1、1D CBA全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种
2、添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为 60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为 30、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为 30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成 30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或 30-60-90 的特殊直角三角形，或40-60-80 的特殊直角三角形,常计
3、算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法， （1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角
4、平分线的性质定理或逆定理 （2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。 （3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的
5、两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等例 1、 （“希望杯”试题）已知，如图ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是_.解：延长 AD 至 E 使 AE2AD，连 BE，由三角形性质知2EDFCBA EDCBAPQCBAAB-BE BF=BA+AF=BA+AC从而 PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=PA例 2 如图，在ABC 的边上取两点 D、E，且 BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.证明：取 BC 中点 M,连 AM 并延
6、长至 N,使 MN=AM,连 BN,DN. BD=CE,DM=EM,DMNEMA(SAS),DN=AE,同理 BN=CA.延长 ND 交 AB 于 P,则 BN+BPPN,DP+PAAD,相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD,各减去 DP,得 BN+ABDN+AD,AB+ACAD+AE。四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD，DC+AE =AC证明( 角平分线在三种添辅助线,计算数值法) B=60 度,则BAC+BCA=120 度 ;AD,CE 均为角平分线 ,则OAC+OCA=60 度=AOE=COD;A
7、OC=120 度.在 AC 上截取线段 AF=AE,连接 OF.又 AO=AO; OAE=OAF.则OAE OAF(SAS),OE=OF;AE=AF; AOF= AOE=60 度.则COF=AOC-AOF=60 度= COD;又 CO=CO; OCD=OCF.故OCDOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F. （1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB= ，AC= ，求 AE、BE 的长.ab解：(垂直平分线联结线段两端)连接 BD，DCDG 垂直平
8、分 BC，故 BDDC由于 AD 平分BAC， DEAB 于 E，DFAC 于 F，故有EDDF故 RTDBERTDFC（HL）故有 BECF。AB+AC2AEEDGFCBA5AE（a+b）/2BE=(a-b)/2应用：1、如图，OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分别是BAC、BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而(1)中的其它条
9、件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。解：（1）FE 与 FD 之间的数量关系为 FDE（2）答：（1）中的结论 仍然成立。F证法一：如图 1，在 AC 上截取 ，连结 FG AG ，AF 为公共边， AGEF ， FE ，AD、CE 分别是 、 的平分线60BBAC 32 60CDAF G 及 FC 为公共边4 F DE证法二：如图 2，过点 F 分别作 于点 G， 于点 H ABBCF ，AD、CE 分别是 、 的平分线60BC可得 ，F 是 的内心6032ABC ，1GEGH又 BD 可证 F FE有等腰三角形时常用的辅助线作顶角的平分线，
10、底边中线，底边高线例：已知，如图，AB = AC，BDAC 于 D，求证：BAC = 2DBC证明：（方法一）作BAC 的平分线 AE，交 BC 于 E，则1 = 2 = BAC12又AB = ACAEBC2ACB = 90 oBDACDBCACB = 90 o2 = DBCBAC = 2DBC（方法二）过 A 作 AEBC 于 E（过程 略）（方法三）取 BC 中点 E，连结 AE（过 程略）有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，ABC 中，AB = AC，D 为 BC 中点，DEAB 于 E，DFAC 于F，求证：DE = DF证明：连结 AD.D 为 BC 中点，BD = CD又AB
