1、1 / 112011 年辽宁高考数学试题及答案（理科）注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号写在本试卷上无效3回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1） 为正实数， 为虚数单位， ，则ai 2iaa（A）2 （B） （C ） （D）13（2）已知 M，N 为
2、集合 I 的非空真子集，且 M，N 不相等，若 ，则MI（A）M （B）N （C ）I （D）（3）已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点， ，则=3AFB线段 AB 的中点到 y 轴的距离为（A） （B）1 （C ） （D）45474（4）ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，asinAsinB+bcos 2A= ，a则 ab（A） （B） （C ） （D）2323（5）从 1，2，3，4，5 中任取 2 各不同的数，事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”，事件 B=“取到的 2 个数均为偶数”，则 P（B A）=（A） （B） （C ） （
3、D）814512 / 11（6）执行右面的程序框图，如果输入的 n 是 4，则输出的 P 是（A）8（B）5（C）3（D）2（7）设 sin ，则1+=43（ ） sin2（A） （B） （C ） （D）7991979（8）如图，四棱锥 SABCD 的底面为正方形，SD 底面 ABCD，则下列结论中不正确的是（A）AC SB（B）AB平面 SCD（C）SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角（D）AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角（9）设函数 ，则满足 的 x 的取值范围是1,log12)(xxfx 2)(f（A） ，2 （B）0，2 （C ）1
4、，+ ） （D）0，+ ） （10）若 ， ， 均为单位向量，且 ， ，则 的abc0ba0)(cb|cba最大值为（A） （B）1 （C ） （D）22（11）函数 的定义域为 ， ，对任意 ， ，则)(xfR2)(f Rx)(xf的解集为4（A） （ ，1） （B） （ ，+ ） （C ） （ ， ） （D） （ ，+ ）11（12）已知球的直径 SC=4，A，B 是该球球面上的两点，AB= ，3，则棱锥 SABC 的体积为30SC3 / 11（A） （B） （C ） （D）13323第卷本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题-第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答第 22 题-第
5、 24 题为选考题，考生根据要求做答二、填空题 ：本大题共 4 小题， 每小题 5 分（13）已知点（2，3）在双曲线 C： 上，C 的焦距为 4，则它)0,(12bayx的离心率为 （14）调查了某地若干户家庭的年收入 x（单位：万元）和年饮食支出 y（单位：万元），调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系，并由调查数据得到 y 对x 的回归直线方程： .由回归直线方程可知，家庭年收入每增加321054.y1 万元，年饮食支出平均增加_万元.（15）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为 ，它32的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 （16）已
6、知函数 =Atan（ x+ ） （ ） ， y= 的部分图像如下图，)(xf2|,0)(xf则 24f三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤（17） （本小题满分 12 分）已知等差数列a n满足 a2=0，a 6+a8=-10（I）求数列 an的通项公式；（II）求数列 的前 n 项和14 / 11（18） （本小题满分 12 分）如图，四边形 ABCD 为正方形，PD平面ABCD， PDQA，QA=AB= PD12（I）证明：平面 PQC平面 DCQ；（II）求二面角 QBPC 的余弦值（19） （本小题满分 12 分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为
7、品种家和品种乙）进行田间试验选取两大块地，每大块地分成 n 小块地，在总共 2n 小块地中，随机选 n 小块地种植品种甲，另外 n 小块地种植品种乙（I）假设 n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为 X，求 X 的分布列和数学期望；（II）试验时每大块地分成 8 小块，即 n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm 2）如下表：品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该
8、种植哪一品种？附：样本数据 的的样本方差 ，其中nx,21 )()()(12222 xxxns n为样本平均数x（20） （本小题满分 12 分）如图，已知椭圆 C1 的中心在原点 O，长轴左、右端点M，N 在 x 轴上，椭圆 C2 的短轴为 MN，且 C1，C 2 的离心率都为 e，直线 lMN，l 与 C1 交于两点，与 C2 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 A，B，C ，D（I）设 ，求 与 的比值；（II）当 e 变化时，是否存在直线 l，使得 BOAN，并说明理由5 / 11（21） （本小题满分 12 分）已知函数 xaxxf )2(ln)(（I）讨论 的单调性；（II）设
