为 MC 上一点，且求证： 2BAEDAEBC MEDCBA7 / 11【解析】分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等(2)通过添辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段相等我们用(1)法来证明【答案】延长 到 ，使 ，则由正方形性质知ABFCEAFBCE下面我们利用全等三角形来证明 为此，连接 交边 于 由于对顶角
8、AEG，所以 ，GRtBGFS从而 ，12， DM于是 ，RttABDS所以 ， 是 的平分线MAEEAFHGF MEDCBA【例 11】 五边形 ABCDE 中， ， ， ，求证：AD 平分ABECD180ACEDCDE CEDBA【解析】延长 DE 至 F，使得 ，连接 AC.EBC ， ，180ABCD180AFEDABEF ， ，ABC AEF ，E ， ADCADF， ACF即 AD 平分 CDE.【答案】见解析8 / 11ABDEFC【例 12】 若 为 所在平面上一点，且 ，则点 叫做 的PABC 120APBPAPABC费马点（1）若点 为锐角 的费马点，且 ， ，则 的值为6
9、0C34C，_；（2）如图，在锐角 外侧作等边 ，连结 求证： 过 的费马点 ，且 BACPBAPBCBA【解析】 （1） 23（2）证明：在 上取点 ，使 ，BP120BC连结 ，再在 上截取 ，连结 APEE ， ， 为正三角形，10C6P ， ， ，E 为正三角形， ， ，BAB60 ， ，PAECCAEB ， ， ， 12PP ，120 为 的费马点，BC 过 的费马点 ，A且 EPPBC【答案】见解析EPAB CB9 / 11课后复习【作业 1】已知，AD 平分 BAC， ，求证： ACBD2BCD CBA【解析】延长 AB 至点 E，使 ，连接 DEACAD 平分 BAC， D ，
10、 ，ACAEDACD （SAS） ， EC ，BDABD ， ，AE ，CE ， 2B2ABC【答案】见解析E CBAD【作业 2】如图，ABC 中， ，AD 平分BAC，且 ，求证：CDAC2ABCABCDBA10 / 11【解析】在 AB 上取中点 F，连接 FD则ADB 是等腰三角形， F 是底 AB 的中点，由三线合一知DFAB，故 90ADADFADC（SAS ），即：CDAC90CF【答案】见解析【作业 3】如图所示， 是边长为 的正三角形， 是顶角为 的等腰三角形，以 为顶ABC1BDC120D点作一个 的 ，点 、 分别在 、 上，求 的周长60MDNAAMN NMDCBA【解析】如图所示，延长 到 使 .ACEBM在 与 中，因为 ， ， ，BDMDC90ECDMCE所以 ，故 .因为 ， ，所以 .12060N 6N又因为 ，所以 . E在 与 中， ， ， ，N0EE所以 ，则 ，所以 的周长为 .D MA2【答案】见解析 EAB CDMN