11、 =ACAD 平分BACDEAB，DFACDE = DF21EDCBAFED CBA(第 23 题图)O PAMNEBCDFA CEFBD图 图 图FBEA CD图 121 43GFBEA CD图 221 43HG6将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图，ABC 中，AB = AC，在 BA 延长线和 AC 上各取一点E、F，使 AE = AF，求证：EFBC证明：延长 BE 到 N，使 AN = AB,连结 CN,则 AB = AN = ACB = ACB, ACN = ANCBACBACNANC = 180 o2BCA2ACN = 180 oBCAACN = 90 o即BCN =
12、90 oNCBCAE = AFAEF = AFE又BAC = AEF AFEBAC = ACN ANCBAC =2AEF = 2ANCAEF = ANCEFNCEFBC常过一腰上的某一已知点做另 一腰的平行线例：已知，如图，在ABC 中，AB = AC，D 在 AB 上，E 在AC 延长线上，且 BD = CE，连结 DE 交 BC 于 F求证：DF = EF证明：（证法一）过 D 作 DNAE，交 BC 于N，则DNB = ACB，NDE = E，AB = AC，B = ACBB =DNBBD = DN又BD = CE DN = EC在DNF 和ECF 中1 = 2NDF =EDN = EC
13、 DNFECFDF = EF（证法二）过 E 作 EMAB 交 BC 延长线于 M,则EMB =B（过程略）常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图，ABC 中，AB =AC，E 在 AC 上，D 在 BA 延长线上，且 AD = AE，连结 DE求证：DEBC证明：（证法一）过点 E 作 EFBC 交 AB 于 F，则AFE =BAEF =CAB = ACB =CAFE =AEFAD = AEAED =ADE又AFEAEFAEDADE = 180 o2AEF2AED = 90 o 即FED = 90 o DEFE又EFBCDEBC（证法二）过点 D 作 DNBC 交 CA 的延长线于
14、 N， （过程略）（证法三）过点 A 作 AMBC 交 DE 于M， （过程略）常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形-等边三角形例：已知，如图，ABC 中，AB = AC，BAC = 80 o ,P为形内一点，若PBC = 10o PCB = 30o 求PAB 的度数.解法一：以 AB 为一边作等边三角形，连结 CE则BAE =ABE = 60 oAE = AB = BEAB = ACNFECBA21N FEDCBA 21MFEDCBANMF EDCBAPECBA7AE = AC ABC =ACBAEC =ACEEAC =BACBAE= 80o 60 o = 20oACE = (180o12E
15、AC)= 80ACB= (180oBAC)= 50 o12BCE =ACEACB= 80o50 o = 30oPCB = 30 oPCB = BCEABC =ACB = 50 o, ABE = 60 oEBC =ABEABC = 60 o50 o =10oPBC = 10 oPBC = EBC在PBC 和EBC 中PBC = EBCBC = BCPCB = BCEPBCEBCBP = BEAB = BEAB = BPBAP =BPAABP =ABCPBC = 50 o10 o = 40oPAB = (180oABP)= 70 o12解法二：以 AC 为一边作等边三角形，证法同一。解法三：以 B
16、C 为一边作等边三角形BCE，连结 AE,则EB = EC = BC，BEC =EBC = 60 oEB = ECE 在 BC 的中垂线上同理 A 在 BC 的中垂线上EA 所在的直线是 BC 的中垂线EABCAEB = BEC = 30 o =PCB12由解法一知：ABC = 50 oABE = EBCABC = 10 o =PBCABE =PBC,BE = BC,AEB =PCBABEPBCAB = BP BAP =BPAABP =ABCPBC = 50 o10 o = 40oPAB = (180oABP) = (180o40 o)= 70o12121. 如图，求ABCDE 的度数。 A
17、B E O C D A B E O C D 解：连结 CDECDBDC=BE=180BOE=180 CODABACEADBE=A ECDBDCACEADB=A（ ECDACE）（BDCADB）=A ACDADC=1802. 如图，已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长BE 交 AC 于 F。求证：AF=EF。PECBA8A F E B D C A F E B D C G 解： 延长 AD 至 G，使 DG=AD，连结 BGBD=DC，BDG=ADCBGDCADBG=AC=BE，G=CADG= BEG= AEFAEF= CAD AF=EF3. 已
18、知 E 是正方形 ABCD 边 CD 上的中点，点 F 在 BC 上，且DAE= FAE。求证：AF=AD CF 。解：过 E 作 EGAF 于 G A D E B F C A D E B F C G D=90，AGE=90AE 平分DAF ED=EGED=EC EG=ECEGF= C=90 EF=EFEGFECF（HL ） GF=FCED=EG，AE=AE，D=AGE=90 ADE AGE（HL） AD=AGAF=AG GF=AD FC即 AF=ADFC4. 已知：在ABC 中，BAC=90，AB=AC，BE 平分ABC，CEBE 。求证：CE= 。12BDA E B CD F D AE B C 证明：延长 BA 交 CE 的延长线于 FBE 平分ABC，CE BECE= 12F又AB=AC，BAC= CAF=90ACF=ABD=90FACF ABD CF=BDCE= BD12C