9、 ，证明：当 时， ；0aax10)1()(xaff（III）若函数 的图像与 x 轴交于 A，B 两点，线段 AB 中点的横坐标为)(fyx0，证明： （x 0）0f请考生在第（22） 、 （23） 、 （24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑（22） （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，A，B ，C，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与 BC的延长线交于 E 点，且 EC=ED（I）证明：CD/AB；（II）延长 CD 到 F，延长 DC 到 G，使得 EF=EG，证明：A，B ，G，F 四
10、点共圆（23） （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系统与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，曲线sincoyxC2 的参数方程为 （ ， 为参数） ，在以 O 为极点，x 轴的正半轴sincobyax0b为极轴的极坐标系中，射线 l： = 与 C1，C 2 各有一个交点当 =0 时，这两个交点间的距离为 2，当 = 时，这两个交点重合（I）分别说明 C1，C 2 是什么曲线，并求出 a 与 b 的值；（II）设当 = 时，l 与 C1，C 2 的交点分别为 A1，B 1，当 = 时，l 与4 4C1，C 2 的交点为 A2，B 2，求四边形
11、A1A2B2B1 的面积（24） （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 =|x-2| x-5|)(f|6 / 11（I）证明： 3；3)(xf（II）求不等式 x2 x+15 的解集8参考答案评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加
12、分数.4只给整数分数，选择题不给中间分.一、选择题15 BACDB 610 CADDB 1112 BC二、填空题132140.25415 316三、解答题17解：（I）设等差数列 的公差为 d，由已知条件可得na10,2ad解得 1,.d故数列 的通项公式为 5 分na2.na（II）设数列 ，即 ，12nnS的 前 项 和 为 211,naaS 故1.4nnSaa所以，当 时，7 / 111211112()4)2n nnnnnSaa.n所以 1.2S综上，数列 12 分11.2nnaS的 前 项 和18解：如图，以 D 为坐标原点，线段 DA 的长为单位长，射线 DA 为 x 轴的正半轴建立
13、空间直角坐标系 Dxyz.（I）依题意有 Q（1，1，0） ，C （0，0，1） ，P （0，2，0）.则 (,)(,)(,)所以 .P即 PQDQ，PQDC.故 PQ平面 DCQ.又 PQ 平面 PQC，所以平面 PQC平面 DCQ. 6 分（II）依题意有 B（1，0，1） ， (1,0)(1,2).CBP设 是平面 PBC 的法向量，则(,)nxyz 0,.,nxyz即因此可取 0,12.设 m 是平面 PBQ 的法向量，则 0,.mBPQ可取 15(1,).cos,.n所 以8 / 11故二面角 QBPC 的余弦值为 12 分15.19解：（I）X 可能的取值为 0，1，2，3，4，且
14、4813482483148(),7,5(),5().70PCXPC即 X 的分布列为4 分X 的数学期望为6 分18181()02342.735570E（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： 22222(49046)40,813)(1)(1)057.xS 甲甲8 分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： 2222221(490314803401),87)6()1(56.xS乙乙10 分由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.20解：（I）因为 C1，C 2 的离心率相同，故依题意可设9 / 11
15、2214:,:1,(0)xybyxCabaa设直线 ，分别与 C1，C 2 的方程联立，求得:(|)lt4 分22(,.bAtBtba当 表示 A，B 的纵坐标，可知13,Aey时 分 别 用6 分2|:| .4BAbBCDa（II）t=0 时的 l 不符合题意. 时，BO/AN 当且仅当 BO 的斜率 kBO 与 AN 的斜0t率 kAN相等，即22,battba解得221.et因为2|,0,1,1.taee又 所 以 解 得所以当 时，不存在直线 l，使得 BO/AN；2e当 时，存在直线 l 使得 BO/AN. 12 分121解：（I） ()(0,)fx的 定 义 域 为 1(21)(2
16、().xafxa（i）若 单调增加., 0,)af则 所 以 在（ii）若 ()xa则 由 得且当 11(0,().xffxa 时 当 时所以 单调增加，在 单调减少. 4 分)f在 (（II）设函数 则(),gxffxa10 / 1132()ln1)l(),.1gxaxax 当 .0,()0,(),()0xgxgxa时 而 所 以故当 ， 8 分1时 .ffa（III）由（ I）可得，当 的图像与 x 轴至多有一个交点，,()y时 函 数故 ，从而 的最大值为0a()fx1,0.ff且不妨设 121212,0ABxxa则由（II）得 1()()(.fxffaa从而 12210, .xx于 是
17、由（I）知， 12 分0().f22解：（I）因为 EC=ED，所以EDC= ECD.因为 A，B，C，D 四点在同一圆上，所以EDC= EBA.故ECD=EBA，所以 CD/AB. 5 分（II）由（I）知，AE=BE，因为 EF=FG，故EFD= EGC从而FED= GEC.连结 AF，BG ，则 EFAEGB，故FAE= GBE，又 CD/AB，EDC=ECD，所以FAB=GBA.所以AFG+ GBA=180.故 A，B，G，F 四点共圆 10 分23解：（I）C 1 是圆，C 2 是椭圆.当 时，射线 l 与 C1，C 2 交点的直角坐标分别为（1，0） ， （a，0） ，因为这两0点间的距离为 2，所以 a=3.当 时，射线 l 与 C1，C 2 交点的直角坐标分别为（0，1） ， （0，b） ，因为这两点重合，所以 b=1.（II）C 1，C 2 的普通方程分别为221.9xxyy和当 时，射线 l 与 C1 交点 A1 的横坐标为 ，与 C2 交点 B1 的横坐标为4
