1、椭圆与双曲线中点弦斜率公式及其推论尤溪文公高级中学 郑明淮圆锥曲线中点弦问题是问题在高考中的一个常见的考点.其解题方法一般是利用点差法和韦达定理，设而不求.但一般来说解题过程是相当繁琐的.若能巧妙地利用下面的定理则可以方便快捷地解决问题.定理 1(椭圆中点弦的斜率公式)：设 为椭圆 弦0(,)Mxy21xyab（ 不平行 轴）的中点，则有：ABy2ABOk证明：设 ， ，则有1(,)x2(,)B， 两式相减12ABykx12yab得： 整理得：22110yab，即221yx，因为 是弦 的中点，所以21212()ybxa0(,)MxyAB，所以012OMky2ABObka定理 2(双曲线中点弦
2、的斜率公式)：设 为双曲线 弦 （0(,)Mxy21xyabAB不平行 轴）的中点，则有 ABy2ABObkayxMF1 F2OAB证明：设 ， ，则有 ， 两式相减得：1(,)Axy2(,)By12ABykx212yab整理得： ，即 ，因为22110ab221bxa2121()yyxxa是弦 的中点，所以 ，所以0(,)MxyAB012OMky2ABOMbk例 1、已知椭圆 ，的一条弦所在的直线方程是 ，弦的中21xyab 30xy点坐标是 ，则椭圆的离心率是（ ） ,（A、 B、 C、 D、122325分析：本题中弦的斜率 且 ，根据定理有 ，即1ABkOM21ba，解得 ，所以 B 答
3、案正确.221ace2e例 2、过椭圆 内的一点 引一条弦，使弦被 点平分，求这264xy(,1)M条弦所在的直线方程.解：设弦所在的直线为 ，根据椭圆中点弦的斜率公式知 ，AB 14ABOk显然 ，所以 ，故所求的直线方程为 ，即12OMk12k1(2)yx.40xy例 3、过椭圆 上的一点 作直线交椭圆于 点，求 中点2163xy(8,0)PQP的轨迹方程.解：设 的中点为 ，则 ， ，由椭圆中点弦的的斜PQ(,)MxyOMykx8PQy率公式得 ，即所求的轨迹方程为9816yx29()16x例 4、已知椭圆 ， 、 是椭圆上的两点，线段 的垂2(0)abABAB直平分线 与 轴交于 ，求
4、证： .lx0(,)Px220ababx证明：设 AB的中点为 ，1(,)Mxy由题设可知 AB与x轴不垂直， 10y，由椭圆的中点弦斜率公式得: 21ABxbkay，所以直线 的方程为： ，令 解得21laykbxl 21()ayxb0y， ， ，即：210a1|a20220babx例 5、已知双曲线 ，经过点 能否作一条直线 ，使 交双曲线2yx(1,)Ml于 、 两点且点 是线段 的中点，若存在这样的直线 ，求出它的方ABABl程；若不存在，说明理由.解：若存在这样的直线 的斜率为 ，则 ，由双曲线中点弦的斜率公式lk1OM知： ，此时 的方程为： ，即 ，将它代入双曲线2k12()yx2yx方程 并化简得： ，而该方程没有实数根.故这样的1yx430直线 不存在.l定理 1 推论：若 、 是椭圆 上关于中心对称的两点， 是椭圆AB21xyabP上任一点，当 、 的斜率 和 都存在时，有 .PPAkB 2PABbka证明：如图：连结 ，取 中点 ，ABPM连结 ，则 ，所以有OM，由椭圆中点弦斜率公式得：PAk.所以 .2OMBba2PABbka类似地可以证明定理 2 推论：若 、 是双曲线上关于中心对称的两点， 是双曲线上的任一点，当 、 的1xyab PAB斜率 和 都存在时，有 .PAkB2PABbka y xMBF 1 F2O AP
