1、晶体的结构习 题1以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为：（1）简立方， ; （2）体心立方, 6;83（3）面心立方， （4）六角密积，; ;62（5）金刚石结构， ;163解答设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度， 设 n 为一个晶胞中的刚性原子球数,r 表示刚性原子球半径，V 表示晶胞体积，则致密度 =Vr34（1） 对简立方晶体，任一个原子有 6 个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图 1.2 所示，中心在 1，2，3，4 处的原子球将依次相切，因为 ,433ar面 1.2 简立方晶胞晶胞内包含 1 个原子，所以 = 6
2、)(324a（2）对体心立方晶体，任一个原子有 8 个最近邻，若原子刚性球堆积，如图 1.3 所示，体心位置 O 的原子 8 个角顶位置的原子球相切，因为晶胞空间对角线的长度为 晶胞内包含 2 个原子，所以,433Vr=83)(*234a图 1.3 体心立方晶胞（3）对面心立方晶体，任一个原子有 12 个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图 1.4 所示，中心位于角顶的原子与相邻的 3 个面心原子球相切，因为，1 个晶胞内包含 4 个原子，所以3,42aVr= .62)(*324a图 1.4 面心立方晶胞（4）对六角密积结构，任一个原子有 12 个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图 1。5 所示，中
3、心在 1 的原子与中心在 2，3，4 的原子相切，中心在 5 的原子与中心在 6，7，8 的原子相切，图 1.5 六角晶胞 图 1.6 正四面体晶胞内的原子 O 与中心在 1，3，4，5，7，8 处的原子相切，即 O 点与中心在 5，7，8 处的原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的高 h= 2332cra晶胞体积 V= ,260sinc一个晶胞内包含两个原子，所以 = .62)(*234ca（5）对金刚石结构，任一个原子有 4 个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图 1.7 所示，中心在空间对角线四分之一处的 O 原子与中心在 1，2，3，4 处的原子相切，因为 ,83ra晶胞体积 ,3V图
4、 1.7 金刚石结构一个晶胞内包含 8 个原子，所以 = .163)(*34a2在立方晶胞中，画出（102） ， （021） ， （1 ） ，和（2 ）晶面。 01解答图 1.8 中虚线标出的面即是所求的晶面。3如图 1.9 所示，在六角晶系中，晶面指数常用（ ）表示，它们代表hkml一个晶面在基矢的截距分别为 在 C 轴上的截距为 ,321makhlc证明： 求出 O 和 A 四个面的面kh 521331, ,BA531指数。图 1.9 六角晶胞对称画法 解答设 d 是晶面族（ ）的面间距， n 是晶面族的单位法矢量，晶面族（hkml）中最靠近原点的晶面在 轴上的截距分别为 hklmac,3
5、21所以有lca/,/,321 = ,1nhd = ,2ak = .3m因为 ),(323a所以 。3)(32nn由上式得到= .md)(kh即 ),(由图可得到： 晶面的面指数为(11 1)31AO2面的面指数为(11 0)B晶面的面指数为(1 00)521晶面的面指数为(0001)31A4设某一晶面族的面间距为 d , 三个基矢 的末端分别落在离原点的321,a距离为 , 的晶面上，试用反证法证明： 是互质的。dh132 h解答设该晶面族的单位法量为 由已知条件可得321,a 1a2,dhn,dhn假定 不是互质数，且公约数 即32, 1p321,pkpkh是互质的整数，则有32, 1a2
