1、 第 1 页 共 13 页求 函 数 值 域 的 十 种 方 法一 直 接 法 （ 观 察 法 ） ： 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 1求函数 的值域。1yx【解析】 ， ，函数 的值域为 。01yx,)【练习】1求下列函数的值域： ； ；32(1)yxxxf42)( ； ， 。 4 12y2,10【参考答案】 ； ； ； 。1,52,)(,)() 43二 配 方 法 ：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如的函数的值域问题，均可使用配方法。2()()Fxafbfxc例 2求函数 （ ）的值域。24y1,x【解析】 。22()6x ， ， ， ， 。131
2、x2()9x23()65x35y函数 （ ）的值域为 。24y,5例 3求函数 的值域。)4,0(2x【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：配方得： 利用二次函数的相关知识得)(4)(2xfxf )4,0()2()xf，从而得出： 。,00,2y说明：在求解值域(最值) 时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为： 。xf例 4若 ，试求 的最大值。,42y0yxyxlg第 2 页 共 13 页【分析与解】本题可看成第一象限内动点 在直线 上滑动时函数 的最(,)Pxy42yx xyxlgl大值。利用两点 ， 确定一条直线，作出图象易得：(4,
3、0),2，y=1 时， 取最2(0,)lglg(4)lg(1)xyxyxyy而 yxl大值 。2lg【练习】2求下列函数的最大值、最小值与值域： ； ； ；142xy 4,312xy 1,042xy ； ， ； 。5,02xy 5 x2, 6 23yx【参考答案】 ； ； ； ； ；3,)2,1,3, 573,4 60,三 反 函 数 法 ：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。适用类型：分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自变量的函数类型。例 5求函数 的值域。12xy分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，
4、易反解出 ，从而便于求出反函数。x反解得 ，故函数的值域为 。12xyy2(,2)(,)【练习】1求函数 的值域。32yx2求函数 ， 的值域。abycxd0,dxc【参考答案】1 ； 。2(,)(,)3(,)(,)a第 3 页 共 13 页四 分 离 变 量 法 ：适用类型 1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。例 6：求函数 的值域。25xy解： ，17()125xxx ， ，函数 的值域为 。7205yy1|2y适用类型 2：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为 ( 常)xfky为数)的形式。例 7：求函数 的值域。12
5、xy分析与解：观察分子、分母中均含有 项，可利用分离变量法；则有x2。221xxy213()4不妨令： 从而 。)0(),)()2 xfxgf ,43)(xf注意：在本题中若出现应排除 ，因为 作为分母 .所以 故 。0)(f)(f()0,g1,3y另解：观察知道本题中分子较为简单，可令 ，求出 的值域，进而可得到221xtxt的值域。y【练习】1求函数 的值域。132x【参考答案】10(,第 4 页 共 13 页五 、 换 元 法 ：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，
6、当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。例 8：求函数 的值域。21yx解：令 （ ），则 ， 。t0t2tx2215()4ytt当 ，即 时， ，无最小值。函数 的值域为 。12t38xmax54yx(,例 9：求函数 的值域。21()y解：因 ，即 。21()0xx故可令 ， 。cos,1cosincos1cosy21)4sin(2 ， ，45,0in()240i()2故所求函数的值域为 。1,0例 10.求函数 的值域。342xy解：原函数可变形为：21xy可令 X= ，则有tan22sin,cos11xx1sicoi42y当 时，8kmax1y当 时，2in4而
7、此时 有意义。tan第 5 页 共 13 页故所求函数的值域为 41,例 11. 求函数 ， 的值域。(sin)(cos)yx,12x解： 1sincosix令 ，则it21incos()xt2211()()yttt由sincosin()4txx且,12可得：t当 时， ，当 时，2tmax32yt324y故所求函数的值域为 。,4例 12. 求函数 的值域。25yxx解：由 ，可得250|故可令 cos,x545in10si()4y 0544第 6 页 共 13 页当 时，4max410y当 时， in5故所求函数的值域为： 4,10六 、 判 别 式 法 ：把函数转化成关于 的二次方程 ；
