1、 2014 高考数学（大纲文）一 、 选 择 题 ：1. 设集合 ，集合 ，则 中元素的个数为（ ）8,6421M7,6532,1NMNA. 2 B. 3 C. 5 D. 72. 已知角 的终边经过点 ，则 （ ）),(cosA. B. C. D.54553543. 不等式组 的解集为（ ） (2)0,|1xA. B. C. D.|01|x10|x1|x4. 已知正四面体 中， 是 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）ABCDEABCEBDA. B. C. D.6163335. 函数 （ ）的反函数是 （ ）)ln(3xy1A. （ ） B. （ ） 1e 3)1(xeyC. （ R
2、） D. （ R） 3)(xyx6. 已知 a、 b为单位向量，其夹角为 60，则 （ ）(2)abA.1 B.0 C.1 D.27. 有 6名男医生、5 名女医生，从中选出 2名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A.60种 B.70 种 C.75 种 D.150 种8. 设等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）nanS32154S6A.31 B.32 C.63 D.649. 已知椭圆 ： （ ）的左、右焦点为 、 ，离心率为 ，过 的直线 交 于C21xyab0ba1F232FlC、 两点.若 的周长为 ，则 的方程为 （ ）ABBAF134CA. B. C
3、. D.23yx12yx182yx214xy10. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为（ ）2A. B. C. D.4811627411. 双曲线 ： （ ， ）的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为 ，则 的焦距等C2xyab0ab 3C于（ ）A.2 B. C.4 D.2 2412. 奇函数 的定义域为 R，若 为偶函数，且 ，则 （ ）()fx()fx1)(f )9(8fA.2 B. 1 C.0 D.1二 、 填 空 题13. 的展开式中 的系数为 .（用数字作答）6)2(x3x14. 函数 最大值为 .ysinco15. 设 、 满足约束条
4、件 ， 则 的最大值为 .x0,231.xyyxz416. 直线 和 是圆 的两条切线，若 与 的交点为 ，则 与 的夹角的正切值等于 .1l22yx1l2)3,1(1l2三 、 解 答 题 17.（本小题满分 10分）数列 满足 ， ， .na12a212nna（）设 ，证明 是等差数列；nbb（）求 的通项公式.na18.（本小题满分 12分）2014 高考数学【全国大纲卷文】试题及答案3 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 ， ，求 .ABCCabc3os2csaCA1tan3B19.（本小题满分 12分）如图，三棱柱 ，点 在平面 内的射影 在 上， ， ，1ABC1ABCD
5、AC90B1C.12（）证明： ；1（）设直线 与平面 的距离为 ，A1BC3求二面角 的大小.120.（本小题满分 12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁 4人需使用某种设备的概率分别为 0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备互相独立.（）求同一工作日至少 3人需使用设备的概率；（）实验室集合购买 台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于 ”k k的概率小于 0.1，求 的最小值.21.（本小题满分 12分）函数 （ ）.32()fxax0a（）讨论 的单调性；（）若 在区间 是增函数，求 的取值范围.()fx(1,2)ABCDA1B1C1422.（本小题满
6、分 12分）已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，直线 与 轴的交点为 ，与 的交点为 ，C2ypx0F4xyPCQ且 .54QFP（）求 的方程；（）过 的直线 与 相交于 、 两点，若 的垂直平分线 与 相交于 、 两点，且 、lCABlCMNA、 、 四点在同一圆上，求 的方程.MBNl参考答案一、选择题：1B 2D 3C 4B 5D 6B 7C 8C 9A 10A 11C 12D二、填空题13 14 155 1616032 43三、解答题：17本题主要考等差数列的证明，通项公式、数列求和，考查运算求解能力满分 10 分解：（）由 ， ，即 ，又 ，212nnaa12nna12nb121ba
7、所以 是首项为 1，公差为 2 的等差数列 5 分b（）由（1）得 ，即 ，()1nn12na于是 11(2nkka所以 ，即 ，又 所以 的通项公式 10 分1n1naan2na18本题主要考查正弦定理，三角函数的基本关系式、两角和三角公式，考查运算求解能力满分 12 分解：由题设和正弦定理得： ，故 ，3sinco2sincoACA3tancos2inC因为 ，所以 ， ， 6 分1tanA1ta所以 10 分ttatt80()tn()1nBB即 12 分135【考点】正弦定理同角基本关系(B)，两角差的正切公式 (C)，逻辑分析、运算解题能力2014 高考数学【全国大纲卷文】试题及答案5
