1、分式函数 的值域2211cxbay函数值域是函数三要素之一，求函数值域无定法，且方法灵活，是中学数学的一个难点。今天我们主要讨论分式函数 的值域求法。2211cxbay一、若 同时为零，则函数 就变为形如 （21a， 2211 21cxby不同时为零）的函数，可以用分离常数法或求反函数法来求函数的值域。2b，例 求函数 的值域 31xy解法：（分离常数法）利用恒等变形可化为： 372)(2x所以，该函数的值域为 ：)， y解法：（求反函数法）函数 的反函数为 所以 原函数值域为 （即反函数312xy12x2y定义域为原函数值域） 。二、若 不同时为零，但分子与分母有公因式子，可先约分再求值域。
2、如果不约21a，分，直接采用下面三的方法，将加大运算量（如例 6） 。例 求函数 的值域2312xy解：可先将函数变为 。)2(1)(xf约分后函数变为 。21xg所以 0)(x约分后函数 的定义域扩大了（严格来说 与原函数 不是同一个函数，但()gx)(xf在不引起混淆的情况下也可直接约分） ， 在处所对应的函数值 ，也是 不能1)(xf取到的值，所以函数 的值域是 。2312xy ）（ ， ）（ ），（ ,-例求函数 的值域65解：函数可变形为 ，所以该函数的值域是 。32)(xxy 1y三、若 不同时为零，分子与分母没有公因式子，可以通过判别式法、分离常数21a，法、基本不等式法求函数的
3、值域。例 函数 的值域 21xy解法 1：(判别式法)将 转化为关于 的一元二次方程（ 看作参数）：2xyxy2(1)()0y(这是一个必有解的方程。讨论使上方程有解的参数 的范围，恰为函数y的值域）21xy若 ，则 矛盾0由 ，这时由 解得 ； 时， 。y113y且 3y12x综上所述知原函数的值域为 ,)解法 2：(分离常数法) 1xy21x23()4x设 ，则 的值域是23()4gx)g,所以，原函数值域为 。1,例 5：函数 的值域 2xy解：（基本不等式法）因为 21xy1x当 时， ， ， 当且仅当 时等号成立；1x00当 时， ， ， 当且仅当 时等号成立。1x2y2x所以函数的
4、值域为 。(,2,)例 6：求函数 的值域21xy解：因为分子与分母有公因子，约分后可用上面二介绍的方法来求值域，如果不约分，也可直接用判别式法来求。将 转化为关于 的一元二次方程；2xx2(1)0yxy当 时， 不在函数定义域内；0当 时，y2()4(1)0yy即 ，当 时， ，此时 不在函数定义域内。2(31)313x所以函数值域内 (,)(,)y对于形如 （ ）的二次分式函数的求值域问题，只要函2axbcdef20ad数 （ ）的定义域没有额外限制条件，就能够用判别式法求2yxf2解，但不能用其在指定的区间上求二次函数的值域。同时要注意：1、把分式函数转化为关于 的一元二次方程后，要对二次项系数进行讨论。2、要对 时 的值代回方程检验。0y
