1、高中函数值域的求法题型一 求函数值：特别是分段函数求值例 1 已知 f(x) (xR，且 x1) ，g(x)x 22(xR).11 x(1)求 f(2)，g(2) 的值；(2)求 fg(3)的值.解 (1)f(x) ，f(2) .11 x 11 2 13又g(x )x 2 2，g(2)2 226.(2)g(3)3 2211，fg(3)f(11) .11 11 112反思与感悟 求函数值时，首先要确定出函数的对应关系 f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于 fg(x)型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意 fg(x)与 gf(x)的区别.跟踪训练 4 已知函数 f(x) .x 1x
2、2(1)求 f(2)；(2)求 ff(1).解 (1)f(x) ，f(2) .x 1x 2 2 12 2 34(2)f(1) ，ff(1)f( ) .1 11 2 23 2323 123 2 585.已知函数 f(x)x 2x 1.(1)求 f(2)，f( )；1x(2)若 f(x)5，求 x 的值.解 (1)f(2)2 2215，f( ) 1 .1x 1x2 1x 1 x x2x2(2)f(x) x 2x15，x 2x 60，x2，或 x3.(3)4.函数 f(x)对任意自然数 x 满足 f(x1) f (x)1，f (0)1，则 f(5)_.答案 6解析 f(1)f(0)1112，f (2
3、)f(1)13，f(3)f(2)14，f(4) f(3)15，f(5)f (4)16.二、值域是函数 y=f(x)中 y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。求值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数 y=ax+b(a 0)的定义域为 R，值域为 R；反比例函数 的定义域为x|x 0，值域为y|y 0；)0(kxy二次函数 的定义
4、域为 R，)2acbf当 a0 时，值域为 ；当 a0， = ，xy12)(当 x0 时，则当 时，其最小值 ；abx2abcy4)(2min当 a0）时或最大值（a0）时，0)(0f再比较 的大小决定函数的最大（小）值.),(bfa若 a,b,则a,b是在 的单调区间内，只需比较 的大小即可决定0x)(xf )(,bfa函数的最大（小）值.注：若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习：1、求函数 y=3+ 的值域x32解：由算术平方根的性质，知 0，故 3+ 3。函数的值域为 x32.,32、求函数 的值
5、域5,0,2xxy解： 对称轴 ,120,4,1maxin值 域 为时时y1 单调性法例 3 求函数 y=4x (x1/3)的值域。x31设 f(x)=4x,g(x)= ,(x1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而 y=f(x)+g(x)=4x- x31在定义域为 x1/3 上也为增函数，而且 yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为y|y4/3 。小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数 y=3+ 的值域。(答案：y|y3)x42 换元法例 4 求函数
6、的值域 xy12解：设 ，则tx1)0(12tt2, 20max值 域 为 ，时当且 开 口 向 下，对 称 轴 ytt点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数 y= 的值域。 （答案：y|y3/4x1求 的值域；xcosin1例 5 （三角换元法）求函数 的值域21xy解： 设1,0cos2,12,1)4in(sicosinco原 函 数 的 值 域 为 y小结：（1）若题目中含有 ，则可设a)0,cos(2,sina或 设（2）若题目中含有 则可设 ，其中12basi
7、n,coba20（3）若题目中含有 ，则可设 ，其中xsx0（4）若题目中含有 ，则可设 ，其中21tan2（5）若题目中含有 ，则可设 其中)0,(ryx2sin,coryrx2,03 平方法例 5 （选）求函数 的值域xxy53解：函数定义域为： ,2,4,2 1,058,5318)5(32原 函 数 值 域 为 得由y xxxx4 分离常数法 例 6 求函数 的值域21xy由 ，可得值域31y小结：已知分式函数 ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量)0(cdxbay的要求）内，值域为 ；如果是条件定义域（对自变量有附加条件） ，采用部分分式法将原函数化为 ，用复合函数法来)(bcadc
8、xby求值域。练习求函数 的值域6412xy求函数 的值域3x求函数 y= 的值域；（ y(-1，1)）12x例 7 求 的值域13xy解法一：（图象法）可化为 如图， 3,412,xy观察得值域 解法二：（不等式法） 同样可得值4114)(13xxx域练习： 的值域 1yx,1例 8 求函数 的值域),0(239xyx解：（换元法）设 ，则 原函数可化为t31t8,2 8,3;2,1,2 maxmin值 域 为 时时对 称 轴 ytyttty例 9 求函数 的值域x31-1 0 1 34-4 xy0 1t2t解：（换元法）令 ，则1)(22xxt )1(3ty由指数函数的单调性知，原函数的值
9、域为 ,例 10 求函数 的值域)0(2xy解：（图象法）如图，值域为 1,（换元法）设 ，tx3则 1133tyxx001ytt1,原 函 数 的 值 域 为例 13 函数 的值域12xy解法一：（逆求法） 102 yyx1,原 函 数 的 值 域 为解法二：（换元法）设 ，则 tx2原 函 数 值 域 即 得1201ytt解法三：（判别式法）原函数可化为 010)(2yx1） 时 不成立y2） 时，)1(40yy1y综合 1） 、2）值域 |解法四：（三角换元法） 设 ，则Rx2,tanx21 0 xy1,2cos,2costan12 y原函数的值域为1|y例 14 求函数 的值域3425
10、xy解法一：（判别式法）化为 0)5(2yxy1） 时，不成立0y2） 时， 得50)53(8)4( yy0综合 1） 、2 ）值域 |y解法二：（复合函数法）令 ，则tx342ty51)(2t所以，值域50y 50|y例 15 函数 的值域1xy解法一：（判别式法）原式可化为 01)(2xy,31,04)(02原 函 数 值 域 为 或y解法二：（不等式法）1）当 时，x321yx2） 时，2)(11yxx0x综合 1） 2）知，原函数值域为 ,3,51 tt0例 16 (选) 求函数 的值域)1(22xxy解法一：（判别式法）原式可化为 022yx,210)(4)(02原 函 数 值 域
11、为 舍 去 或yxy解法二：（不等式法）原函数可化为 )1(211)(2 xxx当且仅当 时取等号，故值域为0x,例 17 （选） 求函数 的值域)2(12xy解：（换元法）令 ，则原函数可化为 。 。 。tx)31(tty小结：已知分式函数 ，如果在其自然定义域内可采用)0(22dafexdcbay判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为（选） 的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法)(二 次 式一 次 式或一 次 式二 次 式 yy求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数的单调性去解。)0(xay利用判别式求值域时应注意的问题用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多学生对用判别式求值域掌握不好。一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法，哪些函数不能也比较模糊。本人结合自己的教学实践谈谈对本内容的一点体会。