8、通过方程有实数根，判别式x(,)0Fxy，从而求得原函数的值域，形如 （ 、 不同时为零）的函数的值域，常用此02112abcya2方法求解。例 13：求函数 的值域。231xy解：由 变形得 ，2x2()(1)30yxy当 时，此方程无解；1y当 时， ， ，xR2()4()yy解得 ，又 ，13y113函数 的值域为2x|y七 、 函 数 的 单 调 性 法 ：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例 14：求函数 的值域。12yx解：当 增大时， 随 的增大而减少， 随 的增大而增大，12x函数 在定义域 上是增函数。12yx(,2 ，函数 的值域为 。12y
9、x1(,2第 7 页 共 13 页例 15. 求函数 的值域。1yx解：原函数可化为： 1x2令 ，显然 在 上为无上界的增函数,121xyx2y,所以 在 上也为无上界的增函数,所以当 x=1 时， 有最小值 ，原函数有最大值21y2显然 ，故原函数的值域为0y,0(适用类型 2：用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减）例 16：求函数 的值域。)4log221x分析与解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：配方得： 由复合函数的单调性（同增异减）2()4()0txxt2()4()0,4t tx所 以 （知： 。,y八 、 利 用 有 界 性
10、 ：一般用于三角函数型，即利用 等。1,cos,1sinxx例 17：求函数 的值域。cosin3xy解：由原函数式可得： ，可化为：sy21si()yxy即23n1 xR si(),即2311y解得： 4y第 8 页 共 13 页故函数的值域为2,4注：该题还可以使用数形结合法。 ，利用直线的斜率解题。cos0in3ixy例 18：求函数 的值域。12xy解：由 解得 ，12xxy ， ，0x0y1y函数 的值域为 。12x(,)九 、 图 像 法 （ 数 形 结 合 法 ） ：其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，
11、一目了然，赏心悦目。例 19：求函数 的值域。|3|5|yx解： ，2|8x(3)5x 的图像如图所示，|3|5|yx由图像知：函数 的值域为|yx8,)例 20. 求函数 的值域。22()()x解：原函数可化简得： |2|8|yx上式可以看成数轴上点 P（x）到定点 A（2 ）， 间的距离之和。()B由上图可知，当点 P 在线段 AB 上时， |8|10yxA当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时， |2|xB85-3 oyx第 9 页 共 13 页故所求函数的值域为： 10,例 21. 求函数 的值域。226345yxx解：原函数可变形为： 2222(3)(0)()(01)yx上
12、式可看成 x 轴上的点 到两定点 的距离之和，,Px3,(,)AB由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时， ，22min|3(1)43y故所求函数的值域为 43,例 22. 求函数 的值域。2261345yxx解：将函数变形为：22()(0)()(01)x上式可看成定点 A（3，2 ）到点 P（x，0）的距离与定点 到点 的距离之差。,B)0,x(P即： |yPB由图可知：（1）当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时，如点 ，则构成 ，根据三 ABP角形两边之差小于第三边，有22|(3)(1)6BA即： 26y（2）当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时，有 |
13、2PBA综上所述，可知函数的值域为： (26,第 10 页 共 13 页例 23、：求函数 的值域.xycos2in3分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式 ，将12xyk原函数视为定点(2，3) 到动点 的斜率，又知动点 满足单位圆的方程，从而问题)sin,(cox)sin,(cox就转化为求点（2 ，3 ）到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得，从而解得： 326,y点评：本题从函数本身的形式入手，引入直线的斜率，结合图形，从而使问题得到巧解。例 24求函数 的值域。xy1分析与解答：令 ， ，则 ， ， ，uv0,vu22vuyvu原问题转化为 ：当直线 与圆 在直角坐标系 的第一象限有公共点时，求直线y2o的截距的取值范围。由图 1 知：当 经过点 时， ；vu),0(min当直线与圆相切时， 。22maxOCDy所以：值域为 222OVUAB CDE
