1、1值域简单练习题1.求 在 上的值域 6)(2xxf 1，2.求函数 的值域 3f3. 求函数 的值域 1)(2xf4.求函数 的值域 xf5. 132)(xf6. )(2f7. x-13)(xf8. f249. x-)(x10. 2610y11. 5x12. cos32y13.求函数 的值域。1,1xx2值域的求法加强练习题解答题（共 10 小题）1已知函数 的定义域为集合 A，函数 的值域为集合 B，求 AB 和（C RA）（C RB） 2已知函数 f（x）=x 2bx+3，且 f（0）=f（4） （1）求函数 y=f（x）的零点，写出满足条件 f（x）0 的 x 的集合；（2）求函数 y
2、=f（x）在区间（0，3 上的值域3求函数的值域： 4求下列函数的值域：（1）y=3x 2x+2； （2） ； （3） ；（4） ； （5） （6） ；5求下列函数的值域（1） ；（2） ； （3） x0，3且 x1；3（4） 6求函数的值域：y=|x1|+|x+4| 7求下列函数的值域（1）y=x 2+x+2； （2）y=3 2x，x 2，9；（3）y=x 22x3，x（1，2；（4）y= 8已知函数 f（x）=2 2x+2x+1+3，求 f（x）的值域9已知 f（x）的值域为 ，求 y= 的值域10设 的值域为1，4 ，求 a、b 的值4参考答案与试题解析一解答题（共 10 小题）1已知函
3、数 的定义域为集合 A，函数 的值域为集合 B，求 AB 和（C RA）（C RB） 考点： 函数的值域；交、并、补集的混合运算；函数的定义域及其求法。1457182专题： 计算题。分析：由 可求 A，由 可求 B 可求解答： 解：由题意可得A=2，+ ） ，B=（1 ，+） ，C RA=（ ，2 ） ，C RB=（，1（4 分）AB=2 ，+）（C RA）（C RB）= （，1（6 分）点评： 本题主要考查了函数的定义域及指数函数的值域的求解，集合的交集、补集的基本运算，属于基础试题2已知函数 f（x）=x 2bx+3，且 f（0）=f（4） （1）求函数 y=f（x）的零点，写出满足条件
4、f（x）0 的 x 的集合；（2）求函数 y=f（x）在区间（0，3 上的值域考点： 函数的值域；二次函数的性质；一元二次不等式的解法。1457182专题： 计算题。分析： （1）从 f（0）=f（4）可得函数图象关于直线 x=2 对称，用公式可以求出 b=4，代入函数表达式，解一元二次不等式即可求出满足条件 f（x）0 的 x 的集合；（2）在（1）的基础上，利用函数的单调性可以得出函数在区间（0，3上的最值，从而可得函数在（0，3 上的值域解答： 解：（1）因为 f（0）=f（4） ，所以图象的对称轴为 x= =2，b=4，函数表达式为 f（x）=x 24x+3，解 f（x）=0，得 x1
5、=1，x 2=3，因此函数的零点为：1 和 3满足条件 f（x）0 的 x 的集合为（ 1，3）（2）f（x）=（x2） 21，在区间（0，2）上为增函数，在区间（2，3）上为减函数所以函数在 x=2 时，有最小值为 1，最大值小于 f（0）=3因而函数在区间（0，3上的值域的为 1，3） 点评： 本题主要考查二次函数解析式中系数与对称轴的关系、二次函数的单调性与值域问题，属于中档题只要掌握了对称轴公式，利用函数的图象即可得出正确答案3求函数的值域： 考点： 函数的值域。1457182专题： 计算题；转化思想；判别式法。分析： 由于对任意一个实数 y，它在函数 f（x）的值域内的充要条件是关于
6、 x 的方程（y2）x 2+（y+1）x+y 2=0 有实数解，因此“求 f（x）的值域 ”这一问题可转化为 “已知关于 x 的方程（y2 ）x 2+（y+1）x+y 2=0 有实数解，求 y 的取值范围”解答： 解：判别式法：x 2+x+10 恒成立，函数的定义域为 R5由 得：（y2）x 2+（y+1 ）x+y2=0当 y2=0 即 y=2 时，即 3x+0=0，x=0R当 y20 即 y2 时，xR 时方程（y2）x 2+（y+1）x+y2=0 恒有实根，=（y+1） 24（y2） 20，1 y5 且 y2，原函数的值域为1，5点评： 判别式法：把 x 作为未知量，y 看作常量，将原式化
