1、1. 以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比.设原子的半径为 R, 体心立方晶胞的空间对角线为 4R, 晶胞的边长为 , 晶胞的体积为 , 一个晶胞包含两个原子, 一个原子占的体积为 ,单位体积晶体中的原子数为 ; 面心立方晶胞的边长为 , 晶胞的体积为 , 一个晶胞包含四个原子, 一个原子占的体积为 , 单位体积晶体中的原子数为 . 因此, 同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比为 =0.272.2. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶
2、面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面.3. 基矢为 , , 的晶体为何种结构? 若 + , 又为何种结构? 为什么? 有已知条件, 可计算出晶体的原胞的体积.由原胞的体积推断, 晶体结构为体心立方. 按照本章习题 14, 我们可以构造新的矢量, . 对应体心立方结构. 根据 14 题可以验证, 满足选作基矢的充分条件.可见基矢为 , , 的晶体为体心立方结构.若+ ,则晶体的原胞的体积,该晶体仍为体心立方结构.4. 若 与 平行, 是否是 的整数倍? 以体心立方和面心立方结构证明之.若 与 平行, 一定是 的整数倍. 对体心立方结构, 由(1.2)式可知, , ,=h +k +l =(k
3、+l) (l+h) (h+k) =p =p(l1 +l2 +l3 ), 其中 p 是( k+l)、(l+h)和( h+k)的公约(整)数. 对于面心立方结构, 由(1.3)式可知, , , ,=h +k +l =(-h+k+l) +(h-k+l) +(h+k-l) =p = p(l1 +l2 +l3 ),其中 p是(- h+k+l)、( -k+h+l)和( h-k+l)的公约(整)数.5. 晶面指数为（123）的晶面 ABC 是离原点 O 最近的晶面， OA、 OB 和 OC 分别与基矢 、 和 重合，除O 点外, OA、 OB 和 OC 上是否有格点？ 若 ABC 面的指数为（234），情况
4、又如何？晶面族（123）截 、 和 分别为 1、2、3 等份， ABC 面是离原点 O 最近的晶面， OA 的长度等于 的长度， OB 的长度等于 的长度的 1/2， OC 的长度等于 的长度的 1/3，所以只有 A 点是格点. 若 ABC面的指数为(234)的晶面族, 则 A、 B 和 C 都不是格点.6. 验证晶面（ ），（ ）和（012）是否属于同一晶带. 若是同一晶带, 其带轴方向的晶列指数是什么?由习题 12 可知,若（ ），（ ）和（012）属于同一晶带, 则由它们构成的行列式的值必定为 0.可以验证=0,说明( ），（ ）和（012）属于同一晶带.晶带中任两晶面的交线的方向即是带
5、轴的方向. 由习题 13 可知, 带轴方向晶列 l1l2l3的取值为l1= =1, l2= =2, l3= =1.7带轴为001的晶带各晶面，其面指数有何特点？带轴为001的晶带各晶面平行于001方向，即各晶面平行于晶胞坐标系的 轴或原胞坐标系的 轴，各晶面的面指数形为（ hk0）或（ h1h20）, 即第三个数字一定为 0.8. 与晶列 l1l2l3垂直的倒格面的面指数是什么?正格子与倒格子互为倒格子. 正格子晶面( h1h2h3)与倒格式 h1 +h2 +h3 垂直, 则倒格晶面(l1l2l3)与正格矢 l1 + l2 + l3 正交. 即晶列 l1l2l3与倒格面( l1l2l3) 垂直
6、.9. 在结晶学中, 晶胞是按晶体的什么特性选取的?在结晶学中, 晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性.10. 六角密积属何种晶系? 一个晶胞包含几个原子?六角密积属六角晶系, 一个晶胞(平行六面体)包含两个原子.11. 体心立方元素晶体, 111方向上的结晶学周期为多大? 实际周期为多大?结晶学的晶胞,其基矢为 ,只考虑由格矢 h +k +l 构成的格点. 因此, 体心立方元素晶体111方向上的结晶学周期为 , 但实际周期为 /2.12. 面心立方元素晶体中最小的晶列周期为多大? 该晶列在哪些晶面内?周期最小的晶列一定在原子面密度最大的晶面内. 若以密堆积模型,
