1、第 1 页 共 23 页高中数学：求函数值域的十三种方法1、观察法（ ）2、配方法（）3、分离常数法（）4、反函数法（）5、判别式法（）6、换元法（）7、函数有界性8、函数单调性法（）9、图像法（数型结合法）（）10、基本不等式法11、利用向量不等式 12、一一映射法13、 多种方法综合运用一、观察法：从自变量 的范围出发，推出 的取值范围。x()yfx【例 1】求函数 的值域。1y【解析】 ， ， 函数 的值域为 。0xx1yx,)【例 2】求函数y的值域。【解析】 0x 1显然函数的值域是： ),0(),(【例 3】已知函数 ， ，求函数的值域。2y2,10x【解析】因为 ，而 ， ， 所
2、以：,13ff2f1f3,01y注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为 ，则函数的值域为 。Rx|二 配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如 的函数2()()Fafxbfc的值域问题，均可使用配方法。【例 1】 求函数 的值域。25,1,2yx【解析】将函数配方得： 由二次函数的性质可知：当 x=1 -1,2时， ，当 时， 故函数的值域是：4，8【变式】已知 ，求函数 的最值。第 2 页 共 23 页【解析】由已知 ，可得 ，即函数 是定义在区间 上的二次函数。将二次函数配方得 ，其对称轴方程 ，顶点坐标 ，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间 内，如图
3、2 所示。函数 的最小值为 ，最大值为 。图 2【例 2】 若函数 时的最小值为 ，（1 ）求函数2(),1fxxt当 ()gt()gt（2）当 -3,-2时，求 g(t)的最值。（说明：二次函数在闭区间上的值域二点二分法，三点三分法）t【解析】(1)函数 ，其对称轴方程为 ，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。图 1图 2 图 3如图 1 所示，若顶点横坐标在区间 左侧时，有 ，此时，当 时，函数取得最小值。如图 2 所示，若顶点横坐标在区间 上时，有 ，即 。当 时，函数取得最小值 。如图 3 所示，若顶点横坐标在区间 右侧时，有 ，即 。当 时，函数取得最小值综上讨论，g(t)= 01,
4、)()(22mintttxf(2) 时， 为减函数221(0)()tgtt(,t2()1gt在 上， 也为减函数3,2()t第 3 页 共 23 页， min()(2)5gtmax()(3)10gt【例 3】 已知 ，当 时，求 的最大值2()fx1xR， f【解析】由已知可求对称轴为 （1）当 时， t2 2min max()()3()()fxffft，（2）当 ，即 时，1t 01 根据对称性 若 即 时， ，2t 2max()()3fftt若 即 时， 12tt 2max()(1)fft（3）当 即 时， t0ta3综上， 21,3,)(2maxttf观察前两题的解法，为什么最值有时候分
5、两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当 时 )(21)()( 21max 如 图如 图， ， nma
6、bnff )(2)()(2)( 543min如 图 如 图如 图， ， abfnabfxf第 4 页 共 23 页当 时 )(2)()()()( 876max如 图 如 图如 图， ， abfnnff fxfmbann()()()i， 如 图如 图21910【例 4】 (1) 求 在区间-1,2上的最大值。2f(x)ax1(2) 求函数 在 上的最大值。)(y1,【解析】(1)二次函数的对称轴方程为 ，当 即 时， ；1a2maxf()f(2)45当 即 时， 。 综上所述： 。maxf()f(1)amax12,af()45,(2)函数 图象的对称轴方程为 ，应分 ， ， 即 ，4)2(axy
7、2x12122a和 这三种情形讨论，下列三图分别为a（1） ；由图可知 max()(1)ff（2） ；由图可知22（3） 时；由图可知amax()()ff第 5 页 共 23 页；即2,)1(,)(affy最 大 2,14,)(2ay最 大【例 5】 已知二次函数 在区间 上的最大值为 3，求实数 a 的值。2f(x)a()x3,【分析】这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分 与 两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。a0若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。具体解法为：（1）令 ，得2a1f()31a2此时抛物线开口向下
8、，对称轴方程为 ，且 ，故 不合题意；x32,12（2）令 ，得f()31a2此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故 符合题意；1a2（3）若 ，得f()23此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故 符合题意。3综上， 或1a解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。【变式】 已知函数 在区间 上的最大值为 4，求实数 a 的值。2()1fxax3,2【解析】