7、成关于 x 的一元二次方程形式，令这个方程有实数解，然后对二次项系数是否为零加以讨论：（1）当二次项系数为 0 时，将对应的 y 值代入方程中进行检验以判断 y 的这个取值是否符合 x 有实数解的要求（2）当二次项系数不为 0 时，利用“xR ， 0”求解，此时直接用判别式法是否有可能产生增根，关键在于对这个方程去分母这一步是不是同解变形4求下列函数的值域：（1）y=3x 2x+2；（2） ；（3） ；（4） ；（5） （6）考点： 函数的值域。1457182专题： 常规题型。分析： （1） （配方法）y=3x 2x+2=3（ x ） 2+（2）看作是复合函数先设 =x 26x5（0） ，则原
8、函数可化为 y= ，再配方法求得 的范围，可得 的范围（3）可用分离变量法：将函数变形，y= = =3+ ，再利用反比例函数求解（4）用换元法设 t= 0，则 x=1t 2，原函数可化为 y=1 t2+4t，再用配方法求解（5）由 1x 201 x1，可用三角换元法：设 x=cos， 0 ， ，将函数转化为 y=cos+sin= sin（+ ）用三角函数求解（6）由 x2+x+10 恒成立，即函数的定义域为 R，用判别式法，将函数转化为二次方程（ y2）x 2+（y+1）x+y2=0 有根求解解答： 解：（1） （配方法）y=3x 2x+2=3 （x ） 2+ ，y=3x 2x+2 的值域为
9、，+ ）（2）求复合函数的值域：设 =x 26x5（0） ，则原函数可化为 y=又= x26x5= （x+3 ） 2+44，04，故 0，2 ，y= 的值域为 0，2（3）分离变量法：y= = =3+ ， 0，3+ 3，6函数 y= 的值域为y R|y3（4）换元法（代数换元法）：设 t= 0，则 x=1t 2，原函数可化为 y=1t 2+4t=（t2） 2+5（t0） ，y 5，原函数值域为（，5注：总结 y=ax+b+ 型值域，变形：y=ax 2+b+ 或 y=ax2+b+（5）三角换元法：1x 201x1，设 x=cos，0 ， ，则 y=cos+sin= sin（+ ） 0，+ ， ，
10、sin （+ ） ， 1， sin（+ ）1， ，原函数的值域为1， （6）判别式法：x 2+x+10 恒成立，函数的定义域为 R由 y= 得：（y2） x2+（y+1）x+y2=0当 y2=0 即 y=2 时，即 3x+0=0，x=0R当 y20 即 y2 时，xR 时方程（y2）x 2+（y+1）x+y2=0 恒有实根，=（y+1） 24（y2） 20，1y5 且 y2，原函数的值域为1，5点评： 本题主要考查求函数值域的一些常用的方法配方法，分离变量法，三角换元法，代数换元法，判别式法5求下列函数的值域（1） ；（2） ；（3） x0，3且 x1；（4） 考点： 函数的值域。145718
11、2分析： （1）把函数转化成关于 tanx 的函数，进而求值域（2）令因为 1x 20，即1 x1，故可 x=sinx，把函数转化成三角函数，利用三角函数的性质求函数的最值7（3）把原式变成 2+ ，设 t= ，通过幂函数 t 的图象即可求出 t 的值域，进而求出函数 y= 的值域（4）令 t=x4，即 x=t+4 代入原函数得出 y 关于 t 的函数，进而求出答案解答： 解：（1）=1+ +4tanx+4=5+ +4tan2x2 +59函数 的值域为9，+）（2）令 x=sin， ， =sincos= sin（ ） ， ， sin（ ）1， 的值域为 ，1（3）y= =2+令 t= ，则其函
