1、广东月考联考模拟经典题分类汇编圆锥曲线（教师版）第 1 页 共 15 页广东月考联考模拟经典题分类汇编圆锥曲线（教师版）1已知椭圆 20yxCab： + 1 的离心率为 63，过右顶点 A 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点，且 (3)， . （1）求椭圆 C 和直线 l 的方程；（2）记曲线 C 在直线 l 下方的部分与线段 AB 所围成的平面区域（含边界）为 D若曲线2240xmy与 D 有公共点，试求实数 m 的最小值【答案】解:（1）由离心率 63e，得263ab，即 2ab. 2 分又点 (3)B， 在椭圆2:1yxCab+上，即21ab+. 4 分解 得 224， ，故所
2、求椭圆方程为 1yx. 5 分由 (20)(3)AB， ， ， 得直线 l 的方程为 2yx. 6 分（2）曲线 2240xmy，即圆 2()()8my，其圆心坐标为()G，半径 r，表示圆心在直线 2y上，半径为 的动圆.由于要求实数m 的最小值，由图可知，只须考虑 0的情形.设 A与直线 l 相切于点 T，则由 ，得 4m， 10 分|2m当 4时，过点 (4)G， 与直线 l 垂直的直线 l的方程为 60xy，解方程组602xy，得 ()T， . 12 分因为区域 D 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为 12， ，所以切点 TD，由图可知当 GA过点 B 时，m 取得最小值，即 2(1
3、)(3)8m，解得 min71. 14分2. 已知圆 C 与两圆 ， 外切，圆 C 的圆心轨迹方程为 L，22(4)xy22()xy广东月考联考模拟经典题分类汇编圆锥曲线（教师版）第 2 页 共 15 页设 L 上的点与点 的距离的最小值为 ，点 与点 的距离为 .(,)Mxym(0,1)F(,)Mxyn()求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程；（）求满足条件 的点 的轨迹 Q 的方程；mn（）试探究轨迹 Q 上是否存在点 ，使得过点 B 的切线与两坐标轴围成的三角1(,)Bxy形的面积等于 。若存在，请求出点 B 的坐标；若不存在，请说明理由.12【答案】 （）两圆半径都为 1，两圆心分别为 、
4、 ，由题意得1(0,4)C2(,)，可知圆心 C 的轨迹是线段 的垂直平分线， 的中点为 ，直线12C21(0,1)的斜率等于零，故圆心 C 的轨迹是线段 的垂直平分线方程为 ，即圆 C 的1 y圆心轨迹 L 的方程为 。(4 分)1y（）因为 ，所以 到直线 的距离与到点 的距离相等，故点mn(,Mxy(0,1)F的轨迹 Q 是以 为准线，点 为焦点，顶点在原点的抛物线， ，即My(0,1)F2p，所以，轨迹 Q 的方程是 (8 分)2p24xy（）由（）得 ， ，所以过点 B 的切线的斜率为 ，切线方程14y 1kx为 ，令 得 ，令 得 ，11()2yx0x21yxy012y因为点 B
5、在 上，所以4y214故 ，21yx1所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 23111|246Sxyxx设 ，即 得 ，所以12S3162x11当 时， ，当 时， ，1xyy所以点 B 的坐标为 或 . (14 分)(,),)3已知椭圆的一个顶点为 01A，焦点在 x轴上，中心在原点若右焦点到直线2yx的距离为 3（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线 )0(kmx与椭圆相交于不同的两点 ,MN当 A时，广东月考联考模拟经典题分类汇编圆锥曲线（教师版）第 3 页 共 15 页求 m的取值范围【答案】解：（1）依题意可设椭圆方程为 12yax ，则右焦点 21,0Fa，由题设 321a，解得
