9.2 常点邻域上的级数解法一、线性二阶常微分方程特殊函数方程大多为二阶线性常微分方程，一般形式(实数域)为： 更一般的形式为(推广至复数域) 其中z为复变数，z0为选定的点，c0和c1为任给的复常数，且w(z)为未知函数，p(z)和q(z)为已知复变函数，称为方程的系数。上述方程一般不能用通常方法解出，但可用级数解法。即在任选某点的邻域上将待求的解表示为级数形式，代入方程再确定系数。方程的解的性质完全由系数p(z)和q(z)的解析性决定：若p(z)和q(z)都在z0及其某邻域内解析，则称z0为方程的常点； 否则称z0为方程的奇点。二、常点邻域内的级数解1. 微分方程解析理论的基本定理：若p(z)和q(z)在圆|z-z0|R内单值解析，则方程 在圆内存在唯一的解w(z) ，且满足初值条件 ， ，且w(z)在圆域内单值解析。2. 解的形式：由上述定理，在|z-z0|R内w(z)可写成泰勒级数 将代入可确定系数ak(用c0和c1表示)，这种方法称为级数解法。三、勒让德方程 自然边界条件例：x0=0的邻域上求解l阶勒让德方程 解：方程可写成 则 显然x0=0是方程的常点，可设解为代入方程，
