1、1关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。一、求中点弦所在直线方程问题例 1 过椭圆 内一点 M（2，1）引一条弦，使弦被点 M 平分，求这条弦所在的直462yx线方程。解法一：设所求直线方程为 y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得： 016)(4)(8)1( 222 kxkxk又设直线与椭圆的交点为 A( )，B（ ） ，则 是方程的
2、两个根，于是1,y,y2,x，4221x又 M 为 AB 的中点，所以 ，14)2(1kx解得 ，2k故所求直线方程为 。0yx解法二：设直线与椭圆的交点为 A( )，B（ ） ，M（2，1）为 AB 的中点，1,yx,yx所以 ， ，421x21又 A、B 两点在椭圆上，则 ， ，64642两式相减得 ，0)()(2121x所以 ，即 ，422yxy 1ABk故所求直线方程为 。解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为 A( )，由于中点为 M（2，1） ，yx,则另一个交点为 B(4- )，x,因为 A、B 两点在椭圆上，所以有 ，6)2(4)(1yx两式相减得 ，042yx由于过 A、B 的
3、直线只有一条，故所求直线方程为 。二、求弦中点的轨迹方程问题例 2 过椭圆 上一点 P（-8，0）作直线交椭圆于 Q 点，求 PQ 中点的轨迹方程。13642yx解法一：设弦 PQ 中点 M（ ），弦端点 P（ ），Q（ ），x, 1,yx2,yx2则有 ，两式相减得 ，5761922yx 0)(16)(9221 yx又因为 ， ，所以 ，2y21 )()(2121所以 ，而 ，故 。yxy6921)8(0xkPQ869xy化简可得 （ ）。172解法二：设弦中点 M（ ），Q（ ），由 ， 可得 ，yx,1,yx21x1y82x，y21又因为 Q 在椭圆上，所以 ，即 ，36421yx 13
4、64)(2yx所以 PQ 中点 M 的轨迹方程为 （ ）。9)(28三、弦中点的坐标问题例 3 求直线 被抛物线 截得线段的中点坐标。1xyxy42解：解法一：设直线 与抛物线 交于 ， ，其中点2),(1yxA),(2yxB，由题意得 ，),(0yxPxy42消去 y 得 ，即 ，12016所以 ， ，即中点坐标为 。320x20xy)2,3(解法二：设直线 与抛物线 交于 ， ，其中点 ，14,1yxA),2yxB),(0yxP由题意得 ，两式相减得 ，214xy )(212y所以 ，)(12所以 ，即 ， ，即中点坐标为 。41y20310yx)2,3(上面我们给出了解决直线与圆锥曲线相
5、交所得弦中点问题的一些基本解法。下面我们看一个结论引理 设 A、 B 是二次曲线 C： 02FEyDxyAx上的两点，P ),(0yx为弦 AB3的中点，则 )02(00ECyyDAxkB。设 A ),(1、B ),则 0121FyDxx（1）2 （2）2得 0)()()( 2111212121 yExyx )(00 Ey 0CD 20ECy 21x CyDAx021即 CyDAkB02。 （说明：当 BA 时，上面的结论就是过二次曲线 C 上的点 P ),(的切线斜率公式，即yxk0）推论 1 设圆 02FEyDxy的弦 AB 的中点为 P ),(0yx（ )，则EDAB02。 （假设点 P
6、 在圆上时，则过点 P 的切线斜率为）推论 2 设椭圆12bax的弦 AB 的中点为 P ),(0yx（)0，则 0ybkAB。 （注：对 ab 也成立。假设点 P 在椭圆上，则过点 P 的切线斜率为02a）推论 3 设双曲线12byax的弦 AB 的中点为 P ),(0yx（ )则 02yxabkAB。 （假设点 P 在双曲线上，则过 P 点的切线斜率为 02abk）推论 4 设抛物线 pxy2的弦 AB 的中点为 P ),(yx（ )0则 0ypkAB。 （假设点 P在抛物线上，则过点 P 的切线斜率为)0yk我们可以直接应用上面这些结论解决有关问题，下面举例说明。例 1、求椭圆1625y
7、x斜率为 3 的弦的中点轨迹方程。解：设 P（x，y）是所求轨迹上的任一点，则有 yx25163，故所示的轨迹方程为16x+75y=0 )24175(x例 2、已知椭圆,0(2baA、B 是椭圆上两点，线段 AB 的垂直平分线 l 与 x 轴相交于 P )0,(x，求证： abx202。证明：设 AB 的中点为 T ),(1y，由题设可知 AB 与 x 轴不垂直， 01y，EDk024 12yxabkABlAB 12xybakll 的方程为：)(12xy令 y=0 得)(010121xyba 021xbax a|1 xba|022例 3、已知抛物线 C： xy，直线,1)(:xkyl要使抛物线
