1、1以圆为背景的相似三角形的计算与证明【经典母题】如图 Z131，DB 为半圆的直径， A 为 BD 延长线上的一点， AC 切半圆于点E，BCAC 于点 C，交半圆于点 F.已知 AC12， BC9，求 AO 的长图 Z131 经典母题答图解：如答图，连结 OE，设 O 的半径是 R，则 OE OBR .在 RtACB 中，由勾股定理，得AB 15.AC2 BC2AC 切半 圆 O 于点 E，OEAC，OEA90C，OEBC，AEOACB， ， ，解得 R ，OEBC AOAB R9 15 R15 458AOABOB15R .758【思想方法】 利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形，从
2、而得到相似三角形，利用比例线段求 AO 的长【中考变形】1如图 Z132，在 RtACB 中，ACB90，O 是AC 边上的一点，以 O 为圆心，OC 为半径的圆与 AB相切于点 D，连结 OD.(1)求证：ADOACB；(2)若O 的半径为 1，求证： ACAD BC.证明：(1)AB 是O 的切线， ODAB，图 Z1322CADO90 ，AA，ADOACB；(2)由(1)知， ADOACB. ，ADAC ODBCADBCACOD ，OD1， ACAD BC.22017德州 如图 Z133，已知 RtABC，C90，D 为 BC 的中点，以 AC 为直径的O 交 AB 于点 E.(1)求证
3、：DE 是O 的切线；(2)若 AEEB12，BC6，求 AE 的长图 Z133 中考变形 2 答图解：(1)证明：如答 图，连结 OE，EC，AC 是O 的直径，AECBEC90 ，D 为 BC 的中点，EDDCBD，12，OEOC，34，1324，即OEDACB，ACB90 ，OED90 ，DE 是O 的切线；(2)由(1)知BEC90 ，在 RtBEC 与 RtBCA 中，BB， BEC BCA，BECBCA， ，BEBC BCBABC2 BEBA，AEEB12，设 AEx，则 BE2x ，BA3x ，BC 6，622x 3x，解得 x ，即 AE .6 63如图 Z134，已知 AB
4、是O 的直径，BCAB，连结 OC，弦 ADOC ，3直线 CD 交 BA 的延长线于点 E.(1)求证：直线 CD 是O 的切线；(2)若 DE2BC，求 ADOC 的值图 Z134 中考变形 3 答图解：(1)证明：如答 图，连结 DO.ADOC，DAOCOB ，ADOCOD.OAOD， DAOADO，CODCOB.又COCO，ODOB，CODCOB(SAS)，CDOCBO90，即 ODCD.又点 D 在O 上，直线 CD 是O 的切线；(2)由(1)知， CODCOB，CDCB.DE2BC，DE2CD. ADOC ，EDAECO， .ADOC DECE DEDE CD 2342016广东
5、 如图 Z135，O 是ABC 的外接圆，BC 是O 的直径，ABC30.过点 B 作O 的切线 BD，与 CA 的延长线交于点 D，与半径AO 的延长线交于点 E.过点 A 作O 的切线 AF，与直径 BC 的延长线交于点F.(1)求证：ACFDAE；(2)若 SAOC ，求 DE 的长；34(3)连结 EF，求证：EF 是O 的切线4图 Z135 中考变形 4 答图解：(1)证明： BC 为O 的直径，BAC 90 ，又ABC30，ACB60，又OA OC，OAC 为等边三角形，即OACAOC60，AF 为O 的切线， OAF90 ，CAFAFC30 ，DE 为O 的切线，DBCOBE90
6、，DDEA30 ，DCAF， DEAAFC，ACFDAE；(2)AOC 为等边三角形，S AOC OA2 ，34 34OA1，BC2，OB 1，又DBEO30，BD2 ，BE ，DE3 ；3 3 3(3)证明：如答 图，过点 O 作 OMEF 于点 M，OAOB ，OAFOBE90， BOEAOF ，OAFOBE(SAS)，OEOF，EOF120 ，OEMOFM30，OEBOEM30，即 OE 平分BEF，又OBE OME 90 ，OMOB ，EF 为O 的切线52017株洲 如图 Z136，AB 为O 的一条弦，点 C 为劣弧 AB 的中点，E5为优弧 AB 上一点，点 F 在 AE 的延长