6、32， 4 分故所求椭圆的方程为 12yx。5 分设 PMNxyx、 ，P 为弦 MN 的中点，由 132ymk得 0)1(36)13(22mkk，直线与椭圆相交， 22264310k132k， 8 分2MNPxmk，从而 2Pmykx，13APyk，又 ,AMNP，则：km32，即 122km， 10 分把代入得 2 ，解得 0， 12 分由得 312k，解得 2 13 分综上求得 的取值范围是 m 14 分4 （本题满分 14 分）已知椭圆 : 的一个交点为 ,而且过点 .E210xyab130F13,2H（）求椭圆 的方程； （）设椭圆 的上下顶点分别为 , 是椭圆上异于 的任一点,直线
7、12AP12A分别交 轴于点 ,若直线 与过点 的圆 相切,切点为 .证明：线12,PAxNMOT,NGT段 的长为定值,并求出该定值.OT广东月考联考模拟经典题分类汇编圆锥曲线（教师版）第 4 页 共 15 页【答案】解法一:由题意得 , ,解得 ,23ab214b24,1ab所以椭圆 的方程为 .4E24xy分解法二:椭圆的两个交点分别为 ,123,0F由椭圆的定义可得 ,所以 , ,1272|4aPa21b所以椭圆 的方程为 .4E24xy分（）解法一:由（）可知 ,设 ,120,1A0Pxy直线 : ,令 ,得 ;1PA0yx0Nxy直线 : ,令 ,得 ; 设圆 的圆心为201yx0
8、y01MG,001xh则 ,2r2 20001141xxxhhyyy22004OG广东月考联考模拟经典题分类汇编圆锥曲线（教师版）第 5 页 共 15 页2 22220000011441xxxOTGrhhyyy而 ,所以 ,所以 ,2014xy22001x2024OTy所以 ,即线段 的长度为定值 .|OTT14 分解法二:由（）可知 ,设 ,120,1A0Pxy直线 : ,令 ,得 ;1PA0yx0N直线 : ,令 ,得 ;201yxy01Mxy则 ,而 ,所以 ,200|1OMNy204220041xy所以 ,由切割线定理得20|4x 2|OTN所以 ,即线段 的长度为定值 .14 分|2
9、OTT25(本小题满分 14 分)设抛物线 C的方程为 4xy， M为直线 :(0)lym上任意一点，过点 M作抛物线 的两条切线 ,AB，切点分别为 A, B.（1）当 的坐标为 (0,1)时，求过 三点的圆的方程，并判断直线 l与此圆的位置关系； （2）求证：直线 AB恒过定点；（3）当 m变化时，试探究直线 l上是否存在点 M，使 AB为直角三角形，若存在，有几个这样的点，若不存在，说明理由.【答案】解：(1)当 M的坐标为 (0,1)时，设过 点的切线方程为 1ykx，代入24xy，整理得 24xk，令 ()k，解得 ，广东月考联考模拟经典题分类汇编圆锥曲线（教师版）第 6 页 共 1
10、5 页代入方程得 2x，故得 (,1)2,AB， 2 分因为 M到 B的中点 0的距离为 ，从而过 ,三点的圆的方程为 22()4xy 易知此圆与直线 :1ly相切 . 4 分（2）证法一：设切点分别为 1,Axy, 2B,过抛物线上点 1,Axy的切线方程为11()()ykx，代入 24，整理得 40xk 240y，又因为 21y，所以 12 5 分从而过抛物线上点 1,Ax的切线方程为 1()x即214xy又切线过点 0,My，所以得2104xy 即 102同理可得过点 2,Bx的切线为2，又切线过点 0,y，所以得204xy 即 20xy 6 分即点 1,A， 2,Bxy均满足 02xy
11、即 002xy，故直线 AB的方程为002xy 7 分又 ,M为直线 :()lym上任意一点，故 0xym对任意 0x成立，所以 xy，从而直线 AB恒过定点 (0, . 8 分证法二：设过 0,xy的抛物线的切线方程为 00()ykx，代入24xy，消去 ，得 204kx 0()k即： 20ky 5 分广东月考联考模拟经典题分类汇编圆锥曲线（教师版）第 7 页 共 15 页从而20014xyk，20024xyk此时 12xk， 2所以切点 ,AB的坐标分别为 21(,)A， 2(,)Bk 6 分因为 012124ABxykx， 1212120kx，22201111()xyykk，所以 AB的
