1、1椭 圆一、直线与椭圆问题的常规解题方法:1.设直线与方程;(提醒:设直线时分斜率存在与不存在;设为 y=kx+b 与x=my+n 的区别)2.设交点坐标;(提醒 :之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求” )3.联立方程组;4.消元韦达定理;(提醒:抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单 )5.根据条件重转化;常有以下类型:“以弦 AB 为直径的圆过点 0”(提醒:需讨论 K 是否存在)OAB12K0OAB120xy“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、 锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于 0 问题”0;120xy“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系( 或 ) ;12
2、0K12K“共线问题”(如: 数的角度:坐标表示法;形的角度:距离转化法) ;AQB(如 :A、O、B 三点共线 直线 OA 与 OB 斜率相等) ;“点、线对称问题” 坐标与斜率关系;“弦长、面积问题” 转化为坐标与弦长公式问题( 提醒:注意两个面积公式 的合理选择) ;6.化简与计算;7.细节问题不忽略;2判别式是否已经考虑;抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现 0.二、基本解题思想:1、 “常规求值”问题:需要找等式, “求范围”问题需要找不等式;2、 “是否存在”问题:当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解;3、证明定值问题的方法:常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与
3、参数无 关;也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明。4、处理定点问题的方法:常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求出定点;也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明,5、求最值问题时:将对象表示为变量的函数,几何法、配方法(转化为二次函数的最值) 、三角代换法(转化为三角函数的最值) 、利用切线的方法、利用均值不等 式的方法等再解决;6、转化思想:有些题思路易成,但难以实施。这就要优化方法,才能使计算具有可行性,关键是积累“转化”的经验;椭圆中的定值、定点问题一、常见基本题型:在几何问题 中,有些几何量和参数无关,这就构成定值问题,解决这类问题常通过 取参数和特殊值 来确
4、定“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三 角式,证明该式是恒定的。(1)直线恒过定点问题1、已知点 0(,)Pxy是椭圆2:1xEy上任意一点, 直线 l的方程为 012xy, 直线 0l过 P 点与直线 l垂直,点 M(-1 ,0)关于直线 0l的对称点为 N,直线 PN 恒过一定点 G,求点 G 的坐标。32、已知 椭圆两焦点 1F、 2在 y轴上,短轴长为 2,离心率为 2, P是椭圆在第一 象限弧上一点,且 12P,过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线 PA、PB 分别交椭来源:学科网 圆于 A、B 两点。 (1)求 P 点坐标;(2)求证直线 AB 的斜率为定
5、值;3、已知动直线 与椭圆 相交于 、(1)ykx2:153xyCA两点 ,已知点 , 求证: 为定值.B7(,0)3MMB4、 在平面直角坐标系 xOy中,已知椭圆2:13xCy.如图所示,斜率为 (0)k 且不 过原点的直线 l交椭圆 C于 A, B两点,线段 A的中点为 E, 射线 OE交椭圆C于点 G,交直线 3x于点 (,)Dm.()求 2k的最小值;()若2OD E,求证:直线 l过定点;4椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型:对于求曲线方程中参数范围问题,应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式,通过解不等式求得参数的范围;或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域来解
6、.(1)从直线和二次曲线的位置关系出发,利用判别式的符号,确定参数的取值范围。 5、已知直线 与 轴交于点 ,与椭圆 交于相异两点 A、 B, ly(0,)Pm2:1Cxy且 ,求 的取值范围 3APB(2)利用题中其他变量的范围,借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范 围. 6、已知点 (4, 0)M, (1, )N, 若动点 P满足 6|MNP()求动点 P的轨迹 C的方程;()设过点 的直线 l交轨迹 于 A, B两点,若 181275NAB ,求 直线 l的斜率的取值范围 .来源:学科网5(3)利用基本不等式求参数的取值范围7、已知点 为椭圆 : 上的 一动点,点 的坐标为