7、线上，且 BEEF，线段 CE 交弦 AB于点 D.(1)求证：CE BF ；(2)若 BD2，且 EAEBEC31 ，求BCD 的面积5图 Z136 中考变形 5 答图解：(1)证明：如答 图，连结 AC，BE，作直 线 OC，BEEF，F EBF，AEBEBF F ，F AEB，12C 是 的中点， ，AB AC BC AECBEC， AEBAECBEC，AEC AEB，AECF， CEBF；12(2)DAEDCB， AEDCEB，ADECBE， ，即 ，ADCB AECE ADCB 35CBDCEB， BCDECB，CBECDB， ，即 ，BDCB BECE 2CB 15CB 2 ，AD
8、6，AB8，5点 C 为劣弧 AB 的中点，6OCAB，设 垂足为 G，则 AGBG AB4，12CG 2，CB2 BG2SBCD BDCG 222.12 126如图 Z137，AB 是 O 的直径，C 为O 上一点，AE 和过点 C 的切线互相垂直，垂足为 E，AE 交 O 于点 D，直线 EC 交 AB 的延长线于点 P，连结 AC，BC，PBPC12.(1)求证：AC 平分BAD ；(2)探究线段 PB，AB 之间的数量关系，并说明理由图 Z137 中考变形 6 答图解：(1)证明：如答 图，连结 OC.PE 是O 的切线，OCPE，AEPE，OCAE，DACOCA，OAOC，OCAOA
9、C，DACOAC，AC 平分 BAD；(2)线段 PB，AB 之间的数量关系为 AB3PB.理由：AB 是O 的直径，ACB90 ，BACABC90 ，OBOC，OCBABC，PCBOCB90 ，PCBPAC，P 是公共角， PCBPAC，7 ，PC2PB PA，PCPA PBPCPBPC12，PC2PB，PA4PB，AB3PB .72016枣庄 如图 Z138，AC 是O 的直径，BC 是O 的弦，P 是O 外一点，连结 PA，PB ，AB ，已知PBAC.(1)求证：PB 是O 的切线；(2)连结 OP，若 OPBC，且 OP8，O 的半径为 2 ，求 BC 的长2图 Z138 中考变形
10、7 答图解：(1)证明：如答 图，连结 OB，AC 是 O 的直径，ABC90 ，CBAC90 .OAOB ，BACOBA，PBAC ，PBAOBA90，即 PBOB.PB 是O 的切线；(2)O 的半径 为 2 ，OB2 ，AC4 ，2 2 2OPBC，BOPOBCC，又ABCPBO 90 ，ABCPBO， ，即 ，BC2.BCBO ACPO BC22 42882017聊城 如图 Z139，O 是ABC 的外接圆，O 点在 BC 边上，BAC 的平分线交O 于点 D，连结 BD，CD ，过点 D 作 BC 的平行线，与 AB 的延长线相交于点 P.(1)求证：PD 是O 的切线；8(2)求证
11、：PBDDCA；(3)当 AB6，AC8 时，求线段 PB 的长图 Z139 中考变形 8 答图解：(1)证明： 圆心 O 在 BC 上，BC 是 O 的直径，BAC90 ，如答图，连结 OD，AD 平分BAC，BAC2DAC，DOC2DAC，DOCBAC90 ，即 ODBC，PDBC，ODPD，OD 为O 的半径，PD 是O 的切线；(2)证明：PDBC，PABC，ABCADC， PADC，PBDABD180， ACDABD180，PBDACD，PBDDCA；(3)ABC 为直角三角形，BC2 AB2AC 26 28 2100，BC 10，OD 垂直平分 BC，DBDC，BC 为 O 的直径
12、， BDC90，在 RtDBC 中，DB 2DC 2BC 2，即 2DC2BC 2100，DCDB5 ，PBDDCA，29 ，即 PB .PBDC BDAC DCBDAC 52528 254【中考预测】2017黄冈模 拟如图 Z1310，AB 为O 的直径， CD 与O 相切于点 C，且 ODBC，垂足为 F，OD 交O 于点 E.证明：(1)DAEC；(2)OA2ODOF .图 Z1310 中考预测答图证明：(1)如答 图，连结 OC，CD 与O 相切于点 C，OCD90.OCBDCF90 .DDCF90 ，OCBD，OBOC，OCBB，B AEC ，DAEC；(2)BAEC，D B，ODBC，BFOOCD90，BOFDOC， ，即 ，OCOF ODOB OAOF ODOAOA2ODOF.
