1、连续函数压缩映射问题的讨论摘要本文从课本上一个例题出发引出不动点原理，首先介绍了不动点原理在数学分析课程中的重要应用如数列极限问题等，并指出了应用不动点原理时所使用的技巧和方法 .。其次给出其在方程组求解，数学建模来等方面的例子说明不动点原理的广泛应用，以及其在范函分析中更加一般的形式。最后通过介绍其在图像处理，导航系统及经济领域的应用来阐明创新思想的重要性，进一步开拓学生的思路 ,让学生有更多的想像空间。关键字：不动点; 连续函数 ; 函数方程; 数列极限；应用引言：在数学分析中,我们会遇到证明某些函数方程在指定的区间内有实根,或判定某些递推数列存在极限等问题，下例便是一个比较典型的： 例
2、1 设 把区间 映射成 ,并且存在 ,使得对于任意)(xfy,ba10q,有 ,则,2bax2121xqf(1) 内存在唯一的不动点 ,满足 ;, *)(*f(2) 对任意初始值 ,迭代序列 收敛于 ;0bax1nnx*(3) .01*1,qxqxnnn 证明：(1) 存在性 ：由条件 知函数在 上连续。构造函数2121)(xff ,ba显然它也在 上连续，且满足：xfxg)(,ba， 。0a0)(fg由连续函数的介值性定理知必存在一点 满足 即 。,*x0)(*xg*)(xf唯一性：假设存在两点 满足： ， ，则由已知条件有21,x1)(f 2f. 矛盾.12xxqf (2) ,*1*2*1
3、)( xqxfx nnnnn 由 知 .0qlim(3)由 0121211)( xxqxxffx nnnnnn 知 1 )(pppn ，两端令 即得 。qpn101*xqxnn这个结论就是著名的不定点理论，也成为压缩映射原理。例题不仅给出了收敛条件,而且还给出了收敛误差的估计.可以看出, 越小收敛越快。q一、不动点定理在求数列极限中的应用由例一我们可以得到如下推论：推论1：对数列 若存在常数 ,使得对任意的 都有 ，nx10:rn11nnxrx则 收敛。nx推论2：对数列 若存在常数 ,使得 ，则 收敛。nx:r 112nnxrxn证明: 由 ,|,| 12120121 rxrkkkk 知 ,
4、所以 是基本列,从而收敛.,ma,0Mxkn nx下面我们看一下不动点定理在求数列极限中的应用。例2.设 ，求证数列 收敛并求极限。,10,21a21nnxn证明 ：易知 ，我们在区间 上考虑函数 ，对任意的xn,0a2)(xaf有， ，即 是2,0,1ax 12121)(xxff )(f上的压缩映像，从而 收敛于方程的解.设 得 。, n 20a10ax例3. 设 ,求证 收敛并求其极限.nnxx1,0n证明:显然有 ,n ),21(31,21 nxnn ),54()3()( 111 xx nnnn根据推论2知 收敛，再由 易知其极限为 .nn 2A一般地，对于一个数列，在给出数列的递推公式
5、的情况下， 通常需要求数列的通项公式，下面介绍用不动点法求通项公式的递推数列，首先我们给出如下定理：定理1：若数列 满足 ，若其递推函数na )1,(1 ABAann且有不动点 ，则数列 是以 为公比的等比数列。BAxf)(x0 0xn证明：由 为不动点知 ，所以有00.AxaBAxaBxannn 0001显然结论成立。例4. 数列 满足 求数列通项。n 2,3,1nn解： 其递推函数为 解得不动点 .由 为公比为 的等比数列,2)(xf x3na2且其首项为 ,所以 通项为 .4na1n当函数 在 上可导时，根据微分中值定理我们有如下结论：)(xf,b推论3：若函数 在 上可导且 ， 是一个
6、压缩映射。1)(xf)(f证明：对任意的 当 时都有， ，,ayxy yxfy)(则显然 是一个压缩映像。)(f例5. 设 ，证明 收敛并求其极限.)(21,01nnxaxa n证明： 设 ，则易知f),() ),),(af且 ，所以 有唯一不动点 ，易的 。121( xaf )(xf0x0所以 极限为 .n二、不动点定理在数学模型中的应用如果函数 在 是一个连续函数，则根据连续函数的介值性定理可知：)(xf,ba推论4.若函数 在 连续且满足 ，则 在 至少有一个不,),(baf)(xf,ba动点。例 6. 日常生活中会有这样的体验：把椅子放在不平的地面上时通常三条腿着地放不稳，但是稍微挪动
7、几次就可以使四条腿着地而放平稳。现我们把该现象建模为一个数学问题，通过不动点定理来进行解释。解：模型假设：（1）椅子四条腿长度一样，与地面接触为一点，且四点连线为正方形。（2）地面高度连续变化。（3）椅子在任何位置都有三只腿着地。（4）椅子转动时中心不变。模型建立及求解：设着地点为 建立DCBA,如图坐标系，设 为AC转动后和 轴夹角，显x然 ， 为A ，C两点于地面距4,)(f离之和， 为B，D两点于地面距离之和。 )(g由地面平坦假设知 ， 均连续。)(fg由 椅子至少三条腿着地知对任意 ， ， 至少有一个为零。 )(fg若在初始位置 ，时有 ， 则 时必有 ，40.f40)(g.0)(f