12、中点坐标为20(,)xy故直线 的方程为200()yx，即 002xy. 7分又 0,Mx为直线 :()lm上任意一点，故 0m对任意 0x成立，所以 y，从而直线 AB恒过定点 (0, . 8 分证法三：由已知得24x，求导得 2xy，切点分别为 1,Axy, 2B，故过点1,Axy的切线斜率为 1k，从而切线方程为 1()()即214x又切线过点 0,Mxy，所以得2104xy 即 102yy同理可得过点 2,B的切线为2，又切线过点 0,xy，所以得204xy 即 20y 6 分即点 1,Ax， 2,By均满足 02xy即 002xy，故直线 AB的方程为广东月考联考模拟经典题分类汇编圆
13、锥曲线（教师版）第 8 页 共 15 页002xy 7 分又 ,M为直线 :(0)lym上任意一点，故 02xym对任意 0x成立，所以 xy，从而直线 AB恒过定点 (, . 8 分（3）解法一：由（2）中两式知 12,x是方程204xy的两实根，故有1204xyMAB10201020()()xyy2 21 10()x（*）将221,4xy， 0ym，代入上（*）式得MAB 2221112012000()44xxxyy00420()m， 9 分当 1m时， ，直线 l上任意一点 M均有 AB， 为直角三角形； 10 分当 0时， 0MAB， 2， 不可能为直角三角形； 11 分当 1时， ，
14、 . 因为 021214ABxykx，20014MAxyk，所以220000()4MABy若 1ABk，则200()14x，整理得 20()4yx，又因为 0ym，所以 20()，因为方程 20()x有解的充要条件是 2m.广东月考联考模拟经典题分类汇编圆锥曲线（教师版）第 9 页 共 15 页所以当 2m时，有 MAB或 A， MB为直角三角形. 13 分综上所述，当 1时，直线 l上任意一点 ，使 为直角三角形，当 2m时，直线 l上存在两点 ，使 为直角三角形；当 01m或 时， MAB不是直角三角形. 14 分解法二：由（2）知 12MAxk， 2B且 12,x是方程 204xy的两实
15、根，即2004xy，从而 0124y，所以 120MABxk当 0y时，即 m时，直线 l上任意一点 M均有 AB， 为直角三角形； 10 分当 01时，即 时， A与 B不垂直。因为 021214ABxykx，20014Mxyk，所以220000()4MABy若 1ABk，则200()14x，整理得 20()4yx，又因为 0ym，所以 20()，因为方程 20()x有解的充要条件是 2m.所以当 时，有 MAB或 A， MB为直角三角形. 13 分综上所述，当 1时，直线 l上任意一点 ，使 为直角三角形，当 2m时，直线 l上存在两点 ，使 为直角三角形；当 01或 时， MAB不是直角
16、三角形.6 （本小题满分 12 分）已知椭圆 C： )0( 12bayx的离心率为 23，过坐标原点 O且斜率为 21的直线 l与 相交于 A、 B， |（1）求 a、 b的值；（2）若动圆 1)(2ymx与椭圆 C和直线 l都没有公共点，试求 m的取值范围广东月考联考模拟经典题分类汇编圆锥曲线（教师版）第 10 页 共 15 页【答案】 （1）依题意， l： 2xy，不妨设设 ) ,2(tA、 ) ,(tB（ 0）由 02|AB得 42t， t（3 分）所以 23 182abc解得 4， （6 分）（2）由 1)( 1622ymx消去 得 0124832mx，动圆与椭圆没有公共点，当且仅当
17、0146)(3)( 2 或5|9 分，解得 |或 5|（9 分）动圆 )(2yx与直线 2xy没有公共点当且仅当 5|，即 5|。解 5|3m或 |，（10 分）得 的取值范围为 353mm或或或（12 分）7 （本小题满分14分）已知椭圆214yx的左，右两个顶点分别为 A、 B曲线 C是以 A、 B两点为顶点，离心率为 5的双曲线设点 P在第一象限且在曲线 上，直线 P与椭圆相交于另一点 T（1）求曲线 C的方程；（2）设 P、 两点的横坐标分别为 1x、 2，证明： 12x；【答案】 （1）解：依题意可得 (,0)A，(,0)B1 分设双曲线 C的方程为21yxb0，因为双曲线的离心率为 5，所以25，即 2b
