1、1椭 圆一、直线与椭圆问题的常规解题方法:1.设直线与方程；（提醒：设直线时分斜率存在与不存在；设为 y=kx+b 与x=my+n 的区别）2.设交点坐标；（提醒 :之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求” ）3.联立方程组；4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单 ）5.根据条件重转化；常有以下类型：“以弦 AB 为直径的圆过点 0”（提醒：需讨论 K 是否存在）OAB12K0OAB120xy“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、 锐角、钝角问题 ” “向量的数量积大于、等于、小于 0 问题”0；120xy“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（ 或 ） ；1
2、20K12K“共线问题”（如： 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法） ；AQB（如 ：A、O、B 三点共线 直线 OA 与 OB 斜率相等） ；“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；“弦长、面积问题” 转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式 的合理选择） ；6.化简与计算；7.细节问题不忽略；2判别式是否已经考虑；抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现 0.二、基本解题思想：1、 “常规求值”问题：需要找等式， “求范围”问题需要找不等式；2、 “是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与
3、参数无 关；也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。4、处理定点问题的方法：常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值） 、三角代换法（转化为三角函数的最值） 、利用切线的方法、利用均值不等 式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题一、常见基本题型：在几何问题 中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过 取参数和特殊值 来确
4、定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三 角式，证明该式是恒定的。（1）直线恒过定点问题1、已知点 0(,)Pxy是椭圆2:1xEy上任意一点， 直线 l的方程为 012xy， 直线 0l过 P 点与直线 l垂直，点 M（-1，0）关于直线 0l的对称点为 N，直线 PN 恒过一定点 G，求点 G 的坐标。1、解：直线 0l的方程为 00()2()xyx，即 002yxy 设 ),(M关于直线 l的对称点 N的坐标为 (,mn则00012xnmy，解 得320042048()xxny3 直线 PN的斜率为 4320008(4)nyxxkm从而直线 的方程为： 432000()
5、()xyx即320042()18yxx从而直线 PN恒过定点 (,0)G 2、已知 椭圆两焦点 1F、 2在 y轴上，短轴长为 2，离心率为 2， P是椭圆在第一 象限弧上一点，且 12P，过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线 PA、PB 分别交椭来源:学科网 圆于 A、B 两点。 （1）求 P 点坐标；（2）求证直线 AB 的斜率为定值；2、解：（1）设椭圆方程为21yxab，由题意可得 ,abc，所以椭圆的方程为214yx则 12(0,)(,)F，设 00(,),)Pxy则 02PxyF21()1来源:学_科_网 Z_X_X_K4点 0(,)Pxy在曲线上，则201.4xy22004
6、yx从而22004()，得 0，则点 P的坐标为 (1,)。（2）由（1）知 1/PFx轴，直线 PA、PB 斜率互为相反数，设 PB 斜率为 (0)k，则 PB 的直线方程为： 2(1)ykx 由 214yx得 2 2()()()40kx设 (,)Bxy则22()1Bk同理可得2Ak，则 24ABkx28(1)()BAyxk所以直线 AB 的斜率 BByx为定值。3、已知动直线 与椭圆 相交于 两点,已知点 (1)ykx2:153xyCAB， 求证： 为定值.7(,0)MAMB53、 解: 将 代入 中得 (1)ykx2153y22(3)6350kxk， 422236()480k，1221x
