1、 数学（理工）试题 第 1 页 （共 10 页）2014 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数 学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 5 页. 时量 120 分钟. 满分 150 分.一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 满足 （ 为虚数单位）的复数 【 B 】izi zA. B. C. D. 1i21i21i21i2【解析】由题意 ,选 B iz=iiz2. 对一个容量为 的总体抽取容量为 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层Nm抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体
2、被抽中的概率分别为 ,则【 D 123,p】 A. B. C. D. 123=p231=p132=p=【解析】简单随机抽样、系统抽样和分层抽样都是等概率抽样, ,选 D.1233. 已知 分别是定义 在上的偶函数和奇函数，且 ，则(),fxgR2()1fxgx【 C 】1+A. B. C. D. 3113【解析】由题意 ,选 C23(),(),()fxgxfg4. 的展开式 的系数是 【 A 】51(2)xy23yA. B. C. D. 05520【解析】通项 ,则 时, ,选 A. 51kkkTCx22323310Txyxy5. 已知命题 ：若 ，则 ；命题 ：若 ，则 . 在命题pyyqy
3、2 ； ； ； qp()p()pq中，真命题是 【 C 】A. B. C. D. 【解析】命题 为真命题 ,当命 题 为假命题,所以为真命题 ,故选 C.6. 执行如图 1 所示的程序框图，如果输入的 ，2,t则输出的 属于 【 D 】SA. B. 6,25,1C. D. 4536【解析】当 时,运行程序如下,0t,3,St29t当 时, ,S t输 入 0?t是 1图 结 束 3St输 出开 始21t否数学（理工）试题 第 2 页 （共 10 页）则 ,故选 D. 2,63,16S.7. 一块石材的几何体三视图如图 2 所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于 【 B
4、】A. B. 1C. D. 34【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径 ,r则 ,2868rr故选 B.8. 某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为 ，第二年的增长率为 ，则pq该市这两年生产总值的年平均增长率为 【 D 】A. B. C. D. 2pq(1)2pqq(1)p【解析】设前两年的平均增长率为 ,则有x2()(1)pxq9. 已知函数 ，且 ，则函数 的图像的一条对称轴是()sin)fx30fd(f【 A 】A. B. C. D. 56x7123x6x【解析】法一：由 ,230 2()coscos=0sco3fxd 所以 或 ，即
5、.k2k3k则 是其中一条对称轴.故选 A.56x法二：由定积分的几何性质与三角函数图象可知 是函数 的一个,03()sin)fx对称中心，所以 ,所以 .故选 A.sin()03k10. 已知函数 与 的图像上存在关于 轴对称的21()()xfe2(ln()gxxay点，则 的取值范围是 【 B 】aA. B. C. D. 1(,)e(,)e1e, 1()e-，【解析】由题可得函数 的图像上存在点 关于 轴对称的点)fx0200(,)(xPy在函数 的图像上，0201(,xQe2(ln)gxa1286正视图 侧视图俯视图图 2数学（理工）试题 第 3 页 （共 10 页）xyO12从而有 ,
6、即 .022001ln()xexa001ln()2xea问题等价于函数 在 存在零点,1()2h法一： , 在 单调递增，1()xea()x,当 时， ，要使 在 存在零点，则 ，xh01(0)ln02ha从而 ae法二：问题等价于函数 与1()2xe()ln)xa的图象在 有交点,在同一坐标系中作出这两个函数0的图象，当 的图象在左右平移的过程中，()ln)xa即可，即 ，()he二、填空题：本大题共 6 小题，考生作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. （一）选做题：在 11,12,13 三题中任选两题作答，如果全做，则按全两题记分.11. 在平面直角坐标系中，倾斜角为 的直线 与
