1、 第 1 页（共 12 页） 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集 ,|0,|1URAxBx，则集合 ()UCAB（ ）A |0x B |1 C | D |01x2.设复数 z 满足 (2)5i，则 z（ ）A 23i B C 32i D 32i3.已知1a， 212log,lbc，则（ ）A c B a C ab D cba4.已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ）A若 /,/则 /n B若 m
2、， n，则 mnC若 ， ，则 D若 /， ，则5.设 ,abc是非零向量，已知命题 P：若 0ab， c，则 0ac；命题 q：若 /,abc，则/，则下列命题中真命题是（ ）A pq B C ()pq D ()pq6.6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）A144 B120 C72 D247.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 82 B 8 C 2 D 84第 2 页（共 12 页） 8.设等差数列 na的公差为 d，若数列 12na为递减数列，则（ ）A 0d B 0 C 10 D 10d9.将函数 3si(2)yx的图象向右平移 2个单位长
3、度，所得图象对应的函数（ ）A在区间 7,1上单调递减 B在区间 2上单调递增C在区间 ,63上单调递减 D在区间 上单调递增10.已知点 (2,)A在抛物线 C： 2ypx的准线上，过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B，记 C的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为（ ）A 1 B 3 C 4 D 311.当 2,x时，不等式 20ax恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）A 5 B 96,8 C 6, D 4,3ZXXK12.已知定义在 0,1上的函数 ()fx满足： ()f；对所有 ,xy，且 xy，有 1|()|2fxyx.若对所有 01， |()|fk，则 k 的最小值为（ ）
4、A 12 B 4 C 2 D 18第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）第 3 页（共 12 页） 13.执行右侧的程序框图，若输入 9x，则输出 y . ZXXK14.正方形的四个顶点 (1,)(,1,)(,ABCD分别在抛物线 2yx和 2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是 .15.已知椭圆 C：2194xy，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A，B，线段MN 的中点在 C 上，则 |ANB . 16.对于 0c，当非零实数 a，b 满足 2240abc，且使 |
5、2|ab最大时， 345abc的最小值为 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17.（本小题满分 12 分）在 ABC中，内角 A，B，C 的对边 a，b，c，且 c，已知 2BAC， 1cos3B， b，求：（1）a 和 c 的值；（2） os()的值.第 4 页（共 12 页） 18. （本小题满分 12 分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另一天
6、的日销售量低于 50 个的概率；（2）用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，求随机变量 X 的分布列，期望 ()EX及方差()D.19. （本小题满分 12 分）如图， ABC和 D所在平面互相垂直，且 2ABCD， 012ABCD，E、F分别为 AC、DC 的中点.（1）求证： EF；（2）求二面角 的正弦值.20. （本小题满分 12 分）圆 24xy的切线与 x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图） ，双曲线21:Cab过点 P 且离心率为 3.第 5 页（共 12 页） （1）求 1C的方程；（2）椭圆 2过点 P 且与
7、1有相同的焦点，直线 l过 2C的右焦点且与 2交于 A，B 两点，若以线段 AB为直径的圆心过点 P，求 l的方程.21. （本小题满分 12 分）已知函数 8()cos)(2(sin1)3fxxx， 2(3)cos4(1in)l(3)xgx.证明：（1）存在唯一 0,，使 0f；（2）存在唯一 1()2x，使 1()gx，且对（1）中的 x0 有 1.请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22. （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲学科网如图，EP 交圆于 E、C 两点
8、，PD 切圆于 D，G 为 CE 上一点且 PGD，连接 DG 并延长交圆于点 A，作弦 AB 垂直 EP，垂足为 F.（1）求证：AB 为圆的直径；（2）若 AC=BD，求证：AB=ED.23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程将圆 21xy上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 C.（1）写出 C 的参数方程；第 6 页（共 12 页） （2）设直线 :20lxy与 C 的交点为 12,P，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段 1P的中点且与 l垂直的直线的极坐标方程.24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
