1、第 1 页 共 6 页 课时跟踪检测（三十七） 空间几何体的表面积与体积 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1 (2017浙江名校联考 )“ 某几何体的三视图完全相同 ” 是 “ 该几何体为球 ” 的 ( ) A充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析： 选 B 由题可得，球的三个视图都是圆，所以三视图完全相同；三视图完全相同的几何体除了球，还有正方体，所以是必要不充分条件 2 (2017长兴中学适应性测试 )一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A 64 B 72 C 80 D 112 解析： 选 C 由题可得，该几何体是一个棱长为 4 的
2、正方体与一个底面是边长为 4 的正方形，高为 3 的四棱锥的组合体，所以其体积为 V 43 13 42 3 80. 3 (2016全国乙卷 )如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是 283 ，则它的表面积是 ( ) A 17 B 18 C 20 D 28 解析： 选 A 由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的 14，得到的几何体如图设球的半径为 R，则 43R3 18 43R3 283 ，解得R 2.因此它的表面积为 78 4R2 34R2 17.故选 A. 4 (2017嘉兴模拟 )如图是一个几何体的三视图，若它的体积是 3 3，
3、则 a _，第 2 页 共 6 页 该几何体的表面积为 _ 解析： 由题可得，该几何体是一个水平放置的三棱柱，其底面是一个底边长为 2、高为a 的等腰三角形，高为 3.因为其体积为 3 3，所以 V 12 2a 3 3a 3 3，解得 a 3.所以该几何体的表面积为 S 2 12 2 3 2 3 3 2 3 18. 答案 ： 3 2 3 18 5 (2015天津高考 )一个几何体的三视图如图所示 (单位： m)，则该几何体的体积为_m3. 解析： 由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为 1，圆柱的底面半径为 1 且其高为 2，故所求几何体的体积为 V
4、13 12 1 2 12 2 83. 答案 ： 83 二保高考，全练题型做到高考达标 1圆台的一个底 面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3，圆台的侧面积为 84，则圆台较小底面的半径为 ( ) A 7 B 6 C 5 D 3 解析： 选 A 设圆台较小底面半径为 r， 则另一底面半径为 3r. 由 S (r 3r)3 84，解得 r 7. 2一个六棱锥的体积为 2 3，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六第 3 页 共 6 页 棱锥的侧面积为 ( ) A 6 B 8 C 12 D 24 解析： 选 C 由题意可知该六棱锥为正六棱锥，正六棱锥的高为 h，侧面的斜高为 h
5、 . 由题 意，得 13 6 34 22 h 2 3， h 1， 斜高 h 12 32 2， S 侧 6 12 2 2 12.故选 C. 3 (2017温州十校联考 )已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是 ( ) A 4 B.163 C 8 D.323 解 析： 选 B 由题可得，该几何体是一个底面为长方形的四棱锥，所以其体积为 V 13 4 2 2 163 . 4 (2017兰州市实战考试 )一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为 ( ) A. 32 B. 32 C 3 D 3 第 4
6、页 共 6 页 解析： 选 A 由题意得，该几何体为四棱锥，且该四棱锥的外接 球即为棱长为 1 的正方体的外接球，其半径为 32 ，故体积为 43 32 3 32 ，故选 A. 5 (2017宁波十校联考 )如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( ) A 2 2 B. 10 C 2 3 D. 13 解析： 选 C 由题可得，该几何体是水平放置的四棱锥，其底面是一个直角梯形所以其最长的棱的长度为 22 22 22 2 3. 6 (2017衢州调研 )已知某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 _
7、；表面积是 _ 解析： 该几何体是一个三棱锥，其高为 2，其底面是一个等腰直角三角形，腰长为 2，所以其体积为 V 13 12 ( 2)2 2 23，表面积为 S 12 2 2 12 ( 2)2 12 2 2 12 2 6 3 3 2. 答案 ： 23 3 3 2 7 (2016合肥市第二次质量检测 )已知球 O的内接圆柱的轴截面是边长为 2 的正方形，则球 O 的表面积为 _ 解析： 由题意可得，球心在轴截面正方形的中心，则外接球的半径 R 12 12 2，该球的表面积为 4R2 8. 答案： 8 8 (2016四川高考 )已知三棱锥的四个面都是腰长为 2 的等腰三角形，第 5 页 共 6
8、页 该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 _ 解析： 由正视图知三棱锥的形状如图所示，且 AB AD BC CD 2， BD 2 3，设O为 BD的中点，连接 OA， OC，则 OA BD， OC BD，结合正视图可知 AO 平面 BCD. 又 OC CD2 OD2 1， V 三棱锥 A BCD 13 12 2 3 1 1 33 . 答案： 33 9 (2017武汉调研 )已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为 4，底面边长为 2 2，则该球的表面积为 _ 解析： 如图，正四棱锥 P ABCD的外接球的球心 O在它的高 PO1上，设球的半径为 R，因为底面边长为 2 2，所以
9、 AC 4.在 Rt AOO1中， R2 (4 R)2 22，所以 R 52，所以球的表面积 S 4R2 25. 答案： 25 10.如图，在四边形 ABCD中， DAB 90 ， ADC 135 ， AB 5， CD 2 2， AD 2，求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几 何体的表面积及体积 解： 由已知得： CE 2， DE 2， CB 5， S 表面 S 圆台侧 S 圆 台下底 S 圆锥侧 (2 5) 5 25 2 2 2 (60 4 2)， V V 圆台 V 圆锥 13(22 52 225 22 ) 4 13 22 2 1483 . 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1 (20
10、17广西质检 )高为 4 的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为( ) A.34 B.14 第 6 页 共 6 页 C.12 D.38 解析： 选 C 由侧视图、俯视图知该几何体是高为 2、底面积为 12 2 (2 4) 6 的四棱锥，其体积为 4.易知直三棱柱的体积为 8，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为 12，故选 C. 2 (2017唐山统考 )三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC且 PA 2， ABC是边长为 3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为 ( ) A.43 B 4
11、C 8 D 20 解析： 选 C 由题意得，此三棱锥外接球即为以 ABC 为底面、以 PA 为高的正三棱柱的外接球，因为 ABC 的外接圆半径 r 32 3 23 1，外接球球心到 ABC 的外接圆圆心的距离 d 1，所以外接球的半径 R r2 d2 2，所以三棱锥外接球的表面积 S 4R2 8，故选 C. 3.如图是一 个以 A1B1C1 为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为 ABC，已知 A1B1 B1C1 2， A1B1C1 90 ， AA1 4， BB1 3， CC1 2，求： (1)该几何体的体积 (2)截面 ABC 的面积 解： (1)过 C作平行于 A1B1C1的截面 A2B2C，交 AA1， BB1分别于点 A2， B2. 由直三棱柱性质及 A1B1C1 90 可知 B2C 平面 ABB2A2， 则该几何体的体积 V VA1B1C1 A2B2C VC ABB2A2 12 2 2 2 13 12 (1 2) 2 2 6. (2)在 ABC 中， AB 22 4 32 5， BC 22 3 22 5， AC 2 22 4 22 2 3. 则 S ABC 12 2 3 52 32 6.
