1、圆锥曲线与方程专题 1、椭圆考点 1、椭圆的定义：椭圆的定义：平面内与两个定点 、 的距离的和等于常数 2 （大于 ）的点1F2a21|F的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离 2c 叫椭圆的焦距。特别提示：椭圆的定义中特别要注意条件 ，否则规矩不是椭圆。当 时，动点的cac轨迹是两定点间的线段；当 时，动点的轨迹不存在。2必备方法：1、掌握椭圆定义的集合语言表述有助于增强驾驭数学符号语言的能力，椭圆的集合语言表述如下： |,|2121FaMFP若 为椭圆上任意一点，则有 。M1|2、一般地，遇到与椭圆的焦点距离有关的问题都可以考虑用椭圆的定义解决。典例导悟：例 1、已知 ，
2、是椭圆 C 的两个焦点，过 且垂直于 轴的直线交 C 于)0,(1F),(2 2FxA、B 两点，且 ，则 C 的方程为（ ）3|A、 B、 C、 D、12yx12yx1342yx1452yx例 2、已知点 ，直线 与椭圆 相交于 A、B 两点，则)0,3(M)3(k2的周长为（ ）BA、4 B、8 C、12 D、16例 3、设椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 是 上的点，)0(1:2bayxC1F2PC， ，则 的离心率为（ ）21FPo321A、 B、 C、 D、63213考点 2、椭圆的标准方程：1、椭圆的标准方程：（1）焦点在 x 轴上时： （ ）21yab0ab（2）焦点在 y 轴上
3、时： （ ）12bxa0ab2、在椭圆的标准方程中，都有 ，且 。22c必备方法：1、给出椭圆方程 时，判断椭圆焦点的位置的方法是：椭圆的焦点在 x 轴上12nymx时 ；椭圆的焦点在 轴上时 ，这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方nn法。2、在求解椭圆问题时，首先要判断焦点 、 的位置，这是椭圆的定位条件，它决1F2定椭圆标准方程的类型，而方程中的两个参数 、 确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定ab形条件。3、当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设为 （ ， 且 ）12nymx0nm典例导悟：例 1、已知中心在原点的椭圆 的右焦点为 ，离心率等于 ，则 的方程是（ C)0,1(F2C）A、 B、
4、C、 D、432yx342yx142yx1342yx例 2、已知椭圆 的离心率为 。双曲线 的渐近线)0(1:2baC232与椭圆 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 的方程为（ C）A、 B、 C、 D、128yx162yx1462yx1520yx例 3、对于常数 、 ， “ ”是“方程 的曲线是椭圆”的（ ）mn02nmA、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件考点 3、椭圆的几何性质：必备方法：1、在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出 和 的值，而是根据题目中给ca出的椭圆的几何特征，建立关于参数 、 、 的方程或不
5、等式，通过解方程或不等式求cab得离心率的值或范围。2、椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦、余弦定理。3、涉及直线与椭圆相交问题，常将直线方程与椭圆方程联立方程组，消元转化为一元二次方程，然后结合判别式、根与系数关系（ ， ）解题。abx21cx214、涉及中点弦问题，常用点差法来解决（一、设点；二、代点；三、作差）标准方程 )0(2bayx )0(2bay简 图范 围 byax|,| bxay|,|顶点 )0( )0(对称轴 轴， 轴x对称中心 坐标原点 O焦点坐标 ),(c ),(c轴 长轴长为 ，短轴长为a2b2焦距 cF|1离心率
6、 （ ）ce0e， ， 间关abc系 22ba焦点三角形 （ ）tn21SPF 21PF弦长公式 21212212121 4)(4)(| yykxxk 椭圆上点到焦点的最小距离为 ，最大距离为 。caca典例导悟：例 1、设椭圆的两个焦点分别为 、 ，过 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 ，若1F2 P为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）2PFA、 B、 C、 D、2212例 2、已知 、 是椭圆的两个焦点，过 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 、 两12 1FAB点，若 是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）2ABFA、 B、 C、 D、332223例 3、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距
