1、确定主应力大小和方向问题分析基础部 秦定龙一 问题的提出在工程结构设计中，为了全面评价梁的强度安全，确保工程结构万无一失， 经常要遇到计算结构中的主应力的大小和确定主应力的方向问题， 以便于分析结构破坏的原因，或者合理布置结构形式，或者正确布置 结构内的受力钢筋等。 图一(a)所示的钢筋混凝土简支梁，为什么会在轴线以下部分出现斜裂缝而破坏? 图一(b) 所示的铸铁试件在受到压缩或扭转时，为什么会沿与轴线成 45:的斜面上发生破坏?这些都与结构内的主应力大小和方向有关。在图二(a)中， 钢筋混凝土简支梁的两组主应力轨迹线是根据主应力的方向绘制出来的，而图二(b)中梁内的弯起钢筋和纵向受力钢筋则是
2、根据图二(a)中梁的主应力轨迹线布置的。图一（a）q(a)图二(b)上述情况说明，在对结构进行强度分析或计算时，都要涉及到结构内主应力大小的计算和确定主应力方向的问题。一般情况下，主 应力的大小可按特定的公式算出来，而在确定应力的方向 时，人 们往往不容易正确确定出来。本文就怎 样快速准确确定主应力大小和方向作阐述和介绍。二 主应力大小及方向的确定方法图三表示从某一构件中取出的单元体，设它处于平面应力状态下。假定在一对竖向平面上的正应力为 x,切应力为 x；在一对水平面上的正 应力为 yy，切应力为yy，它们的大小和方向已经求出。 现要求出这个单元体的最大正应力、最小正 应力即主应力的大小和方
3、向。对应力 、和角度 0的正负号规定如下：正应力(或主应力)以拉应力为正，压应力为负；切应力 对单元体内的任一点以顺时针转为正，以反时针转时为负；角度 0以从x轴的正向出发量到截面的外法成n是反时针转为正，是顺时针转为负。按照上述的规定，可以判断出， x、 y、 1及 2是正值； x是正值， y是正值，0角是负值。（a）主应力的确定方法有两种：一种是解析法，一种是应力圆法。下面分别讨论之。1确定主应力大小和主平面位置的解析法(b)图三根据对主应力的定义，进行严格的数学推导，得出 计算平面应力状态下单元的主应力公式如下： 02tgxy(1)由式(1)可以看出， 0有两个根。因为 00092182
4、tgtgtg说明 0和 9都能满足公式(1)，这就是说，处于平面应力状态下的单元体上有两个主平面，并且这两个主平面应是互相垂直的。 (单元体上切应力为零的平面称为主平面，主平面上的正应力即为主应力。 )两个主平面上的主应力大小的计算公式为 21214xyzy xyx（2）利用公式(1)和(2) ，在已知 x、 yy和 x的情况下，就可以很容易的求出两个主应力 12的大小和相应主应力的方向，并且 1与 2分别作用在两个互相垂直的平面上。如图中所示的单元体，只要确定了主平面ef的位置，另一个主平面gf的位置也就随之确定了。现在的问题是：在e f平面上，究竟作用的是主应 力 1呢? 还是主应力 2。
5、这就需要我们认真加以研究对待了。我们已可以根据公式(2)计算出在平面应力状态下的两个主应力的数值和根据公式(1)算得x轴与某一个主平面外法线之间的夹角 0(也就是 与某一个主应力的夹角)，从而确定两个主平面的位置。但是除了 这些之外，我们还必须进一步判断出 0究竟是 x与哪一个主应力的夹角，才能确定每一个主应力的方向。由式(1)可以看出， 02tg的极值是无穷大(当 0xy时的情况)，即 02总是小于或等于 90，因此 总是小于或等于 45的锐角，也就是说由 0确定方向的那个主应力总是偏向于x轴的。根据实践经验和理论分析知道，较大的主应力总是偏向x和 y中的较大者，较小的主应力则总是偏向于 x
6、和 y中的较小者。因此，可以归纳出确定主应力方向的规则如下：当 xy时， 0是 x与两个主应力中代数值较大者的夹角；当 时， 是 与两个主应力中代数值较小者的夹角；当 xy时， 045，主 应力的方向可以从单元体上的应力情况直观判断出来。为了便于记忆，可把上述的规则通俗的叙述为： “小偏小来大偏大，夹角不比45大”。2确定主应力大小和主平面位置的应力圆法关于用应力圆确定主应力大小和主平面位置的方法，现以图四(a)所示的单元体为例介绍如下：首先根据单元体上的已知应力 x、 、 y、 y作出应力圆如图四(b)昕示，然后从图上量得 1OA， 2B。现证明如下：因为： 121122142xyxyxxy
7、xyxOACDB合起来就是： 21214xyxy xyx它与由解析法求得的主应力计算公式(2)相同此外，主应力的方向也可以由图四(b)求得。因为 1DCA为 x与 1所夹角的二倍(即 02)，而由 1D转至 A是按顺时针转向，所以 0应该是负值。据此，就可以在 单元体上，自 x的方向，按顺时针转向量一角 就得到主应力 1的方向, 2的方向则与1的方向垂直，如图四(a)中所示。三 主应力分析实例例：图五(a)所示的单元体，是从某受力构件K点处截取出来的。已知x=25Mpa，130xMpa， 125ypa。试用应力圆法和解析法求出该单元体的主应力大小和方向。解：(一 ) 用 应力圆法求解1 作应力
8、圆建立直角坐标系 ，按选定的比例尺，由 x和 的值定出与x面相对应的1D点；再由 y和 y的值定出与y面相对应的 2D点，连接 12直线并交 轴于点，以C为圆 心， 12为半径作一 圆，即为该单元体的应力 圆， 见图五(b)所示。(a)图五(b)2 求主应力的大小应力圆上A和B点分别为单元体上两个主平面所 对应的点，主应力的大小按所选用的比例尺直接从图上量取得1302OMpaB该单元体上有一拉一压两个主应力。由于主应力是按代数值顺序排列，为拉应力的是 1，为零是 2，为压应力的是 3。因此，平面应力状态下的两个主应力若为一拉一压，则主拉应力为 1，主 压应力为 (因为 123)。3 求主应力的
9、方向从应力圆上量得圆心角 1DCA062。，且 1A是由 1D反时针方向旋转而得，所以 0为正。 1的主平面角 00，即在 单元体上， 由x轴开始反时针方向旋转 3就可以得到作 1用的主平面的外法线n，从而确定 1的方向及其主平面的位置；至于 3的方向则必定与 1 的方向垂直。由两个主平面组成的单元体也画在图五(a)中。(二 )由解析法求解将 25,130,125xxyMpapaMpa代入(2)和(1)式便可求出主应力的大小，方向，即 212 2455113030022xyxyxMpa既 1230,102.7352xyMpatg解得： 。=30 。+90=1 2 0由于 xy，故 03应为 1与 x之间的夹角， 09为 3与 x轴之间的夹角， 0与 9均由x轴反时针方向旋转即可得出 1与 的主应力方向，如图五(a)所示。上述介绍的确定主应力大小和方向的方法，读者可以参照例题细心领会，反复练习即可掌握。 (责任编辑：张 健)
