1、课 时 授 课 计 划课次序号： 01 一、课 题：1.1 映射与函数二、课 型：新授课三、目的要求：1.了解集合与映射的有关概念；2.理解函数的概念，了解函数的四种特性；3.理解复合函数的概念，了解反函数的概念；4.熟悉基本初等函数的性质及其图形；5.会建立简单实际问题的函数关系式四、教学重点：函数的概念，函数的各种性态.教学难点：反函数、复合函数、分段函数的理解.五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合六、参考资料：1.高等数学释疑解难 ，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.高等数学教与学参考 ，张宏志主编，西北工业大学出版社七、作业：习题 11 3（1）
2、，6（4） （7） ，9（1）八、授课记录：九、授课效果分析：授课日期班 次第一章 函数与极限第一节 映射与函数高等数学研究的主要对象是函数. 为了准确而深刻地理解函数概念，集合与映射的知识是不可缺少的. 本节将简要复习回顾集合、映射的一些基本概念，在此基础上重点介绍函数概念与相关知识.一、集合1. 集合的概念集合是数学中的一个最基本的概念一般地，我们将具有某种确定性质的事物的全体叫做一个集合，简称集组成集合的事物称为该集合的元素例如，某大学一年级学生的全体组成一个集合，其中的每一个学生为该集合的一个元素；自然数的全体组成自然数集合，每个自然数是它的元素，等等通常我们用大写的英文字母 A， B
3、， C，表示集合；用小写的英文字母 a， b， c，表示集合的元素若 a 是集合 A 的元素，则称 a 属于 A，记作 aA；否则称 a 不属于 A，记作 a A（或 a A） 含有有限个元素的集合称为有限集；不含任何元素的集合称为空集，用 表示；不是有限集也不是空集的集合称为无限集例如，某大学一年级学生的全体组成的集合是有限集；全体实数组成的集合是无限集；方程 10 的实根组成的集合是空集2x集合的表示方法：一种是列举法，即将集合的元素一一列举出来，写在一个花括号内例如，所有正整数组成的集合可以表示为 N1，2， ，n，另一种表示方法是指明集合元素所具有的性质，即将具有性质 p（x）的元素
4、x 所组成的集合 A 记作A xx 具有性质 p（x ）例如，正整数集 N 也可表示成 Nnn 1，2，3， ；又如 A（x，y） 1，x，y 为实数 表示 xOy 平面单位圆周上点的集合22. 集合的运算设 A，B 是两个集合，若 A 的每个元素都是 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，记作 A B（或 B A） ；若 A B，且有元素 ab，但 a A，则说 A 是 B 的真子集，记作 A B对任何集 A，规定 A若 A B，且 B A，则称集 A 与 B 相等，记作 AB由属于 A 或属于 B 的所有元素组成的集称为 A 与 B 的并集，记作 AB，即ABxxA 或 xB由同时属于 A
5、 与 B 的元素组成的集称为 A 与 B 的交集，记作 AB，即ABxxA 且 xB由属于 A 但不属于 B 的元素组成的集称为 A 与 B 的差集，记作 AB，即ABxxA 但 x B如图 11 所示阴影部分图 11在研究某个问题时，如果所考虑的一切集都是某个集 X 的子集，则称 X 为基本集或全集 X 中的任何集 A 关于 X 的差集 XA 称为 A 的补集（或余集） ，记作 cA集合的交、并、余的运算满足下列运算法则:设 A， B， C 为三个任意集合，则下列法则成立：（1）交换律 ABBA，ABB A；（2）结合律（AB）CA （BC） ，（AB）C A（B C） ；（3）分配律（AB
