1、线性代数试题库（1）答案一、选择题：（37=21 分）1.n 阶行列式 D 的元素 a 的余子式 M 与 a 的代数余子式 A 的关系是（ C ）ij ijij ijA A =M B。 A =(-1) M C。A =(-1) M D。A =-Mijijijnijijjiiijij2设 A 是数域 F 上 m x n 矩阵，则齐次线性方程组 AX=O （ A ）A 当 m n 时，无解 C当 m=n 时，只有零解 D当 m=n 时，只有非零解3在 n 维向量空间 V 中，如果 ， L（V）关于 V 的一个基 的矩阵分别为 A，B.那么对于 a，bn,1F，a +b 关于基 的矩阵是（ C ）n,
2、1AA+B BaA+B CaA+bB DA+Bb4已知数域 F 上的向量 线性无关，下列不正确的是（ D ）321,A ， 线性无关 B 线性无关 C 线性无关 D 中必有12 13,321,一个向量是其余向量的线性组合。5R 中下列子集，哪个不是子空间（ C ）nAR B Cniin aRa11 0,|),( 且D0niin aRa11 ,|),( 且6两个二次型等价当且仅当它们的矩阵（ A ）A 。相似 B合同 C相等 D互为逆矩阵7向量空间 R 的如下变换中，为线性变换的是（ C ）3A B C)1,|(),(21xx ),1(),(32321xxD0,33 ),(321x二填空题（3X
3、10=30 分）1当且仅当 k=（-1 或 3）时，齐次线性方程组 有非零解09321xk2设 A= ,则秩（AB）为（1） 。0,0321321 bBa3向量（x，y，z ）关于基（ 0，1/2，0） ， （1/3， 0，0） ， （0，0，1/4）的坐标为 。4设向量空间 F2 的线性变换（2x 1,x2） 。 ),(),(),(),(),(, 212121211 xxxx 则为题号 一 二 三 四 五 六 总分得分评卷人41,35已知 V= ，则 dimV=（3） 。02|),( 414321 xx6已知实矩阵 A= 是正交阵，则 b=（0） 。7设 （V43214321, 的 一 个
4、标 准 正 交 基是 四 维 欧 氏 空 间.),(6,3,2|,321 d的 夹 角与则三、计算题1求矩阵方程的解 ， （10 分）3101x解:x=2设 (10 分)解：由 分别单位化，得 ,TTXAE1,1,3,1022,所以3设二次型 ,回答下列问题：3231212321321 65),( xxxxf （1）将它化为典范型。（2）二次型的秩为何？（3）二次型的正、负惯性指标及符号差为何？（4）二次型是否是正定二次型？ （10 分）解：（1） ,(2)r=5 ,(3)p=3;s=1 ,(4)A=60，是正定二次型 。2542321321),( yyxf 四、证明题1设 V 是数域 F 上
5、一个一维向量空间。证明 V 的变换 是线性变换的充要条件是：对于任意 V，都有（）=a，a 为 F 中一个定数。 （10 分）证明： 所以，是 线 性 变 换 ， 则， 由， 此 时 得基 ， 存 在的是假 设 1F ； a 则， 令 a1112121212121Va， 由，任 意是 线 性 变 换 。1kk2。行列式 ， （10 分）2211222111 cbaacb证：原式= 2211212211212211 cbaccc (,ab1为 对 角 形使求 可 逆 矩 阵 A1T2,1T2,2线性代数试题库（2 ）答案20052006 学年 第一学期 考试时间 120 分钟一、选择题：（3X5
6、=15 分）1.n 阶行列式 D 的元素 a 的余子式 M 与 a 的代数余子式 A 的关系是（ C ）ij ijij ijA A =M B。 A =(-1) M C。A =(-1) M D。A =-Mijijijnijijjiiijij2设 A 是数域 F 上 m x n 矩阵，则齐次线性方程组 AX=O （ A ）A 当 m n 时，无解C当 m=n 时，只有零解 D当 m=n 时，只有非零解3已知 n 维向量 线性无关，下列不正确的是（ D）321,A ， 线性无关 B 线性无关 C 线性无关 D 中必有一个向量是其12 13,321,余向量的线性组合。题号 一 二 三 四 五 六 总分
