1、12-1 已知系统的微分方程为 )(4)(2332 tuetrdttr且初始条件为 求系统的完全响应、自由响应、强迫响应、零输入,4)0( ,3)(r响应、零状态响应。【解】：（一）自由响应 ，即齐次解，可以按照如下方法求得：()hrt令 ，2320drttt特征方程为： ，特征根： ， ，特征模式为 ， ，12te2t于是 21()tthrtAe（二）强迫响应 ，即特解，可以按照如下方法求得（参见表 2-3）：()prt因为原方程中的强迫项为 ，所以 ，将此特解代入原方程，得到34()teu3()tprBet2B（三）完全解 ，可以按照如下方法求得：()rt 321()tthp trtAee
2、由于完全解通常是在 的条件下求得，因此需要知道初始条件 ， 。0t(0)r()观察原方程可以看出，方程的右边不含冲激函数 ，且在 附近有界，于是在()tt附近 有界， 连续， 连续，因此0t()rt()rt()rt， ()3r04根据以上初始条件，可以解出完全解 中的常数 ，故()rt12, 1A23()1tttrtee（四）零输入响应 ()zirt令 ，按照步骤（一）同样的方法可以得到：2320drttt，12()ttzitCe由于输入信号为零，系统没有外部输入信号的激励作用，只在系统内部储能的作用下，按2照系统固有的特征模式（ 和 ）运动，此时系统保持连续平稳的运动状态，初始条件te2t不
3、会产生跃变，因此 ， ，将它们代入 的(0)3zizir (0)4zizir()zirt表达式，得到 ，故12, C7()07ttzirte（五）零状态相应 ()zsrt此时的微分方程可以写成 2 332()4()zszs tzsdrttrteud初始条件为 。(0), 0zszs根据完全解的表达式可以得到 132()ttzs trtDee用步骤（三）同样的分析方法可以知道 ， ，将它(0)()0zszsr()(0)zszsr们代入 的表达式，得到 ，故()zsrt12, D4234ts ttzee2-2 求系统 的冲激响应。)()( ttr【解】：方法一：时域经典法令 ，系统方程变为()et
4、， 23()rt由于冲激响应是一种零状态响应，初始条件为 ，因此，需要考虑从 到 状(0)r0态的跳变问题，以求得 。根据冲激函数平衡法，观察方程两边可以知道， 中(0)r ()rt含有 ， 中不含 ，故 在 附近有界，即 （M 是某个()ttt()rt |()|rt正实数） ， ，000|rddM对系统方程两边从 到 积分3000() 2()3()rtdrtdt(0)3r于是，我们可以写出 时的系统微分方程和初始条件：0t， ()2t()3r这是一个齐次方程。至此，求解冲激响应的问题就转化为当 时求解齐次方程的问题。0t解此方程，得到： （ ） ，代入初始条件得到 ，因此，该系统的2()tt
5、Ae03A冲激响应为2()3()thteu中乘上 是为了含摄 的条件。t0t方法二：冲激函数系数匹配法（参见教材 2.6 节例 2-9）观察系统方程 可以知道， 中不含冲激函数 ，于是 中 ()23()rtt()rt()t()rt只含有系统固有的特征运动模式 （特征方程为 ，特征根为 ） ，因2te202此（特征模式 乘上 是为了含摄 的条件） ，2()()trtAeu2t()utt2()()tt teAe将 和 代入系统方程，()rtt22()()3t tAeueut注意上面的式子中，特征模式 的系数自动平衡，这是由特征方程 所保证的。t 20比较 的系数，可以得到 ，故()tA23treu
6、或者写作 2()()tht2-3 如图 2-3 所示电路，激励信号为 ，求当 和 时的响应信号)(te)(t)(tue。)(tvL4图 2-3【解】 ， ，()()Lditvt1()tLitvdt根据基尔霍夫电压定律，列出方程()()LRtettLvvdt两边对 t 求导，得到()()LLdet当 时，系统方程变为et()()LLvRdttdt根据冲激函数平衡法（参见教材 2.6 节例 2-9） ，可以知道 中含有 ，再加上系统()Lvt()t固有的特征运动模式 ，于是系统的冲激响应具有如下形式RtLe()()tLvtAtBu，()()()RRRtt tLLLd dtBeBAeuttt 将 和
7、 代入系统方程，比较 和 的系数，得到 ， ，()Lv()Lt t 1ARBL故 ()()RtLLteu或者写作 ()()RtLht类似地，当 时，可以求得系统的阶跃响应 ()etu()()RtLgteu可以验证冲激响应是阶跃响应的导数 ()dtht52-4 一个系统的冲激响应为 ，激励信号为 ，试求系统的零)()(tueth)(tue状态响应 。)()(tetrzs【解】：这是一个求卷积的问题，首先注意到 对于任意函数 均成()()ftft()ft立（参见教材第 77 页（2-71）式） ，于是()()00()()*()()*()()(1)(2zs tttttttttrtehtueut dt
8、ueuteu其中第 4 个等式中的积分的上下限由 给出，只有当 时，被积函数()ut0t才不为零，因此积分下限为 0，积分上限为 t，而且 t0，故整个积分的外面要乘上 u(t)。2-5 试求图 2-5 所示两信号的卷积，并画出波形。6图 2-573-1 设 ，试用 表示下列各信号的频谱。Ftf（1） ； （2） ；ttfm0costft（3） ； （4） ；dej0 3【解】：（1）运用公式 ， （参000cos()()()wtw00(*)()fttft见（2-72）式） ，以及频域卷积定理得到() cosmft mftt0000()()()2F（2）根据频域微分定理： ，得到()dwjtf
9、)(2)()()( jtft （3）根据时域微分定理 ，以及频移性质，得到jFdt)()()000 wjtdfejw（4）根据时移性质 ，以及时域卷积定理，得到：jeFtf3)()3(wjwjetf 32)(.*)( 3-2 先求如下图(a)所示信号 的频谱 的具体表达式，再利用傅里叶变换的性质由tf求出其余信号（b） （c） （d）的频谱的具体表达式。F【解】：8（a） ，对 f(t)求一阶和二阶导数得到()1()1)fttut()()1(1)uttuddt t 其中 ，0t ()tt)()(f1jwtje根据时域微分定理 ，可知)()(jFdtf()jwjeft21()()jjft2)jw
10、Fwe（b）由于 1(1tff故 jwjjwee)(21（c） )(12tftftfjwejF)()2(d)根据尺度变换和时移性质 231()(2)()jwfttFe223()(1jwjweje3-3 如图 3-3 所示余弦脉冲信号为 ，试利用线性和频域卷1 , 0)cos1(5.)(ttf积性质求 频谱。提示： ， 是门函数或矩形脉冲。)(tf )22ttgtf )(2g9图 3-3 图 3-4【解】：由于 ，其中 ，()2gtSa1， ，12000cos()()()t根据频域卷积定理可以得到211()()()()21SaFSaSa3-4 如图 3-4 所示两矩形函数 和 ：(1) 画出 的
11、图形；(2) 求)(1tf2tf )()(21tftf*的频谱函数 。)()(21tftf*F【解】：不妨设 ， ， ，1211()()ftEgt22()ftEgt1012211 12122121/()*()0 , ()/,()/ tftfEgtdtdE 2 21/ 2112()/, ()/0 , ()/ , t ttt 121212122112221/,()/(), /,()/()0 , Ettt12 /t 如下图所示 1122212(2)()(),().)()2wwFftESaFftESaftSa A因 所 以 3-5 已知 ，求信号 的频谱函数 的具体表达式。11tuetft tfF【解】：
