1、第 1 页（共 25 页）全国高考近四年圆锥曲线题目一选择题（共 14 小题）1已知双曲线 C： （a0，b 0）的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为（ ）Ay= By= Cy=x Dy=2已知椭圆 E： 的右焦点为 F（3，0） ，过点 F 的直线交椭圆 E 于 A、B 两点若 AB 的中点坐标为（1，1） ，则 E 的方程为（ ）A BC D3设椭圆 C： =1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，P 是 C 上的点 PF2 F1F2，PF 1F2=30，则 C 的离心率为（ ）A B C D4设抛物线 C：y 2=4x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与 C 交于 A，B 两点若
2、|AF|=3|BF|，则 l 的方程为（ ）Ay=x1 或 y=x+1 By= （x1）或 y= （x1）C y= （x1）或 y= （x1） Dy= （x1）或 y= （x1）5椭圆 C： 的左、右顶点分别为 A1、A 2，点 P 在 C 上且直线 PA2 斜率的取值范围是2，1，那么直线 PA1 斜率的取值范围是（ ）A B C D第 2 页（共 25 页）6已知抛物线 C：y 2=8x 的焦点为 F，点 M（ 2，2） ，过点 F 且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点，若 ，则 k=（ ）A B C D27已知 F1（1，0） ，F 2（ 1，0）是椭圆 C 的两个焦点，过 F
3、2 且垂直于 x 轴的直线交椭圆于 A、B 两点，且|AB|=3，则 C 的方程为（ ）A B C D8设 F 为抛物线 C：y 2=3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交于 C 于 A，B两点，则|AB|=（ ）A B6 C12 D79已知椭圆 C： + =1（ab0）的左、右焦点为 F1、F 2，离心率为 ，过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若AF 1B 的周长为 4 ，则 C 的方程为（ ）A + =1 B +y2=1C + =1 D + =110已知双曲线 C 的离心率为 2，焦点为 F1、F 2，点 A 在 C 上，若|F1A|=2|F2A|，则 cosAF 2
4、F1=（ ）A B C D11双曲线 C： =1（a0，b 0）的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为，则 C 的焦距等于（ ）A2 B2 C4 D412设 F 为抛物线 C：y 2=4x 的焦点，曲线 y= （k0）与 C 交于点 P，PFx轴，则 k=（ ）A B1 C D2第 3 页（共 25 页）13已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C： + =1（ ab0）的左焦点，A，B分别为 C 的左，右顶点P 为 C 上一点，且 PFx 轴，过点 A 的直线 l 与线段PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为（ ）A B C D14已知椭圆 E
5、 的中心在坐标原点，离心率为 ，E 的右焦点与抛物线 C：y 2=8x的焦点重合，A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|=（ ）A3 B6 C9 D12二填空题（共 2 小题）15已知 g（x ）= +x2+2a1nx 在1，2上是减函数，则实数 a 的取值范围为 16已知 F 是双曲线 C： x2 =1 的右焦点，P 是 C 的左支上一点，A（0 ，6 ） 当APF 周长最小时，该三角形的面积为 三解答题（共 5 小题）17已知抛物线 C：y 2=2x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1，l 2 分别交 C于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点（）若 F 在
6、线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明 ARFQ；（）若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程18设圆 x2+y2+2x15=0 的圆心为 A，直线 l 过点 B（1，0）且与 x 轴不重合，l交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E（）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程；（）设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围19在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：y= 与直线 l：y=kx+a（a 0）交
7、于 M，N第 4 页（共 25 页）两点（）当 k=0 时，分別求 C 在点 M 和 N 处的切线方程（）y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPM=OPN？（说明理由）20已知点 A（0，2 ） ，椭圆 E： + =1（ab0）的离心率为 ，F 是椭圆的焦点，直线 AF 的斜率为 ，O 为坐标原点（）求 E 的方程；（）设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当 OPQ 的面积最大时，求 l的方程21已知抛物线 C：y 2=2px（p0）的焦点为 F，直线 y=4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且|QF|= |PQ|（）求 C 的方程；（）过 F 的
8、直线 l 与 C 相交于 A、B 两点，若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于M、N 两点，且 A、M、B、N 四点在同一圆上，求 l 的方程第 5 页（共 25 页）全国高考近四年圆锥曲线题目参考答案与试题解析一选择题（共 14 小题）1 （2013新课标）已知双曲线 C： （a0，b 0）的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为（ ）Ay= By= Cy=x Dy=【分析】由离心率和 abc 的关系可得 b2=4a2，而渐近线方程为 y= x，代入可得答案【解答】解：由双曲线 C： （a0，b 0） ，则离心率 e= = = ，即 4b2=a2，故渐近线方程为 y= x= x，故选：D【点评