7、则原子面密度最大的晶面就是密排面. 由图 1.9 可知密勒指数(111)可以证明原胞坐标系中的面指数也为(111)是一个密排面晶面族, 最小的晶列周期为 . 根据同族晶面族的性质, 周期最小的晶列处于111面内.13. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？晶体中原子间距的数量级为 米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长应小于 米. 但可见光的波长为 7.64.0 米, 是晶体中原子间距的 1000 倍. 因此, 在晶体衍射中，不能用可见光.14. 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比, 对于同级衍射, 哪一晶面族衍射光弱? 为什么?对于同级衍射, 高指数的晶面族衍射光弱, 低指数的晶面族衍
8、射光强. 低指数的晶面族面间距大, 晶面上的原子密度大, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用强. 相反, 高指数的晶面族面间距小, 晶面上的原子密度小, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用弱. 另外, 由布拉格反射公式可知, 面间距 大的晶面, 对应一个小的光的掠射角 . 面间距 小的晶面, 对应一个大的光的掠射角 . 越大, 光的透射能力就越强, 反射能力就越弱.15. 温度升高时, 衍射角如何变化? X 光波长变化时, 衍射角如何变化?温度升高时, 由于热膨胀, 面间距 逐渐变大. 由布拉格反射公式可知, 对应同一级衍射, 当 X 光波长不变时, 面间距 逐渐变大, 衍射角 逐渐变小.所以
9、温度升高, 衍射角变小.当温度不变, X 光波长变大时, 对于同一晶面族, 衍射角 随之变大.16. 面心立方元素晶体, 密勒指数(100)和(110)面, 原胞坐标系中的一级衍射, 分别对应晶胞坐标系中的几级衍射? 对于面心立方元素晶体, 对应密勒指数(100)的原胞坐标系的面指数可由(1.34)式求得为( ), p=1. 由(1.33)式可知, ; 由(1.16)和(1.18)两式可知, ; 再由(1.26)和(1.27)两式可知, n=2n. 即对于面心立方元素晶体 , 对应密勒指数(100) 晶面族的原胞坐标系中的一级衍射, 对应晶胞坐标系中的二级衍射.对于面心立方元素晶体, 对应密勒
10、指数(110)的原胞坐标系的面指数可由(1.34)式求得为(001), p=2. 由(1.33)式可知, ; 由(1.16)和(1.18)两式可知, ; 再由(1.26)和(1.27)两式可知, n=n, 即对于面心立方元素晶体 , 对应密勒指数(110)晶面族的原胞坐标系中的一级衍射, 对应晶胞坐标系中的一级衍射.17. 由 KCl 的衍射强度与衍射面的关系, 说明 KCl 的衍射条件与简立方元素晶体的衍射条件等效.Cl 与 K 是原子序数相邻的两个元素, 当 Cl 原子俘获 K 原子最外层的一个电子结合成典型的离子晶体后, 与 的最外壳层都为满壳层, 原子核外的电子数和壳层数都相同, 它们
11、的离子散射因子都相同. 因此, 对 X 光衍射来说, 可把 与 看成同一种原子. KCl 与 NaCl 结构相同, 因此, 对 X 光衍射来说, KCl的衍射条件与简立方元素晶体等效.由 KCl 的衍射强度与衍射面的关系也能说明 KCl 的衍射条件与简立方元素晶体的衍射条件等效. 一个KCl 晶胞包含 4 个 离子和 4 个 离子，它们的坐标：（000）（ ）（ ）（ ）：（ ）（ ）（ ）（ ）由（1.45）式可求得衍射强度 Ihkl与衍射面( hkl)的关系Ihkl = 1+cos 由于 等于 , 所以由上式可得出衍射面指数 全为偶数时, 衍射强度才极大. 衍射面指数的平方和 : 4, 8
12、, 12, 16, 20, 24. 以上诸式中的 n 由决定. 如果从 X 光衍射的角度把 KCl 看成简立方元素晶体, 则其晶格常数为 , 布拉格反射公式化为显然 , 衍射面指数平方和 : 1, 2, 3, 4, 5, 6. 这正是简立方元素晶体的衍射规律.18. 金刚石和硅、锗的几何结构因子有何异同?取几何结构因子的(1.44)表达式 , 其中 uj,vj,wj是任一个晶胞内,第 j 个原子的位置矢量在 轴上投影的系数. 金刚石和硅、锗具有相同的结构, 尽管它们的 大小不相同, 但第 j 个原子的位置矢量在 轴上投影的系数相同. 如果认为晶胞内各个原子的散射因子 都一样, 则几何结构因子化