8、19本题主要考查空间几何体的结构特征，空间垂直关系的证明以及二面角的求解，直线和平面的距离的转化等，考查空间想象能力和逻辑推理能力，满分 12 分解法一：（）因为 平面 ， 平面 ，故平面 平面 1ADBCA1C1A1BC又 ，所以 平面 3 分连结 ，因为侧面 为菱形，故 ，111由三垂线定理得 5 分BAC（） 平面 ， 平面 ，故平面 平面 B11CCA11B作 ， 为垂足，则 平面 1EAE1B又直线 平面 ，因而 为直线 与平面 的距离， /1BA1131EA因为 为 的平分线，故 8 分C131D作 ， 为垂足，连结 ，由三垂线定理得 ADFFBFA1故 为二面角 的平面角1 CB
9、1由 得 为 中点，2DA， 52ABDF 15tan1F所以二面角 的大小为 12 分C1rct解法二：以 为坐标原点，射线 为 轴的正半轴，以 的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系CAxCB，由题设知 与 轴平行， 轴在平面 内xyzD1zA1（）设 ，由题设有 ， ， ，则caA,012a0,， ， ,2B,Cca,21， 2 分c411BA,由 得 ，即 |A22a0422c于是 ，所以 5 分01cBCBC1A BCD FEA1B1C1ABCDA1B1C1yxz6（）设平面 的法向量 ，则 ， ，即 ， 1BCzyxm,CB1m0CB01m因 ， ，故 ，且 0,caA021y
10、2czxa令 ，则 ， ，点 到平面 的距离为cxz2,A1cacmCCA 22|,os|又依题设， 到平面 的距离为 ，所以 1B33代入 解得 （舍去）或 8 分3aa于是 ,01A设平面 的法向量 ，则 ， ，即 ， Brqpn,1AnB01AnBn，且 ，令 ，则 ， ， 3rp02332qr,32又 为平面 的法向量，故1,0AC4|,cospn所以二面角 的大小为 12 分B1 41arcos20考查独立事件、互斥事件的概率，以及分类讨论思想，逻辑推理能力，满分 12 分解：记 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有 人需要使用设备， iAi 0,12i表示事件：甲需使用设备，B表示事件
11、：丁需使用设备，C表示事件：同一工作日至少 3 人需使用设备，D表示事件：同一工作日 4 人需使用设备，E表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于 F k（） ，122ABCABC， ， ， ， 3 分0.6P0.420.5iiP,1i所以 122DABCABC2014 高考数学【全国大纲卷文】试题及答案7 6 分1220.31PABCPABPC（II）由（I）知，若 ，则 2k0.31F又 ， 2EC220.6EA 若 ，则 3k0.6.1P所以 的最小值为 3 12 分21本题主要考查二次函数的基本性质、导数的应用等基本知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力满分 12 分解：（
12、） 的判别式2()36,fxax()0f36(1)a（）若 则 且 当且仅当 故此时 在 上是增函数1,()f ,.x()fxR（）由于 ，故当 时， 有两个根：01()fx12,aaxx若 则当 或 时 故 分别在 是增函数；0,a2(,)1(,)x(0,fx()fx2(,)x1(,)当 时 故 在 是减函数；21()x0fxf2若 则当 或 时 故 分别在 是减函数；,1(,)(,)x(,fx()fx1(,)x2(,)当 时 故 在 是增函数12()xfxf12（2）当 时， 故当 时， 在区间 是增函数0,a()360,axa()fx(,)当 时， 在区间 是增函数当且仅当 解得()fx
13、,2()20f且 ， 504a综上， 的取值范围是 50)(,).422本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力满分 12 分解：（）设 ，代入 得 0(,4)Qx2ypx08所以 ， 8PppF8由题设得 解得 或 8524p2p所以 的方程为 C2yx（2）依题意知 与坐标轴不垂直，故可设 的方程为 （ ） l l1xmy0代入 得 24yx240my设 ， ，则 ， 1(,)A2(,)B12124y故 的中点为 ,D21()ABm又 的斜率为 ，所以 的方程为 lml 23xy将上式代入 ，并整理得 24yx24()0设 ， ，则 ， 3(,)M(,)N34ym234()y故 的中点为 2,)Em224321(1y由于 垂直平分 ，故 、 、 、 四点在同一圆上等价于 ，MNABMBN12AEBMN从而 ，即 2221144DEN222224()()4(1)()()mm化简得 ，解得 或 0m所求直线 的方程为： 或 l0xy0xy