7、成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）A、 B、 C、 D、52515354例 4、从椭圆 上一点 向 轴作垂线，垂足恰为左焦点 ，)0(:2bayxCPx1F是椭圆与 轴正半轴的交点， 是椭圆与 轴正半轴的交点，且 （ 是坐标yOPAB/原点） ，则该椭圆的离心率是（ ）A、 B、 C、 D、4221223例 5、椭圆 的左、右顶点分别为 、 ，左、右焦点分别为 、)0(:2bayxCAB1F，若 、 、 成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）2F|1A|F|1BA、 B、 C、 D、452125例 6、已知椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，点 在椭圆上，)0(1:2bayxCFAB且 轴，直线
8、交 轴于点 。若 ，则椭圆的离心率是（ ）BFABPBA2A、 B、 C、 D、232131专题 2、双曲线考点 1、双曲线的定义：双曲线的定义：平面上与两个定点 、 距离的差的绝对值为非零常数 2 （小于1F2 a）的动点轨迹是双曲线（ ） 。这两个定点叫做双曲线的焦点，21|F|Pa两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。特别提示：定义中的“绝对值”与 不可忽视。若 ，则轨迹是以 、 为|221Fa|221F1F2端点的两条射线；若 ，则轨迹不存在；若 ，则轨迹为线段 的垂直|221Fa02a1F2平分线。另外，若去掉定义中的绝对值，则轨迹仅表示双曲线的一支。如：方程 表示的双曲线是双曲线的左支。
9、8)6()6( 22yxyx必备方法：1、类比椭圆，双曲线定义的集合语言表述如下： |2,|211FaMFP2、 在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值” 。典例导悟：例 1、已知双曲线 ，点 、 为其两个焦点，点 为双曲线上一点，若2yx12P，则 的值为 2PF|21PF例 2、已知 、 为双曲线 的左、右焦点，点 在 上，:2yxCC，则 （ ）o601|21A、2 B、4 C、6 D、8例 3、已知 、 为双曲线 的左、右焦点，点 在 上，1F2:2yxP，则 （ ）|1P21cosPFA、 B、 C、 D、4534354考点 2、双曲线的标准方程：1、双曲线的标
10、准方程：（1）焦点在 x 轴上时： )0,(12bayx（2）焦点在 y 轴上时： ),(2特别提示：在双曲线方程中 和 的大小关系不定，这一点与椭圆是不同的。ab2、在双曲线的标准方程中，有关系式 成立，且 。22bac0,cba必备方法：1、双曲线的焦点在 轴上 标准方程中 项的系数为正；双曲线的焦点在 轴上x2xy标准方程中 项的系数为正，这是判断双曲线的焦点所在坐标轴的重要方法。2y2、双曲线标准方程的求解方法是“先定型，后计算” 。所谓 “定型” ，是指确定类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是 轴还是 轴，从而设出相应的标准方程的形式；xy所谓“计算” ，是指利用待定系数法求出
11、方程中的 ， 的值，最后写出双曲线的标准方2ab程。3、在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或直接设双曲线的方程为 （ ）12nymx0典例导悟：例 1、在平面直角坐标系 中，已知双曲线 上一点 M 的横坐标为 3，则点xoy124yxM 到此双曲线的右焦点的距离为 例 2、已知双曲线 C： 的焦距为 10，点 P（2，1）在 C 的渐近线)0,(12ba上，则 C 的方程为（ ）A、 B、 C、 D、1520yx205yx208yx1802yx例 3、已知双曲线 C： 和椭圆 有相同的焦点，且双曲),(12ba196线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 例 4、已知
12、抛物线 的准线过双曲线 C： 的一个焦点，且xy82 )0,(2bayx双曲线的离心率为 2，则该双曲线的方程为 考点 3、双曲线的几何性质：必备方法：1、双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点 ”（两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点） ， “四线” （两条对称轴、两条渐近线） ， “两形” （对称中心、一个焦点以及一个虚轴端点构成的三角形、双曲线上的一点和两焦点构成的三角形）研究它们之间的相互关系。2、双曲线的渐近线方程的求解是一个重要问题，已知双曲线方程求其渐近线方程时，一方面可以应用公式求得，另一方面，也可将双曲线方程 中的)0,(12bayx“1”改为“0 ”，便可得到其渐近线方
13、程。另外与双曲线 具有共),(2b同渐近线的双曲线的方程都可以设为 ，然后再根据其他条件求)1,0(2byax出 ，代入便可求出双曲线方程。3、与双曲线 共焦点的圆锥曲线方程为)0,(12bayx且222(bax)2标准方程 )0,(12bayx )0,(12baxy简 图范 围 ax| ay|顶点 )0,( ),0(对称轴 轴， 轴x对称中心 坐标原点 O焦点坐标 ),(c ),(c轴 实轴长为 ，虚轴长为a2b2焦距 cF|1渐近线方程 xaby xay离心率 （ ）ce0e， ， 间关abc系 22b焦点到渐近线的距离焦点三角形 （ ）2tan/21SPF 21PF弦长公式 212121