6、1,dkn32,adkndpkn3今取离原点最近的晶面上的一个格点，该格点的位置矢量为 ,321llr由于 心定是整数，而且 1aldn2l3aln于是得到 321lpkllpk由上式可得 ll1321上式左端是整数，右端是分数，显然是不成立的。矛盾的产生是 p 为不等于 1 的整数的假定。也就是说，p 只能等于 1，即 一定是互质数。32,h5证明在立方晶体中，晶列 与晶面（ ）正交，并求晶面( ) hklkl 1lkh与晶面( )的夹角。2lkh解答 设 d 是为晶面族（ ）的面间距 ，n 为法向单位矢量，根据晶面族的定hkl义，晶面族（ ）将 a,b, c 分别截为 等份，即l lkh,
7、an=acos(a,n)=hd,bn=bcos(b,n)=kd,cn=ccos(c,n)=ld于是有n= i+ j+ kadhl= (hi+kj+lk)ad其中,i ,j,k 分别为平行于 a,b,c 三个坐标轴的单位矢量，而晶列 hkl的方向矢量为R=hai+kaj+lak=a(hi+kj+lk)由（1） ， （2）两式得n= Rad即 n 与 R 平行，因此晶列 与晶面（ ）正交。hklhkl对于立方晶系，晶面( ) 与晶面( ) 的夹角，就是晶列12R = a+ b+ c1l与晶列R = a+ b+ c2h2kl的夹角，设晶面 ( )与晶面 ( ) 的夹角为 由112lkhR R =12
8、coscos 2221 al= 212121ak得)(cos22121lkhlkh6如图 1.10 所示，B,C 两点是面心立方晶胞上的两面心。（1） 求 ABC 面的密勒指数；（2） 求 AC 晶列的指数，并求相应原胞坐标系中的指数。图 1.10 面心立方晶胞解答（1） 矢量 与矢量 的叉乘即是 ABC 面的法矢量ABC= ),2(1)(2)( cbacbaO),(21)()(21 cabacBOCA .34(cb因为对立方晶系，晶列 与晶面族（ ）正交，所以 ABC 面的密勒指数hklhkl为( 31).1（2） ).2(1)()(21 cbabacOC可见 与晶列 (a+b-2c) 平行
9、，因此 AC 晶列的晶列指数为11 .A由固体物理教程 （13）式可得面心立言结构晶胞基矢与原胞基矢的关系,321aab321c晶列 (a+b-2c) 可化为 (a+b-2c)=-2( )321a由上式可知，AC 晶列在原胞坐标系中的指数为11 7试证面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。解答 设与晶轴 a,b,c 平行的单位矢量分别为 i,j,k 面心立方正格子的原胞基矢可取为 ),(21kja).(2,32jiak由倒格矢公式,2, 213132321 ababb 可得其倒格矢为 ).(2,),(31kjiabkjia设与晶轴 a,b,c 平行的单位矢量分别为 i,j,k
10、 ,体心立方正格子的原胞基矢可取为).(2,),(231kjiakjia以上三式与面心立方的倒格基矢相比较，两者只相差一常数公因子， 这说明面心立方的倒格子是体心立方。将体心立方正格子原胞基矢代入倒格矢公式.2,2,2 2131331 ababab 则得其倒格子基矢为).(2,),(31jiabkia可见体心立方的倒格子是面心立方。8六角晶胞的基矢 ckCjaiba,23,求其倒格基矢。解答晶胞体积为 cba.23)(23()(cackjaiji其倒格矢为kccajaijaibcjicajaickbjiacakjaicba232)23()3(2).3(322).3(32)(29证明以下结构晶面
11、族的面间距：（1） 立方晶系: ,212lkhadkl（2） 正交晶系: 21)()(cbl（3） 六角晶系: 21342lakdhkl（4） 简单单斜: .21)cos(sin122 bkahllhkl 解答（1）设沿立方晶系轴 a,b,c 的单位矢量分别为 i,j,k,则正格子基矢为,akcbjai图 1.11 立方晶胞倒格子晶矢为 .2,2kacjbia与晶面族(hkl)正交的倒格为 .lkhKkl由晶面间距 与倒格矢 的关系式hkldhklK得， .222lkhadklklhkl （2）对于正交晶系，晶胞基矢 相互垂直，但晶格常数 设沿晶轴 cba, .cba的单位矢量分别为 i,j,k 则正格子基矢为cba,ckji图 1.12 正交晶胞倒倒格子基矢为 .2,2kcjbia与晶面族 (hkl) 正交的倒格为 .lkhKkl由晶面间距 与倒格矢 的关系式hkldhklKhklkld2得 21)()(2clbahkl（2） 对于六角晶系， 晶面族 (hkl) 的面间距,120,9, ba
