1、2014 年高考数学（大纲）（理）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设 ，则 的共轭复数为（ ）iz310zA B C Di31ii312.设集合 ，则 （ ）50|,4|2 xNxMNMA B C D4,0,3.设 ， ， ，则（ ）3sina5cosb3tanA B C Dbcbac4.若向量 ， 满足： ， ， ，则 （ ）1a2A B C D225.有 名男医生、 名女医生，从中选出 名男医生、 名女医生组成一个医疗小组，则不6521同的选法共有（ ）A 种 B 种 C 种 D 种 07506.已
2、知椭圆 C： 的左、右焦点为 、 ，离心率为 ，过 的)(12bayx 1F232F直线 交 C 于 A、B 两点，若 的周长为 ，则椭圆 的方程为（ ）l BF134CA B C D123yx32yx182yx142yx7.曲线 在点 处切线的斜率等于（ ）xe,A B C D218正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 ，底面边长为 ，则该球的表面积42为（ ）A B C D41692729.已知双曲线 的离心率为 ，焦点为 、 ，点 在 上，若 ，则C21F2ACAF21（ ）12cosFAA B C D4342310.等比数列 中， ，则数列 的前 项和等于（ ）na5,anal
3、g8A B C D6511.已知二面角 为 ， ， ， 为垂足， ， ，l60ABlACDl，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）13DA B C D42432112.函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则 的)(xfy)(xgy0yx)(xfy反函数是（ ）A B C D )(g)()()(g第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中 的系数为_.8xy2yx14.设 、 满足约束条件 ，则 的最大值为_.y1230yxyxz415直线 和 是圆 的两条切线，若 与 的交点为 ，则 与 的夹角1l21l23,11l2的正切值等
4、于_.16.若函数 在区间 是减函数，则 的取值范围是_.xaxfsinco)(2,6a三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 10 分）2014 年高考数学（大纲）【理】 试题及答案3A1B2AC BC1D的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 ，ABCCabcAcCaos2s3，求 .31tan18. （本小题满分 12 分）等差数列 的前 项和为 ，已知 ， 为整数，且 .nnS10a24Sn（1）求 的通项公式；a（2）设 ，求数列 的前 项和 .1nbnbnT19. （本小题满分 12 分）如图，三棱柱 中
5、，点 在平面 ABC 内的射影 在 上， ，1CBA1DA90.2,11BC（1）证明： ；（2）设直线 与平面 的距离为 ，求1A1BC3二面角 的大小.20. （本小题满分 12 分）设每个工作日甲、乙、丙、丁 人需使用某种设备的概率分别为 ，各人需使用4 4.0,56.设备是相互独立的.（1）求同一工作日至少 人需使用设备的概率；3（2） 表示同一工作日需使用设备的人数，求 的数学期望.XX21. （本小题满分 12 分）已知抛物线 ： 的焦点为 ，直线 与 轴的交点为 ，与抛物线C)0(2pxyF4yP的交点为 ，且 .QPF45（1）求抛物线 的方程；4（2）过 的直线 与 相交于
6、、 两点，若 的垂直平分线 与 相较于 、FlCABlCM两点，且 、 、 、 四点在同一圆上，求 的方程.NAMNl22. （本小题满分 12 分）函数 .)1()1ln()axxf（1）讨论 的单调性；（2）设 ，证明： .)l(,11nna 232na参考答案一、选择题：1D 2B 3C 4B 5C 6A 7C 8A9A 10C 11B 12D二、填空题13.70 145 15 16 432,三、解答题：17本题主要考等差数列的证明，通项公式、数列求和，考查运算求解能力满分 10 分解：（）由 ， ，即 ，又212nnaa12nna12nb，1b所以 是首项为 1，公差为 2 的等差数列
7、 n5 分（）由（1）得 ，即 ，()1nbn12na于是 11(2nkka所以 ，即 ，又 所以 的通项公1n1naan式 10 分2na18本题主要考查正弦定理，三角函数的基本关系式、两角和三角公式，考查运算求解能力满分 12 分2014 年高考数学（大纲）【理】 试题及答案5解：由题设和正弦定理得： ，故 ，3sinco2sincoACA3tancos2inC因为 ，所以 ， ， 1tanA1ta6 分所以 tntatat180()tan()1ABCBC10 分即 3512 分【考点】正弦定理同角基本关系，两角差的正切公式，逻辑分析、运算解题能力19本题主要考查空间几何体的结构特征，空间