8、数学问题为：寻找一个 使得 等于零。显然0)()(gfh，由不动点定理知必存在 使4)()4(h 0即000gf )(00f三、不动点定理在方程求解中的应用对于一般的 次代数方程n，03210 nxaxa根据代数基本定理我们知道它有 个根，而且对于数值的一元二次方程我们还有其求根公n式，但是当 求根公式不再存在。另一类超越方程例如著名的Kepler方程:5bsi它不存在求解公式。对于非线性方程（1）0)(xf一般都不存在求根公式，故没有直接求法，对于这些方程都要使用迭代法来求解。不动点迭代法就是期中的重要方法。首先将方程（1）改写成（2）)(x要求解满足（1）的根 ，即求解（2）的不动点 。选
9、择一个初始值 ，将它带入（2）*x*0x中得到迭代序列 ,21),(1nxn如果函数 满足压缩映射的条件，则根据定理可知 。*limxn不动点迭代的过程如图所示：方程求根问题就是确定曲线)(x和直线 的交点。迭代过yxy程就是沿图示肩头所示方向不断寻找的过程。在实际计算当中肯定不能取到无穷，那么如何来判断是否达到不定点，即收敛速度？例1中的结论不但告诉了我们收敛的条件，而且告诉了我们收敛的速度。例 7. 求方程 在 附近的根。01)(3xf 5.解：建立迭代方程 建立迭代序列 x ,21,31nxn此时 ， 在区间 满足收敛条件。31)(32)()x,表1：计算结果kk kkx1 1.3572
10、1 5 1.324762 1.33086 6 1.324733 1.32588 7 1.324724 1.32494 8 1.32472从表中可以看出若取六位数字， 和 已经相同可以认为已经是不动点了，即方程的根。7x8若取迭代格式 和 则 ， 不收敛。因为此时13x5.037.2139.12x，当 时， 不满足收敛条件。23)(x,)(x当非线性方程 不太容易写成迭代格式的时候，如果 在其根附件可微，)(xf )(xf我们可有 )()(kkkxfxff 则易得迭代公式,21,)(1nxfxn这就是著名的牛顿法。如果把导数 用其他的近似来代替则可得到其他的迭代方法如牛顿下山法，弦截)(f法，抛
11、物线法等，但其本质都是不动点迭代。四、不动点定理的一般形式和应用1909 年,荷兰数学家布劳维创立了不动点理论. 在此基础上,不动点定理有了进一步的发展,并产生了用迭代法求不动点的迭代思想. 美国数学家莱布尼茨在1923 年发现了更为深刻的不动点理论,称为莱布尼茨不动点理论.不动点理论考察一般的距离空间或线性拓扑空间上的不动点问题.波兰数学家巴拿赫(Bananch) 于1922 年提出的压缩映像原理发展了迭代思想,并给出了Banach 不动点定理. 这一定理有着及其广泛的应用 ,像代数方程、微分方程、积分方程、隐函数理论等中的许多存在性与唯一性问题均可以归结为此定理的推论.定理2：设 是距离空
12、间, 是 到自身的一个映射. 如果存在数 ，使 RTR10,x , T y) 则称 是 上的压缩映射。)(),(yTx),(y定理3： Bananch 不动点原理(压缩映像原理) :假设 Banach 空间 的非空闭子集,RE压缩映射 必有唯一的不动点,即存在唯一的 ，使 .x*xT在平台惯导系统的加速度计标定中，其 轴水平加速度计的标定过程可抽象成如下形X式: )(icf其中中, 表示 轴水平加速度计的预装值, 表示 轴水平加速度计的零偏标定iXc值, 均属于实数域, 表示水平加速度计的标定方法。惯导系统水平加速计的标定过程采用f迭代方式,将第 次的标定结果作为第 次标定的预装值。如果 满足
13、压缩映射的条件，1nnf则迭代最后能达到其不动点，也就是其标定值的准确值。对于一副图像 ，用单参数变换 表示图像之间的变换,),(2dcbaLyxs)(g,)( yxsyxs设核函数的集合为 ， ，设变换后图像的特征为2R)(,1n，由Hilbert空间的性质知 ，其中),() yxsgFn )(,*gyxsF为 的共轭算子。则当 ，则 ，此时利用 从(* ),(),()*yxgiiF变换前后图像中提取的特征完全相同，这就得到了图像的不变特征。若 为压缩映射，则一定能找到其对应的不动点 成立，)(*g ),(yx),(*yxg压缩映射满足： ),(),(),(),()(* dyxgyxd ji
14、ji 其中 ， 表示 空间中两点的距离。102L参考文献：陈 涛等，基于压缩映射不动点的图像几何不变特征提取，信号处理，23（1），2007：19-26.安国胜， 揭开不动点法求数列通项公式的神秘面纱，甘肃教育，（7）2007，47.谷学伟等，不动点理论及其应用，太原师范学院学报(自然科学版)，8（2）2009：34-37.韩 超， 数学分析中的不动点问题， 哈尔滨师范大学自然科学学报，22（3）2006：41-43.李庆扬等，数值分析， 清华大学出版社，2009，北京.王黎斌等，压缩映射原理在平台惯导系统加速度计标定中的应用，空间控制技术与应用，35（1）,2009: 61-64.邢家省等，压缩迭代序列的极限及其应用，河南科学，26（6），2008：636-640.