6、）C（ AC） （BC） ，（AB）C （ AC）（B C） ，（AB ） C（AC）（BC） ；（4）幂等律 AAA，AAA；（5）吸收律 A A，A 设 Ai（i1，2，）为一列集合，则下列法则成立：（1）若 Ai C（i1，2，） ，则 C；1i（2）若 Ai C（i1，2，） ，则 C1iA设 X 为基本集，A i（i1，2， ）为一列集合，则 ， 1ci1ci1ci1ciiA3. 区间与邻域（1） 区间设 a 和 b 都是实数，将满足不等式 axb 的所有实数组成的数集称为开区间，记作（a，b） 即（a，b）xaxb，a 和 b 称为开区间（a，b）的端点，这里 a （a，b）且 b
7、 （a，b） 类似地，称数集a，bxaxb为闭区间，a 和 b 也称为闭区间a，b的端点，这里 aa，b且 ba，b 称数集a，b）xaxb和（a，b xax b为半开半闭区间以上这些区间都称为有限区间 数 ba 称为区间的长度 此外还有无限区间：（ ， ） xx R，（ ，b xxb ，（ ，b） xxb ，a，） xax ，（a，） xax ，等等这里记号“ ”与“ ”分别表示“负无穷大” 与“正无穷大 ”（2） 邻域设 x0 是一个给定的实数， 是某一正数，称数集 xx 0x x 0为点 x0 的 邻域，记作 U（x 0，） 称点 x0 为这邻域的中心， 为这邻域的半径 （如图 12）
8、图 12称 U（x 0，）x 0为 x0 的去心 邻域，记作 (x0,)x0xx 0,oU记 ( x0,)xx 0xx 0, (x0,)xx 0xx 0,它们分别称为 x0 的去心左 邻o o域和去心右 邻域当不需要指出邻域的半径时，我们常用 U（x 0） ， (x0)分别表示 x0 的o某邻域和 x0 的 某去心邻域。二、映射1映射的定义定义 1 设 A，B 是两个非空的集合，若对 A 中的每个元素 x，按照某种确定的法则f，在 B 中有惟一的一个元素 y 与之对应，则称 f 是从 A 到 B 的一个映射，记作 f：A B， 称 y 为 x 在映射 f 下的像，x 称为 y 在映射 f 下的
9、原像 集合 A 称为映射 f 的定义域，A 中所有元素 x 的像 y 的全体所构成的集合称为 f 的值域，记作 Rf 或 f（A） ，即Rf = f (A)yy f(x),xA定义中 x 的像是惟一的，但 y 的原像不一定惟一，且 f（A） B映射概念中的两个基本要素是定义域和对应法则定义域表示映射存在的范围，对应法则是映射的具体表现例 1 设 A 表示某高校大学一年级学生所构成的集合，用一种方法给每一个学生编一个学号，B 表示该校一年级学生学号的集合，f 表示编号方法，于是确定了从 A 到 B 的一个映射 fAB例 2 设 A1，2，n，B2，4，2n，令 f(x)=2x， xA， 则 f
10、是一个从 A 到 B 的映射例 3 设 A0，1 ，B （x，y）y x，x A，如图 13 所示令 fx（x，x） ，xA，则 f 是一个从 A 到 B 的映射 图 13设有映射 fAB，若 B f（ A） f（x）x A，则称 f 是满射若 f 将 A 中不同的元素映射到 B 中的像也不同，即若 x1，x 2A 且 x1x2，则 f（x 1） f(x2),则称 f 是单射若 f既是满射又是单射，则称 f 是从 A 到 B 的一一映射若 A 与 B 之间存在一一映射，则称 A与 B 是 一一对应的上面的例 1，例 2 与例 3 的两个集合都是一一对应的 2. 复合映射定义 2 设有映射 gA
11、B，fBC ，于是对 xA 有x u g（ x） y f（u） f g（x） C f 这样，对每个 xA，经过 uB，有惟一的 yC 与之对应，因此，又产生了一个从 A 到 C 的新映射，记作 AC，即（ ） （x）f g（x） ，xA，ff称 为 f 与 g 的复合映射 ,如图 14 所示f图 143. 逆映射定义 3 设有映射 fAB ，B f（A） ，若存在一个映射 gBA，对每个 yB，通过 g，有惟一的 xA 与之对应，且满足关系 f（x ）y，则称 g 是 f 的逆映射，记作 gf 1若映射 f： AB 是一一映射，则 f 必存在一个从 B 到 A 的逆映射 f 1三、函数1. 函