13、为 .在这种情况下金刚石和硅、锗的几何结构因子的求和部分相同. 由于金刚石和硅、锗原子中的电子数和分布不同, 几何结构因子中的原子散射因子 不会相同 . 19. 旋转单晶法中, 将胶片卷成以转轴为轴的圆筒, 胶片上的感光线是否等间距?旋转单晶法中, 将胶片卷成以转轴为轴的圆筒, 衍射线构成了一个个圆锥面. 如果胶片上的感光线如图所示是等间距, 则应有关系式tg .其中 R 是圆筒半径, d 是假设等间距的感光线间距, 是各个圆锥面与垂直于转轴的平面的夹角. 由该关系式可得sin ,即 与整数 m 不成正比. 但可以证明.即 与整数 m 成正比(参见本章习题 23). 也就是说, 旋转单晶法中,
14、 将胶片卷成以转轴为轴的圆筒, 胶片上的感光线不是等间距的. 20. 如图 1.33 所示, 哪一个衍射环感光最重? 为什么?最小衍射环感光最重. 由布拉格反射公式可知, 对应掠射角 最小的晶面族具有最大的面间距 . 面间距最大的晶面上的原子密度最大 , 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用最强. 最小衍射环对应最小的掠射角,它的感光最重.1.是否有与库仑力无关的晶体结合类型?共价结合中, 电子虽然不能脱离电负性大的原子, 但靠近的两个电负性大的原子可以各出一个电子, 形成电子共享的形式, 即这一对电子的主要活动范围处于两个原子之间, 通过库仑力, 把两个原子连接起来. 离子晶体中, 正离子与负
15、离子的吸引力就是库仑力. 金属结合中, 原子实依靠原子实与电子云间的库仑力紧紧地吸引着. 分子结合中, 是电偶极矩把原本分离的原子结合成了晶体. 电偶极矩的作用力实际就是库仑力. 氢键结合中, 氢先与电负性大的原子形成共价结合后, 氢核与负电中心不在重合, 迫使它通过库仑力再与另一个电负性大的原子结合. 可见, 所有晶体结合类型都与库仑力有关.2.如何理解库仑力是原子结合的动力?晶体结合中, 原子间的排斥力是短程力, 在原子吸引靠近的过程中, 把原本分离的原子拉近的动力只能是长程力, 这个长程吸引力就是库仑力. 所以, 库仑力是原子结合的动力. 3.晶体的结合能, 晶体的内能, 原子间的相互作
16、用势能有何区别?自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量, 或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量, 称为晶体的结合能. 原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能.在 0K 时, 原子还存在零点振动能. 但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多. 所以, 在 0K 时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能. 4.原子间的排斥作用取决于什么原因?相邻的原子靠得很近, 以至于它们内层闭合壳层的电子云发生重叠时, 相邻的原子间便产生巨大排斥力. 也就是说, 原子间的排斥作用来自相邻原子内层闭合壳层电子云的重叠. 5. 原子间的排斥作用和吸引作用有何关系? 起主导的范围是
17、什么?在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时, 晶体达到稳定结合状态. 可见, 晶体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力缺一不可. 设此时相邻原子间的距离为 , 当相邻原子间的距离 时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离 时, 吸引力起主导作用 ; 当相邻原子间的距离 , 原子间的吸引力抗击着这一形变. 因此, 固体呈现宏观弹性的微观本质是原子间存在着相互作用力, 这种作用力既包含着吸引力, 又包含着排斥力. 14.你是如何理解弹性的, 当施加一定力,
18、形变大的弹性强呢, 还是形变小的强?对于弹性形变, 相邻原子间的距离在 附近变化. 令 , 则有因为 是相对形变, 弹性力学称为应变, 并计作 S, 所以原子间的作用力再令,.可见, 当施加一定力, 形变 S 大的固体 c 小, 形变 S 小的固体 c 大. 固体的弹性是固体的属性, 它与外力和形变无关. 弹性常数 c 是固体的属性, 它的大小可作为固体弹性强弱的度量. 因此, 当施加一定力, 形变大的弹性弱, 形变小的强. 从这种意义上说, 金刚石的弹性最强.15.拉伸一长棒, 任一横截面上的应力是什么方向? 压缩时, 又是什么方向?如下图所示, 在长棒中取一横截面, 长棒被拉伸时, 从截面
