1、抽象函数的定义域1.已知 )(xf的定义域，求复合函数 的定义域xgf由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若 )(f的定义域为 bax,，求出 )(xgf中的解 x的范围，即为 xg的定义域。bga)(2.已知复合函数 f的定义域，求 f的定义域方法是：若 的定义域为 ，则由 确定 的范围即为gba,x)(x的定义域。)(xf3.已知复合函数 的定义域，求 的定义域()fx()fhx结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由 定义xgf域求得 f的定义域，再由 f的定义域求得 的定义域。f4.已知 的定
2、义域，求四则运算型函数的定义域()x若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。例 1 已知函数 的定义域为 ，求 的定义域()fx15，(35)fx分析：若 的定义域为 ，则在 中， ，从中解得axb g()agxb 的取值范围即为 的定义域本题该函数是由 和 构成的复合函数，x()fgufu其中 是自变量， 是中间变量，由于 与 是同一个函数，因此这里是已知u()fxf，即 ，求 的取值范围15 135x 解： 的定义域为 ， ， ()f135 4103x 故函数 的定义域为 )fx40，例 2 已知函数 的定义域为
3、，求函数 的定义域2(f3，()fx分析：若 的定义域为 ，则由 确定的 的范围即)gxmxn n ()gx为 的定义域这种情况下， 的定义域即为复合函数 的内函数的值域。()fx()f f本题中令 ，则 ，2ux2()xfu由于 与 是同一函数，因此 的取值范围即为 的定义域()ff fx解：由 ，得 03x 215x 令 ，则 ， 2u()(ffu15 故 的定义域为()fx5，例 3. 函数 定义域是 ，则 的定义域是（ ）A. B. C. D. 分析：已知 的定义域，求 的定义域，可先由 定义域求得的定义域，再由 的定义域求得 的定义域解：先求 的定义域的定义域是 ，即 的定义域是 ，
4、再求 的定义域的定义域是 ，故应选 A变式训练：已知函数 f(2x）的定义域是-1，1 ，求 f(log2x)的定义域.分析：先求 2x的值域为 M 则 log2x 的值域也是 M，再根据 log2x 的值域求定义域。解 y=f(2 x)的定义域是-1，1 ，即-1x1, 2 x2.1函数 y=f(log2x)中 log 2x2.即 log2 log 2xlog 24, x4.故函数 f(log2x)的定义域为 ，4例 4 若 的定义域为 ，求 的定义域()fx35()(5)xffx分析：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集解：由 的定
5、义域为 ，则 必有 解得 ()fx35，()x325x， 40x 所以函数 的定义域为 ()x40，变式训练：已知函数 的定义域是 ，求 的定义域。分析：分别求 f(x+a)与 f(x-a)的定义域，再取交集。解： 由已知，有，即函数的定义域由 确定函数 的定义域是例 5 若函数 f(x+1)的定义域为 ，2，求 f(x2)的定义域1分析：已知 f(x+1)的定义域为 ，2，x 满足 x2，于是 x13，得到21f(x)的定义域，然后 f(x2)的定义域由 f(x)的定义域可得解：先求 f(x)的定义域：由题意知 x2，则 x13，即 f(x)的定义域为 ，3，1 21再求 fh(x) 的定义
6、域： x 23，解得 x 或 x 23f(x 2)的定义域是x | x 或 x 3的定义域由 f(x)的定义域可得解：先求 f(x)的定义域：由题意知 x2，则 x13，即 f(x)的定义域为 ，3，1 21再求 fh(x) 的定义域： x 23，解得 x 或 x 1323f(x 2)的定义域是x | x 或 x 求函数值域常用的方法1、直接法从自变量 x 的范围出发，推出 yf(x)的取值范围；2、二次函数法( 配方法)配方法式求“二次函数类” 值域的基本方法。3、分离常数法形如)0(abxdcy的函数，求出 y 的取值范围；4、换元法形如 的函数 点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次
