1、一. 教学内容：寒假专题初二几何中常用辅助线的添加【典型例题】（一）添加辅助线构造全等三角形例 1. 已知：ABCD，ADBC。求证：ABCD分析：证明线段相等的方法有：（1）中线的定义；（2）全等三角形的对应边相等；（3）等式的性质。在本题中，我们可通过连结 AC，构造全等三角形来证明线段相等。证明：连结 ACABCD，ADBC13，24在ABC 和CDA 中ABCCDA （ASA）ABCD（二）截长补短法引辅助线当已知或求证中涉及到线段 a、b、c 有下列情况时： ，如直接证不出来，可采用截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等，这两种方法放在一起
2、叫截长补短法。通过线段的截长补短，构造全等把分散的条件集中起来。例 2. 如图，ABC 中，ACB2B，12。求证：ABACCD证法一：（补短法）延长 AC 至点 F，使得 AFAB在ABD 和AFD 中ABDAFD （SAS）BFACB2BACB2F而ACBF FDCFFDCCDCF而 AFACCFAFACCDABACCD证法二：（截长法）在 AB 上截取 AEAC，连结 DE在AED 和 ACD 中AED ACD（SAS）例 3. 如图，在 RtABC 中，ABAC，BAC90，12，CEBD 交 BD 的延长线于 E，证明：BD2CE。分析：这是一道证明一条线段等于另一条线段的 2 倍的
3、问题，可构造线段 2CE，转化为证两线段相等的问题，分别延长 BA，CE 交于 F，证BEFBEC ，得 ，再证ABDACF，得 BDCF 。证明：分别延长 BA、CE 交于点 FBECFBEFBEC90在BEF 和BEC 中BEFBEC（ASA）BAC90，BE CFBACCAF90 ，1BDA 90，1BFC90BDABFC在ABD 和ACF 中ABDACF（AAS）BDCFBD2CE（三）加倍法和折半法证明一条线段是另一条线段的两倍，常用如下方法：将较短线段延长一倍，然后证明它和较长线段相等，或将较长线段折半，然后证明它和较短线段相等，这种方法称为加倍法和折半法。例 4. 已知：如图，A
4、D 是ABC 的中线，AE 是ABD 的中线，ABDC，BADBDA。求证：AC2AE分析：欲证 AC2AE，只要取 AC 的中点，证其一半与 AE 相等，或延长 AE 至等长，证其与 AC 相等，由于 AE是ABD 的中线，故考虑延长 AE 至 F，使 EFAE，证 AFAC。（此种方法我们又称为中线倍长法）只要证ABFADC，观察图形发现，可以证明ADEFBE，则可得出 BFAD，尚需条件ADCFBA，而这可由外角的性质推出。证明：延长 AE 至 F，使 EFAE ，连结 BFAE 是ABD 的中线BEED在BEF 和DEA 中BEFDEAEBFBDA，BF DABADBDAEBFBAD在
5、ADC 和FBA 中ADCFBAACAF又AF2AEAC2AE（四）利用角平分线的性质来添加辅助线有角平分线（或证明是角平分线）时，常过角平分线上的点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等证题。例 5. 已知：ABC 的B 、C 的外角平分线交于点 P。求证：AP 平分BAC证明：过 P 点作 PDAC 于 D 点，PFAB 于 F 点，PEBC 于 E 点PC ，BP 为ABC 的B、C 的外角平分线PDAC ， PEBCPDPE（角平分线性质）同理：PFPEPDPF（等量代换）AP 平分BAC （角平分线性质逆定理）例 6. 已知：如图，12，P 为 BN 上一点，且 PD
6、 BC 于 D，ABBC 2BD。求证：BAPBCP180分析：要证BAPBCP180，而由图可知BAPEAP180，故只要证EAPBCP 即可。由12，PDBC，想到过 P 点向 BA 作垂线 PE，有 PEPD，BE BD，又由 ，得 AECD，故APECPD，从而有EAP BCP，问题得证。证明：过点 P 作 PEBA 于 EPDBC，12PEPD （角平分线的性质）在 RtBPE 和 RtBPD 中Rt BPERtBPD（HL ）BEBDPEBPDC 90在PEA 和PDC 中PEAPDCPCBEAPBAP EAP180BAP BCP180【模拟试题】（答题时间：40 分钟）1. 已知，如图，ABAE， BCED ， ，垂足为 F，求证：CFDF2. 在四边形 ABCD 中，BCBA，ADDC，BD 平分 ，求证：3. 已知 AD 是ABC 的中线，E 在 BC 的延长线上，CEAB， ，求证：AE2AD4. 已知 ，M 是 BC 中点，DM 平分 ，求证：AM 平分 ；5. 已知在ABC 中， ， ，求证：ABACCD6. 已知在ABC 和ABC 中，ABAB，ACAC，AD 、AD为中线且 ADAD，求证：