9、设函数 ()2|fxx， 2()168gx，记 ()1fx的解集为 M， ()4gx的解集为 N.（1）求 M；（2）当 N时，证明： 22()()4ff.第 7 页（共 12 页） 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学答案1. D 2. A 3. C 4. B 5. A 6. D 7. B 8. C 9. B 10. D 11. C 12. B13. 29C 14. 3 15. 12 16. 217.（）由 得， cosa，又 1cos3，所以 ac=6.由余弦定理，得 22acbB.又 b=3，所以 913.解 2613ca，得 a=2，c=3 或 a=3，c=2.因
10、为 ac, a=3，c=2.（）在 ABC中， 221sin1cos().3B由正弦定理，得 4ii39b，又因为 abc，所以 C 为锐角，因此2247cos1in1()9C.于是 ()cossinBCB= 12423397.18.（）设 1A表示事件“日销售量不低于 100 个” ， 2A表示事件“日销售量低于 50 个” ，B 表示事件“在未来连续 3 天里有连续 2 天日销售量不低于 100 个且另一天的日销售量低于 50 个”.因此1()0.6.40.)5.6P.251A.().28B.（）X 的可能取值为 0,1,2,3.相应的概率为第 8 页（共 12 页） 033()(1.6)
11、0.4PXC,28,23().(.)3,061PXC,分布列为X 0 1 2 3P 0.064 0.288 0.432 0.216因为 XB(3,0.6),所以期望为 E(X)=30.6=1.8，方差 D（X）=30.6（1-0.6）=0.7219.（）证明：（方法一）过 E 作 EOBC，垂足为 O，连 OF，由ABCDBC 可证出EOCFOC，所以EOC=FOC= 2，即 FOBC，又 EOBC，因此 BC面 EFO，又 EF面 EFO，所以 EF BC.（方法二）由题意，以 B 为坐标原点，在平面 DBC 内过 B 左垂直 BC 的直线为 x 轴，BC 所在直线为 y轴，在平面 ABC
12、内过 B 作垂直 BC 的直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.易得 B（0,0,0） ，A(0 ，-1， 3),D( ,-1,0)，C(0,2,0),因而 131(0,),(,0)22EF,所以第 9 页（共 12 页） 3(,0),(0,2)2EFBC，因此 0EFBC,从而 EFBC，所以 EFB.（） （方法一）在图 1 中，过 O 作 OGBF，垂足为 G，连 EG，由平面 ABC平面 BDC，从而 EO平面 BDC，又 OGBF，由三垂线定理知 EG 垂直 BF.因此EGO 为二面角 E-BF-C 的平面角；在EOC 中，EO= 12EC= BCcos30= 32，由BGO
13、BFC 知， 34BOFC,因此tanEGO = OG,从而 sinEGO= 5，即二面角 E-BF-C 的正弦值为 25.（方法二）在图 2 中，平面 BFC 的一个法向量为 1(0,)n，设平面 BEF 的法向量 2(,)nxyz，又3113(,0)(,)2BFBE,由 2BFE得其中一个 2(1,3)n，设二面角 E-BF-C 的大小为 ，且由题意知 为锐角，则 1212cos|,|5n，因 sin= 25= ，即二面角 E-BF-C 的正弦值为 25.20.（）设切点坐标为 00(,),)xy，则切线斜率为 0xy，切线方程为 0()xy，即 04xy，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围
14、成的三角形面积为 001482Sx.由200x知当且仅当 02xy时 0xy有最大值，即 S 有最小值，因此点 P 得坐标为(,)，由题意知 2213ab解得 2,ab，故 1C方程为21yx.（）由（）知 2C的焦点坐标为 (3,0)(,，由此 2C的方程为213xyb，其中 10b.由 (,)P在 2上，得 21b，第 10 页（共 12 页） 解得 b12=3，因此 C2 方程为2163xy显然，l 不是直线 y=0.设 l 的方程为 x=my+ ，点 12(,)(,)AxyB由 2316xm得 2()30m，又 12,y是方程的根，因此123ym，由 123,3xmyxy得121222
15、143()63()xymy 因 1 22(2,(,)APxBPxy由题意知 0APB，所以121)40xyy，将，代入式整理得2640m，解得 3612m或 3612，因此直线 l 的方程为3(1)3xy，或 ()0xy.21.（）当 (0,2时， 2)1sin()cos03fxx，函数 ()fx在 0,2上为减函数，又 286),(033f，所以存在唯一 (,)，使 .（）考虑函数 )cos(4l(),1in2xhx，令 tx，则 ,2时， ,2t，记 3cos()4l()1intutht，则 3()()21sinftut ，由（）得，当 0(,tx时， 0ut，当 0,tx时， ()0ut.在 0(,)x上 u是增函数，又 ()，从而当 (时， ，所以 ()ut在 0,x上无零点.在 2上 (t是减函数，由 0,)4ln2x，存在唯一的 102 ，使 1()t.