8、垂直关系的证明以及二面角的求解，直线和平面的距离的转化等，考查空间想象能力和逻辑推理能力，满分 12 分解法一：（）因为 平面 ， 平面 ，故平面 平面 1ADBC1AD1C1ACAB又 ，所以 平面 3 分B连结 ，因为侧面 为菱形，故 ，111由三垂线定理得 5 分ACB（） 平面 ， 平面 ，故平面 平面 B11C1AC1B作 ， 为垂足，则 平面 1EE1B又直线 平面 ，因而 为直线 与平面 的距离， A1B1A113AE因为 为 的平分线，故 8 分1C3D作 ， 为垂足，连结 ，由三垂线定理得 DF1F1AFB故 为二面角 的平面角1A1ABC由 得 为 中点，2D， 5CDFA
9、B11tan5AF所以二面角 的大小为 12 分1rct解法二：以 为坐标原点，射线 为 轴的正半轴，以 的长为单位长，建立如图所示的CCxCB空间直角坐标系ABCDFEA1B1C16，由题设知 与 轴平行， 轴在平面 内Cxyz1ADzx1AC（）设 ，由题设有 ， ， ，则1,0Aac2a,0,0B， ， 2,B,0C12,ac， 2 分114,ac,A由 得 ，即 |2A22240ac于是 ，所以 5 分140CBac1CB（）设平面 的法向量 ，则 ， ，即 ，1,xyzm1m0CB10m因 ， ，故 ，且 ,CB12,0Aac0y20axcz令 ，则 ， ，点 到平面 的距离为xc2
10、z,mA1BC22|os,CcAa又依题设， 到平面 的距离为 ，所以 1B33c代入 解得 （舍去）或 8 分3ca于是 1,0A设平面 的法向量 ，则 ， ，即 ， Bpqrn,1AnB10AnB，且 ，令 ，则 ， ， 30pr20323qr32,又 为平面 的法向量，故,1ACcos,|4np所以二面角 的大小为 12 分1B1arcos420考查独立事件、互斥事件的概率，以及分类讨论思想，逻辑推理能力，满分 12 分解：记 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有 人需要使用设备， iAi 0,12i表示事件：甲需使用设备，B表示事件：丁需使用设备，CABCDA1B1C1yxz2014 年高
11、考数学（大纲）【理】 试题及答案7表示事件：同一工作日至少 3 人需使用设备，D表示事件：同一工作日 4 人需使用设备，E表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于 F k（） ，122ABCABC， ， ， ， 3 分0.6P0.420.5iiP,1i所以 122DABCABC 6 分1220.31PPP（II）由（I）知，若 ，则 2k0.31F又 ， 2EBCA220.6EBCACA 若 ，则 3k0.6.1P所以 的最小值为 3 12 分21本题主要考查二次函数的基本性质、导数的应用等基本知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力满分 12 分解：（） 的判别式2()36,fxa
12、x()0f36(1)a（）若 1, 则 且 当且仅当 故此时 在 上是增函(),ff ,.x()fxR数（）由于 ，故当 时， 有两个根：0a1a()0fx12,xx若 则当 或 时 故 分别在 是0,a(,)1(,)x(0,fx()fx2(,)x1(,)增函数；当 时 故 在 是减函数；21(,)x(0,fx()fx21,)若 则当 或 时 故 分别在 是减函0,a1,(0,fx()fx1(,)x2(,)数；当 时 故 在 是增函数12(,)x(0,fx()fx12,)8（2）当 时， 故当 时， 在区间 是增函数0,ax2()360,fxaxa()fx(1,2)当 时， 在区间 是增函数当
13、且仅当 解得f1, (1)20 f且504 a综上， 的取值范围是a5,0)(,).422本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力满分 12 分解：（）设 ，代入 得 0(,4)Qx2ypx08所以 ， 8PppF由题设得 解得 或 5242p所以 的方程为 C2yx（2）依题意知 与坐标轴不垂直，故可设 的方程为 （ ） l l1xmy0代入 得 24yx240my设 ， ，则 ， 1(,)A2(,)B12124y故 的中点为 ,D21()ABmm又 的斜率为 ，所以 的方程为 lml 23xy将上式代入 ，并整理得 24yx24()0y设 ， ，则 ， (,)3Mx(,)N34m234(3)y故 的中点为 2,)Em224321(1y由于 垂直平分 ，故 、 、 、 四点在同一圆上等价于MNABMBN，12AEB从而 ，即2244DEN22222(1)()(1)()()mm化简得 ，解得 或 202014 年高考数学（大纲）【理】 试题及答案9所求直线 的方程为： 或 l10xy10xy