12、数的概念定义 4 设 A，B 是两个实数集，将从 A 到 B 的映射 f：AB 称为函数，记作 y f（x） ，其中 x 称为自变量，y 称为因变量，f （x）表示函数 f 在 x 处的函数值，A 称为函数 f 的定义域，记作 ；f（A）y y f（x） ，x A B 称为函数 f 的值域，记作 DfR通常函数是指对应法则 f，但习惯上用 “y f（x） ，xA”表示函数，此时应理解为“由对应关系 yf（x）所确定的函数 f ”从几何上看，在平面直角坐标系中，点集（x，y）yf（x ） ，x 称为函数fDyf（x）的图像（如图 15 所示） 函数 yf（x）的图像通常是一条曲线，yf（x）也称
13、为这条曲线的方程这样，函数的一些特性常常可借助于几何直观来发现；相反，一些几何问题，有时也可借助于函数来作理论探讨图 15例 求函数 y 的定义域24-x解 要使数学式子有意义，x 必须满足 即 由此有24-0,1x2,1.x1x2 ， 因此函数的定义域为（1，2 有时一个函数在其定义域的不同子集上要用不同的表达式来表示对应法则，称这种函数为分段函数下面给出一些今后常用的分段函数例 绝对值函数 yx 的定义域 （， ） ，值域,0f fR如图 17 所示图 1-6 图 1-7例 取整函数 yx ，其中 x表示不超过 x 的最大整数例如， 1，300， 1， 3 等等函数 yx的定义域 （ ，）
14、 ，值域2 fD整数 一般地，y x n，nxn1，n0，1,2,如图 1-8 所示fR图 1-82. 复合函数与反函数(1)复合函数定义 5 设函数 的定义域为 ，值域为 ；而函数 的定义域为()yfufDfR()ugx，值域为 ，则对任意 ，通过 有惟一的 与 对应，gDgfRgx()uxfD再通过 又有惟一的 与 对应这样，对任意 ，通过 ，有惟一的()yfufyRg与之对应因此 是 的函数，称这个函数为 与 的复合函数，fx()yf()ux记作， ，()()yfgfxgD称为中间变量u两个函数的复合也可推广到多个函数复合的情形例如，yx （a0 且 a1）可看成由指数函数 y au 与
15、 ulogax 复合而成 logx例 设 f（x） （x1）,求 f（f（f （x） ） ）解 令 ，则 yf（f （f（x ） ） ）是通过两个中间变量 w 和(),()()ywfuu 复合而成的复合函数，因为 ，x ；()1fux21 ,x ，()wyf12x3所以 f（f（f（x ） ） ） ，x1, , 3（2）反函数定义 6 设 A， B 为实数集，映射 f：AB 的逆映射 f 1 称为 yf（x）的反函数即：若对每个 yB，有惟一的 xA，使 yf（x ） ，则称 x 也是 y 的函数，记作 f 1，即 xf 1（y） ，并称它为函数 yf（x）的反函数，而 yf（x）也称为反函数
16、 xf 1（y）的直接函数从几何上看，函数 yf（x）与其反函数 xf 1（y）有同一图像但人们习惯上用 x 表示自变量，y 表示因变量，因此反函数 xf 1（y） 常改写成 yf 1（x） 今后，我们称 yf 1（ x）为 yf（ x）的反函数此时，由于对应关系 f 1 未变，只是自变量与因变量交换了记号，因此反函数 yf 1（x）与直接函数 yf（x）的图像关于直线 yx 对称，如图 1 9所示图 1 9值得注意的是，并不是所有函数都存在反函数，例如函数 yx2 的定义域为（， ） ，值域为0，） ，但对每一个 y（0，） ，有两个 x 值即 x1 和 x2 与之对应，y因此 x 不是 y