19、的右边看, 应力向右, 但从截面的左边看, 应力向左. 压缩时, 如下图所示, 应力方向与拉伸时正相反. 可见, 应力方向依赖于所取截面的外法线矢量的方向.16.固体中某一面积元两边的应力有何关系?以上题为例, 在长棒中平行于横截面取一很薄的体积元, 拉伸时体积元两边受的应力如图所示. 压缩时体积元两边受的应力如上图所示. 当体积元无限薄, 体积元将变成面积元. 从以上两图可以看出, 面积元两边的应力大小相等方向相反. 17.沿某立方晶体一晶轴取一细长棒做拉伸实验, 忽略宽度和厚度的形变, 由此能否测出弹性劲度常数 ?立方晶体 轴是等价的, 设长棒方向为 x( , 或 , 或 )轴方向, 做拉
20、伸实验时若忽略宽度和厚度的形变, 则只有应力 应变 不为 0, 其它应力应变分量都为 0. 由(2.55)可得 . 设长棒的横截面积为 A, 长度为 L, 拉伸力为 F, 伸长量为 , 则有: . 于是, .18.若把上题等价成弹簧的形变, 弹簧受的力 , 与 有何关系?上题中长棒受的力 长棒的伸长量 即是弹簧的伸长量 x. 因此, 可见, 弹簧的弹性系数 与弹性劲度常数的量纲是不同的 .19.固体中的应力与理想流体中的压强有何关系? 固体受挤压时, 固体中的正应力 与理想流体中的压强是等价的, 但 不同于理想流体中的压强概念. 因为压强的作用力与所考虑截面垂直, 而 与所考虑截面平行. 也就
21、是说, 理想流体中不存在与所考虑截面平行的作用力. 这是因为理想流体分子间的距离比固体原子间距大得多, 流层与流层分子间不存在切向作用力. 20.固体中的弹性波与理想流体中的传播的波有何差异? 为什么?理想流体中只能传播纵波. 固体中不仅能传播纵波, 还能传播切变波. 这是因为理想流体分子间距离大, 分子间不存在切向作用力, 只存在纵向作用力;而固体原子间距离小, 原子间不仅存在纵向作用力, 还存在切向作用力.1. 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 其最大振幅是否相同?以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子的振幅A, 另一个原子振幅 B
22、, 由本教科书的(3.16)可得两原子振幅之比(1)其中 m 原子的质量. 由本教科书的 (3.20)和(3.21)两式可得声学波和光学波的频率分别为, (2). (3)将(2)(3)两式分别代入(1) 式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为, . 由于= ，则由(4)(5)两式可得, . 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常数倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的.2. 引入玻恩卡门条件的理由是什么?(1) 方便于求解原子运动方程.由本教科书的(3.4)式可知, 除了原子链两端的两个原子外 , 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即
23、除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.(2) 与实验结果吻合得较好.对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有 N 个原子构成的的原子链, 硬性假定 的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为了求解近(4)(5)似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(参见本教科
24、书3.2 与3.4). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件 . 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.3. 什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由 N 个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成 3N 个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格