7、得分评卷人4若 A 是 mxn 矩阵，且 r（A）=r，则 A 中（ D）A. 至少有一个 r 阶子式不等于 0，但没有等于 0 的 r-1 阶子式；B. 必有等于 0 的 r-1 阶子式，有不等于 0 的 r 阶子式；C. 有等于 0 的 r-1 阶子式，没有等于 0 的 r 阶子式；D. 有不等于 0 的 r 阶子式，所有 r+1 阶子式均等于 0。54设 A 是三阶矩阵，|A|=1，则|2A |=（ A）A2，B，1，C8 ，D 42二填空题（3X6=18 分）1当且仅当 k=（-1 或 3）时，齐次线性方程组 有非零解2设 A= ,则秩（AB）为（1） 。3行列式4已知实矩阵 A= 是
8、正交阵，则 b=（0） 。5向量（x，y，z）关于基（ 0，1/2，0） ， （1/3 ，0，0） ， （0，0，1/4 ）的坐标为 。6设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则 。 （10 分）1BoA1o三、计算题1求矩阵方程的解 ， （10 分）31021x解:x=2设 (15 分)解：由 分别单位化，得 ,TTXAE1,1,3,1022,所以3设二次型 ,回答下列问题：3231212321321 65),( xxxxf (1)将它化为典范型。（2）二次型的秩为何？（3）二次型的正、负惯性指标及符号差为何？093321xkx0,021321 bBa.zyx)(,3ab41,23T2,1T2,2
9、为 对 角 形使求 可 逆 矩 阵 A1（4）二次型是否是正定二次型？ （12 分）解：（1） ,(2)r=5 ,(3)p=3;s=1 ,(4)A=60，是正定二次型 。2542321321),( yyxf 4设向量组求向量组的秩及其一个极大无关组。 （10 分）解：A=其中 由此 r(A)=3, 是一个极大无关组，四、证明题1. A 是正交矩阵，证明 。 （10 分）AA,证明： , ,TTTT,2。行列式 ， （10 分）2211222111 cbaacb证：原式= 2211212211212211 cbaccbc 线性代数试题库（3）答案题号 一 二 三 四 五 六 总分得分 021,6
10、51,14703,2,41 2141532115432154321 00421300162730 aaaa 2, 41412213a 421,513 a一、选择题（35=15 分）1已知 m 个方程 n 个未知量的一般线性方程组 AX=B 有解，则无穷多解的条件是（ C ）Amn Bm=n C秩 A n D秩 A=n2设 A= 则 秩 A=（ A ）A 0 B1 C2 D33n 阶行列式 D 的元素 a 的余子式 M 与 a 的代数余子式 A 的关系是（ C ）ij ijij ijA A =M B。 A =(-1) M C。A =(-1) M D。A =-Mijijijnijijjiiijij
11、4已知数域 F 上的向量 线性无关，下列不正确的是（ D）321,A ， 线性无关 B 线性无关 C 线性无关 D 中必有12 13, 321,一个向量是其余向量的线性组合。5设 （V43214321, 的 一 个 标 准 正 交 基是 四 维 欧 氏 空 间（ C ） A、0 B1 C2 D4|则二填空题（3X6=18 分）1设 A 是一个 n 阶实可逆矩阵，则二次型 的标准形是( ).XA) IX2矩阵 的逆矩阵为 。xsicoi xsincoi3向量（x，y，z）关于基（ 0，1/2，0） ， （1/3 ，0，0） ， （0，0，1/4 ）的坐标为 。4设 V43214321, 的 一
12、个 标 准 正 交 基是 四 维 欧 氏 空 间|则5已知实矩阵 A= 是正交阵，则 b=0。6A 与 B 相似，则|A|（=） （ ）|B| 。,三、计算题1. 计算行列式 =I ， （10 分）评卷人 01432)0(,31ab43211aa .004321 解：原式=2. 设 A= ,求矩阵 B，使 AB=A-B。 （10 分）解：设 B= ,AB=A-B， =解得 B=3设 (15 分)解：由 分别单位化，得 ,TTXAE1,1,3,1022,所以4设二次型 ,回答下列问题：（1）将它化为典范型。3231212321321 845),( xxxxf （2）二次型的秩为何？（3）二次型的