17、 的函数，从而 yx2 不存在反函数事实上，由逆映射存在定理知，若 f 是从到 的一一映射，则 f 才存在反函数 f 1fDfR例 设函数 （x1）,求 ()()x解 函数 可看成由 yf（u） ，ux1 复合而成所求的反函数()yf可看成由 yf 1（u） ，u x1 复合而成因为 f（u） ，u0,1()yfx 1x即 y ，从而，u（y 1）1，u ，所以 yf 1（u） ，因此 ，x01()()fx3. 函数的几种特性(1) 函数的有界性定义 7 设函数 的定义域为 ，数集 ，若存在某个常数 （或 ） ，()fxfDfX1K2使得对任一 ，都有X（或 ） ，1()fK2()fx则称函数
18、 在 上有上界（或有下界） ，常数 （或 ）称为 在 上的一个上()fx 1()fxX界（或下界） ，否则，称 在 上无上界（或无下界） ()fxX若函数 在 既有上界又有下界，则称 在 上有界，否则，称 在()fx()fxX()fx上 无界X易知，函数 在 上有界的充要条件是：存在常数 M0，使得对任一 ，都()f X有()fx例如，函数 在其定义域（，）内是有界的，因为对任一sinyxx（ ，）都有 ，函数 在（0，1）内无上界，但有下界1yx从几何上看，有界函数的图像界于直线 之间M(2) 函数的单调性定义 8 设函数 的定义域为 ，数集 ，若对 中的任意两数()fxfDfIIx1，x
19、2（x 1x 2） ，恒有 （或 ） ，1212()x则称函数 在 上是单调增加（或单调减少）的若上述不等式中的不等号为严格()yfI不等号时，则称为严格单调增加（或严格单调减少）的单调增加或单调减少的函数统称为单调函数；严格单调增加或严格单调减少的函数统称为严格单调函数，如图 110 所示图 110例如，函数 在其定义域（，）内是严格单调增加的；函数3()fx在（ 0，）内是严格单调减少的()cotfx从几何上看，若 是严格单调函数，则任意一条平行于 x 轴的直线与它的图像()yfx最多交于一点，因此 有反函数(3) 函数的奇偶性定义 9 设函数 的定义域 关于原点对称（即若 ，则必有 ）
20、若()fxfDfxDfx对任意的 ，都有 （或 ） ，fxD()(x()f则称 f（x）是 上的奇函数（或偶函数） f奇函数的图像对称于坐标原点，偶函数的图像对称于 y 轴，如图 111 所示图 111例 10 讨论函数 f（x ） ln（x ）的奇偶性2解 函数 f（x）的定义域（ ，）是对称区间，因为f（x）ln（x ）ln （ ）ln（x ）f（x）2121x21所以，f（x）是（ ，）上的奇函数(4) 函数的周期性定义 10 设函数 的定义域为 ，若存在一个不为零的常数 T，使得对任意()fxfD，有（ ） ，且 ，则称 为周期函数，其中使上式fxDxTf)(Tx()fx成立的常数 T
21、 称为 的周期，通常，函数的周期是指它的最小正周期，即：使上式成()f立的最小正数 T（如果存在的话） 例如，函数 的周期为 2； 的周期是 ()sinfx()tanfx并不是所有函数都有最小正周期，例如，狄利克雷函数 ，1,()0xD为 有 理 数为 无 理 数任意正有理数都是它的周期，但此函数没有最小正周期4. 函数应用举例例 11 火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过 50 千克时，按基本运费计算如从上海到某地每千克以 015 元计算基本运费，当超过 50 千克时，超重部分按每千克 025 元收费试求上海到该地的行李费 y（元）与重量 x（千克）之间的函数关系式，并画出函数的图像解 当 0x50 时，y015x; 当 x50 时，y01550025( x50)所以函数关系