7、曲线 （ 为参数）交于4l2cos:1inxCy两点，且 ，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直,AB2O线 的极坐标方程是 .l【答案】 (cosin)112. 如图 3，已知 是 的两条弦， ，,AC,3,ABC则 的半径等于 .2BO【答案】 13. 若关于 的不等式 的解集为 ，则 . x23ax513xa【答案】 3【解析】由题可得 ,故填 .51,a3（二）必做题（1416 题）14. 若变量 满足约束条件 ，且 的最小值为 ，则 . ,xy4yxk2zxy6k【答案】 2【解析】求出约束条件中三条直线的交点为 ,4,kk2且 的可行 域如图 ,4所以 ,则当 为
8、最优解时, ,kk6当 为最优解时, , 21kAOCB图3Oyxk数学（理工）试题 第 4 页 （共 10 页）因为 ,所以 ,故填 . 2k2【考点定位】线性规划15. 如图 4，正方形 和正方形 的边长分别为 ，原点 为 的中ABCDEFG,()abOAD点，抛物线经过 两点，则 . ,Fba【答案】 12【解析】由题可得 ,2则 .2apb2012abab16. 在平面直角坐标系中， 为原点， ，动点 满足 ，则O(,),3)(,0ABCD1C的最大值是 .OABD【答案】 17【解析】动点 的轨迹是以 为圆心，1 为半径的圆，可设 的坐标为 ，C(3cos,in)则 .(2cos,3
9、in) 22csAOB，其中 ，82csin87s4sin,7当 时， 的取到最大值 .sin1OABD1三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 12 分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 和 . 现安排甲组235研发新产品 ，乙组研发新产品 . 设甲、乙两组的研发相互独立.AB（）求至少有一种新产品研发成功的概率；（）若新产品 研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品 研发成功，预B计企业可获利润 100 万元. 求该企业可获利润的分布列和数学期望.【解析】记 甲组研发新产品成功 ， 乙组
10、研发新产品成功 .由题设知EF2132(),(),(),()35PEP且 与 ， 与 ， 与 ， 与 都相互独立.F（）记 至少有一种新产品研发成功 ，则 ,于是HE,12()()35F故所求的概率为.()()PAOBEFGyx图 4数学（理工）试题 第 5 页 （共 10 页）（）设企业可获利润为 ，则 的可能取值为 0,100,120,220.因X1213(0)(),(10)(),35542612,2.PEFPXEF 故所求的分布列为 X0 100 120 220P153151515数学期望为.242()00E304820418.（本小题满分 12 分）如图 5，平面四边形 中， ABCD
11、127.CA， ，（）求 的值；cos（）若 ，求 的长.7,sin146B【解析】 （）如图 5，在 中，由余弦定理，得22cosACD故由题设知，7147.（）如图 5，设 ，则 ,BBAC因为 , ，2cos7CADcos14所以 , 2in17C221sin1cos4DBA于是 3si icoinBABCCD在 中，由正弦定理， 故ACsini372.i16BCA19.（本小题满分 12 分）如图 6，四棱柱 的所有棱长都相等， 1-AD11,CBDOA四边形 和四边形 均为矩形.1CB（）证明： 平面 ；OC（）若 ，求二面角 的余弦值.60,1OB【解析】 （）如图（a） ，因为四
12、边形 为矩形，所以 ，同理1A1.1DB因为 ，所以 ，而 ，因此 平面 ,1/C1D1CABDACD图 5数学（理工）试题 第 6 页 （共 10 页）由题设知 ，故 平面 .1/OC1ABCD（）解法 1：如图（a） ，过 作 于 ，连接 .O1H1CH由（）知， 平面 ，所以 平面 1于是 ,又四棱柱 的所有棱长都相等，A1-所以 是菱形，因此 ,从而 平面1BD11BD所以 ,于是 平面 ，进而 ,1C1B1C所以 为二面角 的平面角,OHOD不妨设 ,因为 ，所以2A06A13,7.BO在 中，易知 ,又 .于是1Rt1127,221 97CC故 .115cos9OH21579即二面
