1、 第 1 页总 9 页 1勾股定理典型例题分析一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为 a、b，斜边为 c ，那么 a 2 + b2= c2。公式的变形：a 2 = c2- b2， b 2= c2-a2 。2、勾股定理的逆定理如果三角形 ABC 的三边长分别是 a，b，c，且满足 a2 + b2= c2，那么三角形 ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，要注意处理好如下几个要点： 已知的条件：某三角形的三条边的长度.满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.得到的结论：这个三角形
2、是直角三角形，并且最大边的对角是直角.如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。3、勾股数满足 a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：（3，4，5 ）(5，12，13 ) ( 6，8，10 ) ( 7，24，25 )( 8，15，17 )(9，12，15 ) 4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。 二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆第 2 页总 9 页 2S3S2S12.
3、如图，以 RtABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是 S1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ）A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S31） ，那么它的斜边长是（ ）1n2A、2n B、n+1 C、n 21 D、 1n27、在 RtABC 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（ ）第 3 页总 9 页 3A. B. C. D.以上都有可能22abc22acb22cba8、已知 RtABC 中，C=90，若 a+b=14cm，c=10cm，则 RtAB
4、C 的面积是（ ）A、24 B、36 C、48 D、602cm2cm2c2cm9、已知 x、y 为正数，且x 2-4+（y 2-3） 2=0，如果以 x、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）A、5 B、25 C、7 D、15 考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、如图 1 所示，等腰 中， ， 是底边上的高，若，求 AD 的长；ABC 的面积考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. 11，12
5、，13 D. 8，15，172、若线段 a，b，c 组成直角三角形，则它们的比为（ ）A、234 B、346 C、51213 D、4673、下面的三角形中：ABC 中，C=AB； ABC 中，A：B：C=1：2：3；ABC 中，a：b：c=3：4：5； ABC 中，三边长分别为 8，15，17其中是直角三角形的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个4、若三角形的三边之比为 ，则这个三角形一定是（ ）1:2A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.不等边三角形5、已知 a，b，c 为ABC 三边，且满足(a 2b 2)(a2+b2c 2)0，则它的形状为（ ）第 4
6、页总 9 页 4A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )A 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形7、若ABC 的三边长 a,b,c 满足 试判断ABC 的形状。22abc01a6b20c，8、ABC 的两边分别为 5,12，另一边为奇数，且 a+b+c 是 3 的倍数，则 c 应为 ，此三角形为 。例 3：求（1）若三角形三条边的长分别是 7,24,25，则这个三角形的最大内角是 度。（2）已知三角形三边的比为 1： ：2，则其最小角为 。3考点五:应用勾股定理解
7、决楼梯上铺地毯问题某楼梯的侧面视图如图 3 所示，其中 米， ， ，因某种活动要求铺设红色地毯，则在 AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 考点七：折叠问题1、如图所示，已知ABC 中，C=90，AB 的垂直平分线交 BC于 M，交 AB 于 N，若AC=4，MB=2MC，求 AB 的长第 5 页总 9 页 53、折叠矩形 ABCD 的一边 AD,点 D 落在 BC 边上的点 F 处,已知 AB=8CM,BC=10CM,求 CF 和EC。4、如图，在长方形 ABCD 中，将 ABC 沿 AC 对折至 AEC 位置，CE 与 AD 交于点 F。（1）试说明：AF=FC；（2）如果 AB=3，BC=4，
8、求 AF 的长5、 如图 2-3，把矩形 ABCD 沿直线 BD 向上折叠，使点 C 落在 C的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分EBD 的面积为_2-512、如图所示，ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是 AB、AC边上的点，且 DEDF，若 BE=12，CF=5求线段 EF 的长。AB CEFD第 6 页总 9 页 6ABCDE FG考点八：应用勾股定理解决勾股树问题已知 ABC 是边长为 1 的等腰直角三角形，以 Rt ABC 的斜边 AC 为直角边，画第二个等腰Rt ACD，再以 Rt ACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个等腰 Rt
9、ADE，依此类推，第 n个等腰直角三角形的斜边长 是 考点九、图形问题1、如图 2，已知，在 ABC 中， A = 45， AC = ， AB = 2+1，则边 BC 的长为 32、某公司的大门如图所示,其中四边形是长方形,上部是以为直径的半圆,其中=2.3，=2,现有一辆装满货物的卡车,高为 2.5,宽为 1.6,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由. 考点十：其他图形与直角三角形第 7 页总 9 页 7如图是一块地，已知 AD=8m，CD=6m，D=90，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积。考点十一：与展开图有关的计算1、如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDABCD的表面
10、上，求从顶点 A 到顶点 C的最短距离2、如图一个圆柱，底圆周长 6cm，高 4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从 A 点爬到 B 点，则最少要爬行 cm考点十二、航海问题1、一轮船以 16 海里/时的速度从 A 港向东北方向航行，另一艘船同时以 12 海里/时的速度从 A 港向西北方向航行，经过 1.5 小时后，它们相距_海里2、如图，某货船以 24 海里时的速度将一批重要物资从 A 处运往正东方向的 M 处，在点 A 处测得某岛 C 在北偏东 60的方向上。该货船航行 30分钟到达 B 处，此时又测得该岛在北偏东 30的方向上，已知在 C 岛周围 9 海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，
11、该货船有无暗礁危险？试说明理由。东东3060BACMD第 8 页总 9 页 8考点十三、网格问题1、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，则网格上的三角形 ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）A0 B1 C2 D32、如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为 1，则ABC 是 （ ）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对3、如图，小方格都是边长为 1 的正方形,则四边形 ABCD 的面积是 ( )A 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5BCAAB D CBA（图 1） （图 2） （图 3）4、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是 1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：使三角形的三边长分别为 3、 、 （在图甲中画一个即可） ；85使三角形为钝角三角形且面积为 4（在图乙中画一个即可） 第 9 页总 9 页 9甲乙