9、 1,f（1）若 ，不符合题意。0,(),a（2）若 则max(2)81ff由 ，得843（3）若 时，则0aax()()ffa由 ，得1综上知 或83【例 6】 已知函数 在区间 上的最小值是 3 最大值是 3 ，求 ， 的值。2()xf,mnmnm【解法 1】讨论对称轴 中 1 与 的位置关系。,第 6 页 共 23 页若 ，则 maxin()()3ff解得若 ，则 ，无解12mnaxmin()(1)3ff若 ，则 ，无解axin()()ff若 ，则 ，无解maxin3ff综上， 4,0【解法 2】由 ，知 ，则 ，21()()fx1,26n,(,1mn又在 上当 增大时 也增大所以 解得
10、,nxf axin()()3ff4,0n评注：解法 2 利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了 ， 的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。【例 7】 求函数 的值域.35yxx【解法 1】22 )4(12)(2x显然 4,)(12xy故函数的值域是： 2,y【解法 2】显然 3x5, , 2 2sin(0,)5cosxx5(co)si,4yx三、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法（分母少，分子多），通过该方法可将原函数转化为为 ( 常数)的形式此类问题一般也可以利用反函数法。xfky为【例 1】 求函数 的值域12xy【解析】利用恒等变形，得
11、到： ，容易观察知 x-1,y1，得函数的值域为 y (-,1)(1, 1xy+)。注意到分数的分子、分母的结构特点，分离出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法易得函数值域。【例 2】 求函数 的值域。12xy第 7 页 共 23 页【解析】观察分子、分母中均含有 项，可利用部分分式法；则有x2不妨令： 从43)21(1122 xxy )0()1(,43)21() xfxgxf而 注意：在本题中应排除 ，因为 作为分母。所以 故,43)(f 0)(xf)(xf ,0)(x1,3y【变式】求下列函数的值域：(1) (2) .231xy12xy答案：（）值域 （）值域 y -1,1),(),(3
12、1四、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。【例 1】求函数 的值域。12xy【解析】由 解得 ， ， ，x1xy20x10y 函数 的值域为 。1y1x(,)y【例 2】求函数 值域。3456x【解析】由原函数式可得： 则其反函数为： ，其定义域为：故所求函数的值域为： 3(,)(,5【例 3】 求函数 的值域。1xey解答：先证明 有反函数，为此，设 且 ，x 21xR21,第 8 页 共 23 页。0)1(21212121 xxxx eey所以 为减函数，存在反函数。可以求得其反函数为： 。此函数的定义域为 ，故原函数xy1ln)
13、1,(x的值域为 。),(y【例 4】 求函数 的值域。),0,(xbabxa【解法 1】-1x1 a-ba-bxa+b 22，babxayba112 bay【解法 2】（反函数法）： ,由-1x1 得： ，)(2y 1)(21yax bay5、判别式法：把函数转化成关于 的二次方程 ；通过方程有实数根，判别式 ，从x(,)0Fy 0而求得原函数的值域，形如 （ 、 不同时为零）的函数的值域，常用此方法2112abcya2求解。（解析式中含有分式和根式。）【例 1】求函数 的值域。21xy【解析】原函数化为关于 x 的一元二次方程 ,由于 x 取一切实数，故有（1）当 时， 解得：（2）当 y
14、=1 时， ，而故函数的值域为【例 2】求函数 的值域。(2)yx【解析】两边平方整理得： （1） 解得：第 9 页 共 23 页但此时的函数的定义域由 ，得由 ，仅保证关于 x 的方程： 在实数集 R 有实根，而不能确保其实根在区间0，2上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比 y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 代入方程（1） 解得：即当 时， 原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。解法二： ，令2(2)1(x)yx2,sin1)4sin(cosin
15、14341)sin(2原函数的值域为：【例 3】 已知函数 的值域为1，3，求 的值。2()1xabf,ab【解析】2xy2 2()04(y)b0yxy。224(b)8a0由于 的值域为1，3，故上式不等式的解集为y|1y321xf第 10 页 共 23 页1213284ybaa【例 4】求函数 的值域。21xy【解法 1】先将此函数化成隐函数的形式得： ，(1)012)(2yxyx这是一个关于 的一元二次方程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方程(1)的判别式x，解得： 。0)12(4)12(yy 2121故原函数的值域为： 。,2【解法 2】当 x-1 时 1)(21xyx由于 当 x+1 0 时， ，即)1()0,21y当 x+1 0 时， ，即2)(x,0(21y考虑到 x=-1 时 y=0 故原函数的值域为： ,21【例 5】已知函数 的最大值为 4，最小值为 1 ，则 = ， = 21mxnymn【解析】 2x 204y()0y 。24y0nm 1由于 的值域为 1，4，故不等式 的解集为y|1y42()1xabf 112344ynm3n【例 6】求函数 的值域。23xy【解析】 2(1)0x