13、角 的余弦值为 .1CBD21解法 2：因为四棱柱 的所有棱长都相等，所以 是菱形，-ACABCD因此 ,又 平面 ，从而 两两垂直.1O1,OB如图（b）,以 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，xyz建立空间直角坐标系 ，不妨设 ,xyz2A因为 ，所以06CBA3,1.B于是相关各点的坐标为 (0)(,)(0,)C易知， 是平面平面 的一个法向量.1(,)n1D设 是平面 的一个法向量，2xyzOC则 ，即120320xzy取 ，则 ，所以 .3z,2(,3)n设二面角 的大小为，易知是锐角，于是1BD.122 57cos, 19n二面角 的余弦值为 .1CO20.（本小题满分 13 分）已
14、知数列 满足na11,*.nnapN（）若数列 是递增数列，且 成等差数列，求 的值；123ap（）若 ，且 是递增数列， 是递减数列，求数列 的通项公式.2p2+1nn na【解析】 （）因为数列 是递增数列， 而 ，因此a11na1图 a1AO1CBDAH图 b1OCBD11Axzy数学（理工）试题 第 7 页 （共 10 页）2231,1,app又 成等差数列，所以 ，因而得 .解得123,a420,0.当 时， ，这与 是递增数列矛盾，故 .0p1nana13p（） 是递增数列，因而 ，于是2+2+1n210nna但 ，所以21n2+121nna由，知， ，因此210na2211nn因
15、为 是递减数列，同理可得 ，故2n 20na2121 nn 由，知，1.nna于是 121321()()()n naa.12 14232n n 数列 的通项公式为 .na143nna21.（本小题满分 13 分）如图 7， 为坐标原点，椭圆 的左右焦点分别为 ，离心O21(0)xyCab： 12,F率为 ；双曲线 的左右焦点分别为 ，离心率为 ，已知1e2(0)xyab： 34,e，且 . 232431F（）求 的方程；1C，（） 过作 的不垂直于 轴的弦 ， 为yABM的中点，当直线 与 交于 两ABO2C,PQ点时，求四边形 面积的最小值.P【解析】 （）因为 所以 即 ，因此123e22
16、31ba43ab从而 ，于是 ，所以 ，2,ab4(,0),)F2431FAOxyB1F2PQ34图 7数学（理工）试题 第 8 页 （共 10 页）故椭圆 方程为 ,双曲线 的方程为 .2a1C21xy2C21xy（）因为直线 不垂直于 轴且过点 ，故课设直线 的方程为AB1,0FAB. xmy由 得21210my易知此方程的判别式大于 0.设 ，则 是上述方程的两个实根，所12(,)(,)AxB2,y以 1212,ym因此 ， 的中点为 ，故12124xmy 22,M直线 的斜率为 ， 的方程为 ，即 .PQPQ2yx0y由 得 ，所以 从而21yx24x2240,mm22+PQxy设点
17、到直线 的距离为 ，则 点到直线 的距离也为 ，所以AdBPd124my因为点 在直线 的异侧，所以 ，于是,B20xy120xmxy,12xyy从而 124md又因为 ，所以21211224yyy214dm四边形 面积APBQ221 321SPm而 ，故当 时， 取得最小值 2.20m0S四边形 面积的最小值为 2.22.（本小题满分 13 分）已知常数 ，函数 . 0a2()ln1)xfxa数学（理工）试题 第 9 页 （共 10 页）（）讨论 在区间 上的单调性；()fx(0,)（）若 存在两个极值点 ，且 ，求 的取值范围.12,x12()0fxfa【解析】 （） ,（*）4af4ax
18、2241x因为 ,所以当 时,210ax0当 时, ,此时，函数 在 单调递增,f fx当 时 , （舍去） ，0121 ,aa当 时， ；当 时， .1()x0fx1()0fx故 在区间 单调递减 ,在 单调递增的.f1(,)x综上所述当 时, ,此时，函数 在 单调递增,afxf当 时 , 在区间 上单调递减,在 上单调递增的. 010,2a12a（）由（*）式知，当 时， 函数 不存在极值点，因而要使得fxfx有两个极值点，必有 ，又 的极值点只可能是 和fx01af 1xa，21a且由 的定义可知， 且 ，所以 ， ，解fxxa21a2a得 ，此时， （*）式知 , 分别是 的极小值点和极大值点，而12a1fx1212 2()ln()ln()xfxfxa11221124l 4ax24lnlna令 ，由 且 知21ax01a当 时, 当 时, 记 0;201.x2()lngx（）当 时， ，所以()ln2gx2()x因此， 在 上单调递减，从而 ，()gx1,0(1)40g故当 时，02a2()0fxf（）当 时， ，所以lngx数学（理工）试题 第 10 页 （共 10 页）2()xgx因此， 在 上单调递减，从而 ，()gx0,1(1)0故当 时，2a2()0fxf综上所述，满足条件的 的取值范围是为 .a,2