7、 ,求 QE218xyA(3,1)APQ的取值范围8.已知椭圆的一个顶点为 (0,1)A,焦点在 x轴上.若右焦点到直线 20xy的距 离为 3.(1)求椭圆的方程.(2)设直线 (0)ykxm与椭圆相交于不同的两点 ,MN.当 |A时,求m的 取值范围.9. 如图所示,已知圆 MAyxC),01(,8)1(:2定 点为圆上一动点,点 P在 AM上,点 N在 M上,且满足 NPA点,的轨迹为曲线 E.(I)求曲线 E的方程;(II)若过定点 F(0,2)的直线交曲线 E于不同的两 来源:学科网 ZXXK点 ,GH(点 在点 ,之 间) ,且满足 FHG,求 的取值范围.610、.已知椭圆 E的
8、中心在坐标原点 O,两个焦点分别为 )0,1(A、 ),(B,一个顶点为)0,2(H.(1)求椭圆 的标准方程;(2 )对于 x轴上的点 )0,(tP,椭圆 E上存在点 M,使得 HP,求 t的取值范围. 11.已知椭圆 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴2:1xyCab(0)2长 为半径的圆与直线 相切2()求椭圆 的方程;()若过点 (2,0)的直线与椭圆 相交于两点 ,设 为椭圆上一点,且满 MC,ABP足 ( O 为坐标原点) ,当 时,求实数 取值范围PtBAP253t7椭圆中的最值问题一、常见基本题型:(1)利用基本不等式求最值,12、已知椭圆两焦点 1F、 2在 y轴上,短
9、轴长为 2,离心率为 2, P是椭圆在第一 象限弧上一点,且 12P,过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线 PA、 PB 分别交 椭圆于 A、B 两点,求 PAB 面积的最大值。(2)利用函数求最值,13.如图, Dx轴,点 M 在 DP 的延长线上,且 |2|DM当点 P 在圆21xy上 运动时。 (I)求点 M 的轨迹 C 的方程;()过点 2(0,)1Tty作 圆 的切线 l交曲线 C 于 A,B 两点,求AOB 面 积 S的最大值和相应的点 T 的坐标。14、已知椭圆 .过点 作圆 的切线 交椭圆 G 于 A,B 两点.2:14xGy(,0)m21xyl将| AB|表示为 m 的
10、函数,并求|AB|的最大值.8选做1、已知 A、B、C 是椭圆 )0(1:2bayxm上的三点,其中点 A 的坐标为 )0,32(,BC 过椭圆 m 的中心,且 |2|,CBCA(1)求椭圆 的方程;(2)过点 ),(tM的直线 l(斜率存在时)与椭圆 m 交于两点 P,Q,设 D 为椭圆 m 与 y轴负半轴的交点,且 |DQP.求实数 t 的取值范围2.已知圆 : 及定点 ,点 是圆 上的动点,点 在 M22()()xmynr(1,0)NPMQNP上,点 在 上, 且满足 P2 Q, G G(1)若 ,求点 的轨迹 的方程;1,04rC(2)若动圆 和(1)中所求轨迹 相交于不同两点 ,是否
11、存在一组正实数 ,,AB,mnr使得直线 垂直平分线段 ,若存在,求出这组正实数;若不存在,说 明理由MNAB93、已知椭圆 的中心在坐标原 点,焦点在 轴上,椭圆 上的点到焦点距离的最大值为CxC,最小值为 1()求椭圆 的标准方程;() 若直线 与椭圆 相交于 , 两点( 不是左右顶点) ,且以:lykxmCAB,为直径的圆过椭圆 的右顶点,求证:直线 过定点,并求出该定点的坐标ABl4.如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1) ,平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m0) ,l 交椭圆于 A、B 两个不同点。(1)求椭圆
12、的方程;(2)求 m 的取值范围;(3)求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.10参考答案1、解:直线 0l的方程为 00()2()xyx,即 002yxy 设 ),(M关于直线 l的对称点 N的坐标为 (,mn则00012xnmy,解 得320042048()xxny直线 PN的斜率为43200(4)nyxxkm从而直线 的方程为: 43200 008()()xyx即320042()18yxx从而直线 PN恒过定点 (,0)G 2、解:(1)设椭圆方程为21yxab,由题意可得 ,abc,所以椭圆的方程为214yx则 12(0,)(,)F,设 00(,),)Px则 02PxyFy21()1来源:学_科_网 Z_X_X_K点 0(,)xy在曲线上,则20.4xy22004yx从而22004()1,得 0,则点 P的坐标为 (1,)。(2)由(1)知 1/PFx轴,直线 PA、PB 斜率互为相反数,设 PB 斜率为 (0)k,则 PB 的直线方程为: 2(1)ykx