8、 C 上存在关于 对称的两点， k的取值范围是什么？解：设 C 上两点 A、B 两点关于 l对称，AB 的中点为 P ),(0yx（ ) kpkAB120ky210P l ,1)(0xky,)(1xx 2,PP 在抛物线内 ， k124,43k,0)2)(k .0与抛物线有关的弦的中点的问题（1）中点弦问题：5（上题麻烦了。是圆不用中点法）例 1 由点 向抛物线 引弦，求弦的中点的轨迹方程。)0,2(xy42分析：解决问题的关键是找到弦的端点 A、B 在直线上的性质和在抛物线上的性质的内在联系。解法 1：利用点差法。设端点为 A ，B ，则 ， ，),(1yx),(2y124x2xy两式相减得
9、 ， 412x式两边同时除以 ，得 ， 2x4)(122xyy设弦的中点坐标为 ，则 ， ， ),(x12又点 和点 在直线 AB 上，所以有 。 ),(yx0,212xy将、代入得 ， 整理得 。4xy)(2y故得中点的轨迹方程是 在抛物线 内部的部分。)(2x4解法 2：设弦 AB 所在直线的方程为 ，)2(ky由方程组 消去 并整理得 ， （3）)2(41)(2xykx0842kyk设 A 、B 、中点 ，对于方程（3） ，由根与系数的关系，有 ，),(1,(2,yx ky4216 代入（1）得ky21)2(2xy故得所求弦中点的轨迹方程是 在抛物线 内部的部分。2 xy42评注：（1）
10、求点的轨迹方程即是求曲线上的点的横、纵坐标所满足的关系式，本题所给出的两种方法，都是找动点 与已知条件的内在联系，列关于 ， 的关系式，进而求出轨迹的方),(yx程。（2）弦中点轨迹问题设抛物线 （ ）的弦 AB，A ，B ，弦 AB 的中点 C ，pxy20),(1yx),(2y),(0yx则有 ，)(12211（1）（2）得 ，)2211xpy ，2121xy将 ， ，代入上式，并整理得 ，这就是弦的斜率与中点02121xykAB0ypkAB的关系，要学会推导，并能运用。例 2 已知抛物线 ，过点 作一条直线交抛物线于 A，B 两点，试求弦 AB 的中点轨y2),(Q迹方程。解：如图，设弦
11、 AB 的中点为 M，并设 A、B 、M 点坐标分别为 ，),(1yx， ，根据题意设有),(2yx,( 12xy， ， 2， x1， y2， 21x代入得， ，)(2)(211xy ， ， 21xx21QBAMoyx7代入得， ，即 。22xy47)1(2xy评注：本题还有其他解答方法，如设 AB 的方程为 ，将方程代入 ，1)2(kyxy2利用根与系数的关系，求出弦中点的轨迹方程。89例 6 求直线 被抛物线 截得线段的中点坐标。1xyxy42解：解法一：设直线 与抛物线 交于 ， ，其中点2),(1yxA),(2yxB，由题意得 ，),(0yxPxy42消去 y 得 ，即 ，12016所
12、以 ， ，即中点坐标为 。320x20xy)2,3(解法二：设直线 与抛物线 交于 ， ，其中点 ，14,1yxA),2yxB),(0yxP由题意得 ，两式相减得 ，214xy )(212y10所以 ，4)(12xyy所以 ，即 ， ，即中点坐标为 。120310yx)2,3(用点差法解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为 、 ，将这两点代入圆锥曲),(1yxA),(2B
13、线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。B我们称这种代点作差的方法为“点差法” 。本文用这种方法作一些解题的探索。一、以定点为中点的弦所在直线的方程例 1、过椭圆 内一点 引一条弦，使弦被 点平分，求这条弦所在直线的方程。1462yx)1,2(MM解：设直线与椭圆的交点为 、),(1yxA),(2B为 的中点 )1,2(MB421y又 、 两点在椭圆上，则 ，A621yx6x两式相减得 0)(4)(2121x于是 122 yy24)(42121 xxy即 ，故所求直线的方程为 ，即 。ABk )(1xy042y例 2、已知双曲线 ，经过点 能否作一条直线 ，使 与双曲线交于 、 ，且12yx),MlAB点 是线段 的中点。若存在这样的直线 ，求出它的方程，若不存在，说明理由。Ml策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