25、波振动通常是这 3N 个简正振动模式的线形迭加. 简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和, 即等于 3N.4. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别?长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子) 晶体不存在光学支格波.5. 晶体中声子数目是否守恒?频率为 的格波的(平均 ) 声子数为,
26、 即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量.按照德拜模型, 晶体中的声子数目 N为.作变量代换，.其中 是德拜温度. 高温时, ,即高温时, 晶体中的声子数目与温度成正比.低温时, ,即低温时, 晶体中的声子数目与 T 3 成正比.6. 温度一定，一个光学波的声子数目多呢, 还是声学波的声子数目多?频率为 的格波的(平均) 声子数为.因为光学波的频率 比声学波的频率 高, ( )大于( ), 所以在温度一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.7. 对同一个振动模式, 温度高时的声子数目多呢, 还是温度低时的声子数目多?设温度 THT
27、L, 由于( )小于( ), 所以温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目.8. 高温时, 频率为 的格波的声子数目与温度有何关系?温度很高时, , 频率为 的格波的(平均) 声子数为. 可见高温时, 格波的声子数目与温度近似成正比.9. 从图 3.6 所示实验曲线, 你能否判断哪一支格波的模式密度大? 是光学纵波呢, 还是声学纵波?从图 3.6 所示实验曲线可以看出, 在波矢空间内, 光学纵波振动谱线平缓, 声学纵波振动谱线较陡. 单位频率区间内光学纵波对应的波矢空间大, 声学纵波对应的波矢空间小. 格波数目与波矢空间成正比, 所以单位频率区间内光学纵波的格波数目大. 而模式密度是单位频率区
28、间内的格波数目, 因此光学纵波的模式密度大于声学纵波的模式密度.10. 喇曼散射方法中，光子会不会产生倒逆散射晶格振动谱的测定中, 光波的波长与格波的波长越接近, 光波与声波的相互作用才越显著. 喇曼散射中所用的红外光，对晶格振动谱来说, 该波长属于长波长范围. 因此, 喇曼散射是光子与长光学波声子的相互作用. 长光学波声子的波矢很小, 相应的动量 不大. 而能产生倒逆散射的条件是光的入射波矢 与散射波矢 要大, 散射角 也要大. 与 大要求波长小, 散射角 大要求 大(参见图), . 但对喇曼散射来说, 这两点都不满足 . 即喇曼散射中，光子不会产生倒逆散射. 11. 长声学格波能否导致离子
29、晶体的宏观极化?长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化, 其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子)产生了相对位移. 长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有相对位移. 因此, 长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化.12. 金刚石中的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率是否相等? 对 KCl 晶体, 结论又是什么? 长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移, 离子的相对位移产生出宏观极化电场, 电场的方向是阻滞离子的位移, 使得有效恢复力系数变大, 对应的格波的频率变高. 长光学格横波不引起离子的位移, 不产生极化电场, 格波的频率不变. 金刚石不是离子晶体, 其长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率相等. 而 KCl 晶体是离子晶体, 它的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率不相等, 长光学纵波频率大于同波矢的长光学格横波频率.13. 何谓极化声子? 何谓电磁声子?