12、数图象如下如图可知函数在区间0，1）单调减，在区间（ 1，3 单调增t（，63，+ ）y（，45，+ ）即函数 y= 的值域为（， 45 ，+ ）（4）设 t=x4， x=4+t则= =| +2| 2|t=x40 08y=y0，4即函数 的值域为0，4点评： 本题主要考查求函数的值域问题此类题常用换元、配方、数形结合等方法6求函数的值域：y=|x1|+|x+4| 考点： 函数的值域。1457182专题： 计算题；分类讨论。分析： 由函数表达式知，y0，无最大值，去掉绝对值，把函数写成分段函数的形式，在每一段上依据单调性求出函数的值域，取并集得函数的值域解答：解：数形结合法：y=|x1|+|x+
13、4|=y5，函数值域为5，+） 点评： 本题体现数形结合和分类讨论的数学思想方法7求下列函数的值域（1）y=x 2+x+2；（2）y=32x，x 2，9；（3）y=x 22x 3，x（1，2；（4）y= 考点： 函数的值域。1457182专题： 计算题。分析： （1）求二次函数 y=x 2+x+2 的值域可先求最值，由最值结合图象，写出值域（2）求一次函数 y=32x 在闭区间上的值域，要先求最值，由最值写出值域（3）求二次函数 y=x22x3 在某一区间上的值域，要结合图象，求出最值，再写出值域9（4）求分段函数 y 的值域，要在每一段上求出值域，再取其并集，得出分段函数的值域解答： 解：（
14、1）二次函数 y=x 2+x+2；其图象开口向下，对称轴 x= ，当 x= 时 y 有最大值 ；故函数 y 的值域为：（， ） ；（2）一次函数 y=32x，x2，9 ；单调递减，在 x=2 时，y 有最大值 7；在 x=9 时，y 有最小值15；故函数 y 的值域为：15，7；（3）二次函数 y=x22x3，x （1，2；图象开口向上，对称轴 x=1，当 x=1 时，函数 y 有最小值4；当 x=1 时，y 有最大值 0；所以函数 y 的值域为：4，0） ；（4）分段函数 y= ；当 x6 时， y=x104；当2x 6 时， y=82x，4y12；所以函数 y 的值域为：4，+）（4，12
15、=4，+ ） 点评： 本组 4 个题目求函数的值域，都是在其定义域上先求其最值，根据最值，直接写出其值域；它们都是基础题8已知函数 f（x）=2 2x+2x+1+3，求 f（x）的值域考点： 函数的值域。1457182分析： 注意利用 22x=（2 x） 2 这个式子，很容易把这个看似不识的函数转化为我们再熟悉不过的二次函数解答： 解：令 t=2x，则 t0，f（x）=（2 x） 2+22x+3=t2+2t+3，令 g（t）=t 2+2t+3（t0） ，则 g（t）在1，+）上单调递增，故 f（x）=g（t）g（0）=3，故 f（x）的值域为（3，+） 点评： 二次函数求最值是我们再熟悉不过的
16、函数了，问题的关键是能否把我们不熟悉的函数转化为我们熟悉的二次函数而且采用换元法转化函数的时候，一定要注意换元后变量的范围9已知 f（x）的值域为 ，求 y= 的值域考点： 函数的值域。1457182专题： 计算题。分析： 根据 f（x）的值域，应用不等式的性质先求出被开方数的取值范围，进而求得 y 的值域解答： 解； f（x） ， 2f（x） ，10 1 2f（x ） yy 的值域为： ， 点评： 本题考查不等式的性质10设 的值域为1，4 ，求 a、b 的值考点： 函数的值域。1457182分析： 由题意 f（x）的定义域为 R，可利用判别式法求值域的技巧求参数的值解答： 解：令 y= 即 yx2ax+2yb=0，当 y=0 时，有x= R，此时，a，b 是任意的当 y0 时，有 ，方程有根，可得=a 24y（2yb）0 即 8y24bya 20，又函数的值域是 y1，4，所以1 和 4 是方程 8y24bya 2=0 的两根，由韦达定理得 a=4 ，b=6 综上得 a=4 ，b=6 即所求点评： 本题考查函数的值域问题，属基本题