13、正、负惯性指标及符号差为何？（4）二次型是否是正定二次型？ （12 分）解：（1） ,(2)r=4 ,(3)p=3;s=2 ,(4)A=100，是正定二次型 。24321321 5),( yyxf 四、证明题 1试证：设 A 是 n 阶矩阵，则|A |=|A| （10 分）*1n证明：AA *= 取行列式得到 若EnAE 。此 时 命 题 也 成 立 ， 即则若则 110,0 nnA2试证：行列式 ， （10 分）证明: 原式= 2211212211212211 cbacbacbacab 2174352211222111 cbacab332211cba 332211745cba 3332221
14、11745cba32187546为 对 角 形使求 可 逆 矩 阵 AT2,2 T2,1线性代数试题库（4）答案一、选择题（3X7=21 分）1已知 m 个方程 n 个未知量的一般线性方程组 AX=B 有解，则无穷多解的条件是（C ）Amn Bm=n C秩 A n D秩 A=n2设矩阵 A 是 n 维向量空间 V 中由基 到基 的过渡矩阵，则 A 的第 j 列是（ C ）n,1 n,1A 关于基 的坐标 B 关于基 的坐标 C 关于基jn,1 j n,1 j的坐标 D 关于基 的坐标n,1 jn,13设 A= 则 秩 A=（ C ）A 、0 B1 C2 D34n 阶行列式 D 的元素 a 的余
15、子式 M 与 a 的代数余子式 A 的关系是（C ）ij ijij ijA A =M B。 A =(-1) M C。A =(-1) M D。A =-Mijijijnijijjiiijij5在 n 维向量空间 V 中，如果 ， L（V）关于 V 的一个基 的矩阵分别为 A，B。那么对于n,1a，b F，a +b 关于基 的矩阵是（C ）n,1AA+B BaA+B CaA+bB DA+Bb6向量空间 R 的如下变换中，为线性变换的是（C ）3题号 一 二 三 四 五 六 总分得分评卷人 204032A B C)1,|(),(321xx ),1(),(32321xxD0, ),(321x7已知数域
16、F 上的向量 线性无关，下列不正确的是（D ）321,A ， 线性无关 B 线性无关 C 线性无关 D 中必有12 13,321,一个向量是其余向量的线性组合。二填空题（3X10=30 分）1设 A 是一个 n 阶实可逆矩阵，则二次型 的标准形是（ ）XA)( IX23矩阵 的逆矩阵为 。xsicoi xsincoi4设 （V43214321, 的 一 个 标 准 正 交 基是 四 维 欧 氏 空 间.),(6,3,2|,321 d的 夹 角与则5向量（x，y，z ）关于基（ 0，1/2，0） ， （1/3， 0，0） ， （0，0，1/4）的坐标为（1/3，1/2 ，1/4 ） 。6已知 V
17、= ，则 dimV=（4） 。|),( 4214321xx7已知实矩阵 A= 是正交阵，则 b=（0） 。三、计算题1计算行列式 ， （10 分）2设 A= ,求矩阵 B，使 AB=A-B。 （10 分）217435解：设 B= ,AB=A-B， =解得 B=3 设 (10 分)解：由 分别单位化，得 ,TTXAE1,1,3,1022,所以四、证明题1设 是欧氏空间任意向量，证明： , (10 分), |nnaaa11321321 331cba 332211745cba 333222111745cba32187546.13204)3(,)( 32 xxff（R则即上 的 变 换是 向 量 空 间 )(,abT2,22 为 对 角 形使求 可 逆 矩 阵 A1 T2,1证明：因为所以 。|2行列式 ， （9 分）2211222111 cbaacb证明: 原式= 2211212211212211 cbacbacc 222,2,2,
