1、如何数复杂图形中三角形的个数作者姓名：曾祥云 电子邮箱： QQ：164105250我们常常会遇到数一个图中有多少个基本图形的问题，比如一个图中有多少个长方形、正方形、三角形等。对于长方形和正方形来说，由于规律性比较强学生觉得比较容易，但对于三角形则往往觉得比较复杂，有时甚至无从下手。拙文从有规律图形和复杂图形两方面来探讨数三角形个数的方法，重点通过一个实例展示数复杂图形中三角形个数的一种方法。一、有规律图形中三角形的个数的计算方法。如图 1 所示，这种图形中三角形的个数可用公式来表2)1(n示，其中 为 BC上的顶点数。其实质就是数 BC 边上线段的条数，每条线段对应一个三角形。图 2 所示的
2、图形中三角形的个数则可以用 来表示，mn2)1(的含义同上， 为端点分别在 AB 和 AC 上的连线的数量。nm以上两种情况比较常见，在后面的方法中也常常要用到。二、复杂图形中三角形个数的计算方法。在图 3 所示的图形中，常用的方法是先按图 2 的方法计算出有顶点在 A 的那部分三角形个数，再加上没有顶点在 A 的三角形的个数。这样图 3 中三角形的个数为： 1532)14(对于图 4 中有多少个三角形，则会让人产生一种无从下手的感觉！对于这种图形，我们可以采用一种暂且命名为“相关擦除法”的方法来计算，下面以图 4 为例详细介绍“相关擦除法”的使用方法。首先计算一个顶点在 A 的三角形的个数，
3、也就是与 A 点相关的三角形的个数：（1）3052)14(然后擦除原图中其它部分与 A 点的连线，将它变成图 4-1，已擦除的连线用虚线表示，也就虚线应视为不存在的线，只是为了便于联系原图而画出来的，下同。上述个数加上图 4-1 中三角形的个数就是图 4 中所有三角形的个数。因为， （1）式中的三角形个数是与A 点有关的，而图 4-1 中三角形的个数则是原图中与 A 点无关的。图 4-1 中与 B 点相关的三角形的个数为：（2）21932)1(32)14( 计算出与 B 点有关的数据后就可以擦除与 B 点有关的连线，简化成图 4-2。依此类推，计算与 C 点有关的三角形个数后，再变成图 4-3
4、。由于图 4-2 是一个不规则的图形，其三角形的个数不方便用前面的公式来计算，因此，我们有必要找一种数三角形的方法，而不再是公式。可以这样数，从 C 点出发按顺时针或逆时针方向，数一数一共可以构成多少条三角形回路就行了。现在用逆时针方向来数，从 C 向 A，第一条边有 2 种选择，分别有 2 条三角形回路，共 4 个三角形；再从 C 向 D，第一条边会有 5 种选择，共有 个三角形；再从 C 向 E 走，712则有 2 个三角形。这样，图 4-2 中与 C 点相关的三角形个数为：（3）1374图 4-3 再去掉无三角形的相关点则变成了图 4-4。在图 4-4 中，我们可以继续用上述方法将图形简
5、化下去，也可以直接数出个数。我们用前面的方法，得到图 4-4 中与实线大三角形三个顶点有关的三角形总数为：（4）412并将图简单化为图 4-5。而图 4-5 中三角形的个数为：4（5）由（1）（ 5）式，我们得图 4 中三角形的总个数为：72320上述做法只是为了用尽量少的步骤来完成计算，如果为了更加简单地完成全部三角形的个数的计算，则可以从连线少的点进行简化，比如在计算与 C 点相关的三角形个数这一步，改为先计算与 D 或 E 点相关的三角形个数并擦除，再从某个连线较少的顶点来计算相关三角形个数并擦除这样的步骤可能会多一些，但每一步数错的机会则大为减少。在教学中，我们对同一个题目完全可以采用不同的相关擦除路径，让学生感受到不同路径的优缺点，并体验异曲同工之妙。