14、121 4)(4)(| yykxxk 典例导悟：例 1、已知双曲线 C： 的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为（ )0,(2bayx 25）A、 B、 C、 D、xy41xy31xy21xy例 2、已知 F 为 双曲线 C： 的左焦点，P 、Q 为 C 上的点。若 PQ 的长等于虚轴692长的 2 倍，点 A（5，0）在线段 PQ 上，则 的周长为 F例 3、双曲线 的顶点到其渐近线的距离等于（ ）12yxA、 B、 C、1 D、21 2例 4、已知双曲线 的右焦点为（3 ，0） ，则该双曲线的离心率等于（ ）152yaxA、 B、 C、 D、1342334例 5、设 P 为直线 与双曲线 左
15、支的交点， 是左焦点，xaby3)0,(12bay1F垂直于 轴，则双曲线的离心率 1Fxe例 6、已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，)0,(1:21bayC164:22yxC且 的右焦点为 ，则 ， 1)0,5(F例 7、中心在原点，焦点在 轴上的双曲线的一条渐近线经过点 ，则它的离心率为x )2,(（ ）A、 B、 C、 D、652625例 8、设 O 为坐标原点， 、 是双曲线 的焦点，若在双曲线1F2 )0,(12bayx上存在点 P，满足 ， ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）o6021OP7|A、 B、 C、 D、03yx3yx02yx02yx例 9、设双曲线的一个焦点为 F，虚
16、轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）A、 B、 C、 D、23213215例 10、如图， 、 是椭圆 与双曲线 的公共焦点，1F24:21yx2A、B 分别为 与 在第二、四象限的公共点。若四边形 为矩1C2 21BFA形，则 的离心率是 2考点 1、抛物线的定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上) 。定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。特别提示：抛物线的定义中涉及一个定点和一条定直线，要求这个定点不能在定直线上，否则轨迹就不再是一条抛物线，而是一
17、条直线（过定点且与定直线垂直的直线） 。必备方法：、抛物线定义的集合语言表述如下：，即1|dMFP|dFP2、 抛物线的定义实质上实现了一种转化，即将抛物线上的点到焦点的距离转化为这个点到准线的距离，或者把抛物线上的点到准线的距离转化为这个点的到焦点的距离，这种转化在相应的情况下都能起到化繁为简的作用，因此要特别注意抛物线的定义在解题中的重要作用。典例导悟：例 1、已知 F 是抛物线 的焦点，A、B 是该抛物线上的两点， |AF|+|BF|=3，则线段xy2AB 的中点到 轴的距离为（ ）A、 B、1 C、 D、434547例 2、设抛物线 上一点 P 到 轴的距离是 4，则点 P 到抛物线焦
18、点的距离是（ ）xy82yA、4 B、6 C、8 D、12例 3、已知抛物线 的准线与圆 相切，则 的值为（ )0(2p16)3(2yxp）A、 B、1 C、2 D、421例 4、已知过抛物线 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B 两点，|AF|=2，则|BF|= xy42例 5、动点 P 到点 F（2，0）的距离与它到直线 的距离相等，则点 P 的轨迹方程0x为例 6、O 为坐标原点，F 为抛物线 C： 的焦点，P 为 C 上一点，若 ，y24 24|F则 的面积为（ ）POFA、2 B、 C、 D、4232例 7、设抛物线 C： 的焦点为 F，直线 过 F 且与 C 交于 A、B 两点。
19、若xy4l|AF|=3|BF|，则 的方程为（ ）lA、 或 B、 或1xy1)1(3xy)1(3xyC、 或 D、 或)(3)(3xy )(2)(2考点 2、抛物线的标准方程：抛物线的标准方程有四种形式：（1）焦点在 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为 ，焦点坐标为x )0(2pxy，准线方程为 ；)0,2(p2p（2）焦点在 轴的负半轴上的抛物线的标准方程为 ，焦点坐标为x )(2xy，准线方程为 ；),(（3）焦点在 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为 ，焦点坐标为y )0(2pyx，准线方程为 ；)2,0(p2p（4）焦点在 轴的负半轴上的抛物线的标准方程为 ，焦点坐标为y )(2yx，准
20、线方程为 。),(必备方法：1、抛物线的标准方程中参数 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以 的值p p永远大于 0，当抛物线的标准方程中一次项的系数为负值时，不要误以为 。02、抛物线的标准方程的求解方法是“先定型，后计算 ”。所谓“定型” ，是指确定类型，也就是确定抛物线的焦点所在坐标轴是 轴还是 轴，是正半轴还是负半轴，从而设出相xy应的标准方程的形式；所谓“计算”就是指根据题目的条件求出方程中参数 的值，从而p得出抛物线的标准方程。典例导悟：例 1、设抛物线的顶点在原点，准线方程为 ，则抛物线的方程是（ ）2xA、 B、 C、 D、 xy82y42 xy82xy42例 2、动点 P 到点 F（2，0）的距离与它到直线 的距离相等，则点 P 的轨迹方程0为
