1、1网上搜集的计算行列式方法总结, 还算可以.计算 n 阶行列式的若干方法举例闵 兰摘 要：线性代数是理工科大学学生的一门必修基础数学课程。行列式的计算是线性代数中的难点、重点，特别是 n 阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握。计算 n 阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解。关键词：n 阶行列式 计算方法n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（按照某一列或某一行展开完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用
2、的方法，并举例说明。1利用行列式定义直接计算例 1 计算行列式 01020nDn解 Dn 中不为零的项用一般形式表示为.121!nnaa该项列标排列的逆序数 t（n1 n21n）等于 ，故(1)2n(1)2!.nD2利用行列式的性质计算例 2 一个 n 阶行列式 的元素满足nija2,1,2,ijjian则称 Dn 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零 .证明 由 知 ，即ijjiaii0,12,ian故行列式 Dn 可表示为 123123312300nnnaaa 由行列式的性质 A123123 312300nnnaaD 12312331230() 0nnnnaaaa ()D当 n 为
3、奇数时，得 Dn =D n，因而得 Dn = 0.3化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。例 3 计算 n 阶行列式 abbDba 3解 这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第 2，3，n 列都加到第 1 列上，行列式不变，得()(1)anbbaDanba ()1bba 00()baanab 1()nb4降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多
4、的零出现，然后再展开。例 4 计算 n 阶行列式 010010naDa解 将 Dn 按第 1 行展开41000()00nnaaDa 12()nna.25递推公式法递推公式法：对 n 阶行列式 Dn 找出 Dn 与 Dn1 或 Dn 与 Dn1 , Dn2 之间的一种关系称为逆推公式（其中 Dn, Dn1 , Dn2 等结构相同） ，再由递推公式求出 Dn 的方法称为递推公式法。例 5 证明 1221100nnxxaa ,(2)nnx证明 将 Dn 按第 1 列展开得 12321100nnxxaa 100()1nxx 1naxD由此得递推公式： ，利用此递推公式可得n112()n nxaxD52
5、1nnaxD1nax 6利用范德蒙行列式例 6 计算行列式 122 2112121nnnnxxxD解 把第 1 行的1 倍加到第 2 行，把新的第 2 行的1 倍加到第 3 行，以此类推直到把新的第 n1 行的1 倍加到第 n 行，便得范德蒙行列式1221112()nijijnnxxDx7加边法（升阶法）加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。例 7 计算 n 阶行列式 1212nn nxaaDaxa 解 0nnD6（箭形行列式）1202,1ni aaxnx 第 行 减 第 1行 1200nj naaxx1njax8数学归纳法例 8 计算 n 阶行列式 122
6、1100nnxDxaa 解 用数学归纳法. 当 n = 2 时 1221()xDxa2假设 n = k 时，有 121kkkkDxaxax则当 n = k+1 时，把 Dk+1 按第一列展开，得 11kk11( )kkxaxa12kk由此，对任意的正整数 n，有 121nnDxaxa79拆开法把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。例 9 计算行列式 nD1212nnaa解 n1212nnaa 120nnaa 20naa 1D121na121nia上面介绍了计算 n 阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。