7、2351kx所以 221277(,)(,)()33MAByxy 11xk222249()()kxk2 2235761()31k。422649k4、 在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆2:13xCy.如图所示，斜率为 (0)k 且不 过原点的直线 l交椭圆 于A， B两点，线段 A的中点为 E， 射线 OE交椭圆 于点 G，交直线 3x于点 (3,)Dm.（）求 2的最小值；（）若 2D E，求证：直线 l过定点；6椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为
8、函数的值域来解.（1）从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围。 5、已知直线 与 轴交于点 ，与椭圆 交于相异两点 A、 B， ly(0,)Pm2:1Cxy且 ，求 的取值范围3APB（2）利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范 围. 6、已知点 (4, 0)M， (1, )N， 若动点 P满足 6|MNP（）求动点 P的轨迹 C的方程；（）设过点 的直线 l交轨迹 于 A， B两点，若 181275NAB ，求 直线 l的斜率的取值范围.来源:学科网6、解：（）设动点 (, )xy，则 (4, )xy， (3, 0)，(1,
9、)PNx. 由已知得 22)(1(6)(3yxx，化简得 24y，得 43.所以点 P的轨迹 C是椭圆 ， 的方程为 12yx. （）由题意知，直线 l的斜率必存在，不妨设过 N的直线 l的方程 为 ()ykx，设 A， B两点的坐标分别为 1, A， 2, By.由 2(1),43ykx消去 y得 22(43)8410kxk. 7因为 N在椭圆内，所以 0.所以21228,34.kx因为 12112()()()NABxykx 2xk222 43)(9438)1( kk， 所以 29(1)75k . 解得 21 .(3)利用基本不等式求参数的取值范围7、已知点 为椭圆 ： 上的 一动点，点 的
10、坐标为 ，求 QE218xyA(3,1)APQ的取值范围8.已知椭圆的一个顶点为 (0,1)A，焦点在 x轴上.若右焦点到直线 20xy的距 离为 3.（1）求椭圆的方程.（2）设直线 (0)ykxm与椭圆相交于不同的两点 ,MN.当 |A时，求8m的 取值范围.9. 如图所示，已知圆 MAyxC),01(,8)1(:2定 点为圆上一动点，点 P在 AM上，点 N在 M上，且满足 NPA点,的轨迹为曲线 E.（I）求曲线 E的方程；（II）若过定点 F（0，2）的直线交曲线 E于不同的两 来源:学科网 ZXXK点 ,GH（点 在点 ,之 间） ，且满足 FHG，求 的取值范围.解：（） .0,
11、2AMNPANP 为 AM的垂直平分线，|NA|=|NM| 又 .2|,2| ANCC动点 N 的轨迹是以点 C（1，0） ， A（ 1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为 ,a焦距 2c=2. .1,2bca曲线 E 的方程为 .2yx （）当直线 GH 斜率存在时，设直线 GH 方程为 ,1, 2yxkxy代 入 椭 圆 方 程得 .30.34)21( 22 k得由设 2212121 ,4, xxyxHG则 ),(),(, 21yyF又 2112122121 .,)(, xxxxx ，922222 )1()(36,13)(4 kkk整 理 得 .3.4.16324,32 解 得kk.13,0
12、又又当直线 GH 斜率不存在，方程为 .31,0FHGx),13的 取 值 范 围 是即 所 求10、.已知椭圆 E的中心在坐标原点 O，两个焦点分别为 )0,1(A、 ),(B，一个顶点为)0,2(H.（1）求椭圆 的标准方程；（2）对于 x轴上的点 )0,(tP，椭圆 E上存在点 M，使得 HP，求 t的取值范围. 11.已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴2:1xyCab(0)210长 为半径的圆与直线 相切20xy（）求椭圆 的方程；C（）若过点 (2，0)的直线与椭圆 相交于两点 ，设 为椭圆上一点，且满 MC,ABP足 （ O 为坐标原点） ，当 时，求实数 取值范围PtBAP253t椭圆中的最值问题一、常见基本题型：（1）利用基本不等式求最值，12、已知椭圆两焦点 1F、 2在 y轴上，短轴长为 2，离心率为 2， P是椭圆在第一 象限弧上一点，且 12P，过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线 PA、 PB 分别交 椭圆于 A、B 两点，求 PAB 面积的最大值。（2）利用函数求最值，13.如图， Dx轴，点 M 在 DP 的延长线上，且 |2|DM当点 P 在圆21xy上 运动时。 （I）求点 M 的轨迹 C 的方程；（）过点 2(0,)1Tty作 圆 的切线 l交曲线 C 于A，B 两点，求AOB 面 积 S 的最大值和相应的点 T 的坐标。