9、】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题2 （2013新课标）已知椭圆 E： 的右焦点为 F（3，0） ，过点 F 的直线交椭圆 E 于 A、B 两点若 AB 的中点坐标为（1，1） ，则 E 的方程为（ ）A BC D第 6 页（共 25 页）【分析】设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，代入椭圆方程得 ，利用“点差法”可得 利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y 1+y2=2，利用斜率计算公式可得 = = 于是得到，化为 a2=2b2，再利用 c=3= ，即可解得 a2，b 2进而得到椭圆的方程【解答】解：设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，代入
10、椭圆方程得 ，相减得 ， x 1+x2=2，y 1+y2=2， = = ，化为 a2=2b2，又 c=3= ，解得 a2=18，b 2=9椭圆 E 的方程为 故选 D【点评】熟练掌握“ 点差法” 和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键第 7 页（共 25 页）3 （2013新课标）设椭圆 C： =1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F 2，P 是 C 上的点 PF2F 1F2，PF 1F2=30，则 C 的离心率为（ ）A B C D【分析】设|PF 2|=x，在直角三角形 PF1F2 中，依题意可求得|PF 1|与|F 1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案【解答】解：|PF 2|=
11、x，PF 2F 1F2，PF 1F2=30，|PF 1|=2x，|F 1F2|= x，又|PF 1|+|PF2|=2a，|F 1F2|=2c2a=3x，2c= x，C 的离心率为：e= = 故选 D【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PF 1|与|PF 2|及|F 1F2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题4 （2013新课标）设抛物线 C：y 2=4x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与 C 交于A，B 两点若|AF|=3|BF |，则 l 的方程为（ ）Ay=x1 或 y=x+1 By= （x1）或 y= （x1）C y= （x1）或 y= （x1） Dy= （x1）或 y= （x
12、1）【分析】根据题意，可得抛物线焦点为 F（1 ，0） ，由此设直线 l 方程为y=k（x1 ） ，与抛物线方程联解消去 x，得 yk=0再设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由根与系数的关系和 |AF|=3|BF|，建立关于 y1、y 2 和 k 的方程组，解之可得 k 值，从而得到直线 l 的方程【解答】解：抛物线 C 方程为 y2=4x，可得它的焦点为 F（1，0） ，设直线 l 方程为 y=k（x 1）由 消去 x，得 yk=0第 8 页（共 25 页）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，可得 y1+y2= ，y 1y2=4（ *）|AF|=3|BF|，
13、y 1+3y2=0，可得 y1=3y2，代入（* ）得 2y2= 且3y 22=4，消去 y2 得 k2=3，解之得 k=直线 l 方程为 y= （x1）或 y= （x1）故选：C【点评】本题给出抛物线的焦点弦 AB 被焦点 F 分成 1：3 的两部分，求直线 AB的方程，着重考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题5 （2013大纲版）椭圆 C： 的左、右顶点分别为 A1、A 2，点 P 在 C上且直线 PA2 斜率的取值范围是 2，1，那么直线 PA1 斜率的取值范围是（ ）A B C D【分析】由椭圆 C： 可知其左顶点 A1（2，0） ，右顶点A
14、2（ 2，0 ） 设 P（x 0，y 0） （x 02） ，代入椭圆方程可得 利用斜率计算公式可得 ，再利用已知给出的 的范围即可解出第 9 页（共 25 页）【解答】解：由椭圆 C： 可知其左顶点 A1（2，0） ，右顶点A2（ 2，0 ） 设 P（ x0，y 0） （x 02） ，则 ，得 = ， = ， = = ， ， ，解得 故选 B【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键6 （2013大纲版）已知抛物线 C：y 2=8x 的焦点为 F，点 M（2，2） ，过点 F 且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点，若 ，则 k=（ ）A B C
15、 D2【分析】斜率 k 存在，设直线 AB 为 y=k（x 2） ，代入抛物线方程，利用=（x 1+2，y 12） （x 2+2，y 22）=0，即可求出 k 的值【解答】解：由抛物线 C：y 2=8x 得焦点（2，0 ） ，由题意可知：斜率 k 存在，设直线 AB 为 y=k（x 2） ，代入抛物线方程，得到 k2x2（4k 2+8）x+4k 2=0，0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） x 1+x2=4+ ，x 1x2=4第 10 页（共 25 页）y 1+y2= ， y1y2=16，又 =0， =（ x1+2，y 12）（x 2+2，y 22）= =0k=2故选：D【点评
16、】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题7 （2013大纲版）已知 F1（ 1，0） ，F 2（1，0）是椭圆 C 的两个焦点，过 F2 且垂直于 x 轴的直线交椭圆于 A、B 两点，且|AB|=3，则 C 的方程为（ ）A B C D【分析】设椭圆的方程为 ，根据题意可得 =1再由 AB 经过右焦点 F2 且垂直于 x 轴且 |AB|=3 算出 A、B 的坐标，代入椭圆方程得，两式联解即可算出 a2=4，b 2=3，从而得到椭圆 C 的方程【解答】解：设椭圆的方程为 ，可得 c= =1，所以 a2b2=1AB 经过右焦点 F2 且垂直于 x 轴，且|AB|=3可得 A（1， ） ，B（1， ） ，代入椭圆方程得 ，联解，可得 a2=4，b 2=3椭圆 C 的方程为 故选：C