7、函数,利用二次函数的最值,确定原函数的值域，要注意换元后自变量的取值范围。5、反函数法 当函数的反函数存在时， 则其反函数的定义域就是原函数的值域。点拨：先求出原函数的反函数 再求出其定义域。6、判别式法。判别式法是求二次分式函数的基本方法之一，即先去分母，把函数转化成关于 x 的二次方程 f(x，y)0，因为方程有实根，所以判别式0，通过解不等式求得原函数的值域。需注意的是判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内。7、不等式法。不等式法是利用基本不等式：ab2 (a、bR )，是在指定区间上求二次分式函数的基本方法之一，当二次分式函数在指定区间上求值域时可考虑用不等式法。用不等式法求值
8、域，要注意均值不等式的使用条件：“一正、二定、三相等”。8、单调性法。单调性法是通过确定函数在定义域(或某个定义域的子集) 上的单调性求出函数的值域的方法。类型一：一次分式型1.y= (a 0)型例 求函数 y= 的值域。解法一：分离常数法。将 y= 转化为 y= （k 1,k2 为常数），则 y k1解：y= = ，y 。解法二：反函数法。通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。解：反解 y= 得 x= ，对调 y= (x )，函数 y= 的值域为 y 。类型二：二次分式型.y= (a、 d 不同时为 0)，xR 型用判别式法：先去分母，得到含参数 y 的二次方程 f(x)=0,根据判别式
9、0（ =f(y)）,即可求出值域。例 2 求函数 y= 的值域。解：由 y 得 yx23x4y 0。当 y0 时，x0，当 y0 时，由 0 得- y 。函数定义域为 R，函数 y 的值域为- ， 。说明：判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内，但不能用其在指定的区间上求二次函数的值域，否则就会放大值域。2.y= (a、 d 不同时为 0)，指定的区间上求值域型。例 求 （x0, 0。 =1-4x+=(5-4x)+ -42 -4=-2，原函数的值域为 。例 求 的值域。错解： = 2。分析：在使用均值定理时一定要注意使用条件“一定、二正、三相等”，显然上述解法中 和 不能相等，“相等”
10、条件不能成立。所以不能使用均值定理。但若用判别式法又无法解决根式问题，此时可考虑借函数的单调性求值域。解：用单调性法= ，令 =t，显然 t2，则 y=t+ (t2)，任取 2t 1t 2,则 f(t1)= t1+ , f(t2)= t2+ ，f(t1)- f(t2)=( t1+ )-( t2+ )=( t1- t2)( 1- )，2t 1t 2 t 1- t20，f(t 1)- f(t2)=( t1- t2)( 1- )0 。f(t 1) f(t2)，即函数 y=t+ 在 t2 上单调递增。当 t=2、即 =2、x =0 时，y min= ，原函数的值域为 。三解析式的求法1. 配凑法 例
11、1.已知 ： ，求 f(x)；23)1(2xxf解因为 15)(65)(6)( 22 xf，所 以例 2、已知： ，求 。21xxff解： )()1(2f 2x或2.换元法例 1.已知： ，求 f(x);xf2)1(解令 )1(,ttx即则则 )(22tf所以 )(x例 2、已知： ，求 。1)1(2xf )(xf解：设 ，则 ， ，代入已知得tttttf 21)(1)(22 )()(2xxf注意：使用换元法要注意 的范围限制，这是一个极易忽略的地方。t3 待定系数法例 1.已知：f(x) 是二次函数，且 f(2)=-3, f(-2)=-7, f(0)=-3，求 f(x)。解（1）设 则)0(,)(2acbxaxf 37,3ff 解理324cba312cb 21)(xxf4.赋值（式）法例 1、已知函数 对于一切实数 都有 成)(f yx, xyfyxf )12()(立，且 。0)(f(1)求 的值；)f(2)求 的解析式。(x解：（1） 取 ，则有0,1y1)()(ff2)（2）取 ，则有 .0y xfxf )0()0(整理得： )(2f5、方程法例 1、已知： ，求 。)0(,31)(2xfx)(xf解：已知： ,)(f用 去代换 中的 得 : x1xxff3)(12由2得： .0)(f
