1、高中数学 安徽铜陵姚老师：138665007201函数定义域、值域求法总结一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。（3）对数中的真数部分大于 0。 （4）指数、对数的底数大于 0，且不等于 1 （5）y=tanx 中 xk+/2；y=cotx 中 xk 等等。( 6 ) 中 x0二、值域是函数 y=f(x)中 y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式
2、法 （11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。定义域的求法1、直接定义域问题例 1 求下列函数的定义域： ； ； 21)(xf 23)(xf xxf21)(解：x-2=0，即 x=2时，分式 无意义，1而 时，分式 有意义， 这个函数的定义域是 .2x2x 2|x3x+2 定义域为：37|2 定义域的逆向问题例 3 若函数 的定义域是 R，求实数 a 的取值范围 奎 屯王 新 敞新 疆 (定义域的逆向问axy12题)解：定义域是 R,恒02x 21402aa等 价 于练习： 定义域是一切实数，则 m 的取值范围；32logmxy3 复合函数定义域的求法例 4 若函数 的定义域为
3、 1，1，求函数 的定义域 奎 屯王 新 敞新 疆)(xfy )41(xfy)(f解：要使函数有意义，必须： 345431xxx函数 的定义域为：)(fy)1(f 4|x例 5 已知 f(x)的定义域为 1，1，求 f(2x1)的定义域。分析：法则 f要求自变量在1，1内取值，则法则作用在 2x1 上必也要求 2x1在 1，1内取值，即12x 11,解出 x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考 f(2x1)中 2x1 与 f(x)中的 x位置相同，范围也应一样，12x11,解出 x的取值范围就是复合函数的定义域。（注意：f(x)中的 x与 f(2x1)中的 x不是同一个 x，即它们
4、意义不同。 ）解：f(x)的定义域为1，1，12x11，解之 0x1，f(2x1)的定义域为0，1。高中数学 安徽铜陵姚老师：138665007204例 6 已知已知 f(x)的定义域为 1，1，求 f(x2)的定义域。答案：1x21 x21 1x1练习：设 的定义域是3， ，求函数 的定义域 奎 屯王 新 敞新 疆)(xf 2)(xf解：要使函数有意义，必须： 得： 2321x 0 x0x460x 函数 的定域义为：)2(f |例 7 已知 f(2x1)的定义域为0 ，1，求 f(x)的定义域因为 2x1 是 R上的单调递增函数，因此由 2x1， x0,1求得的值域1，1是f(x)的定义域。
5、练习：1 已知 f(3x 1)的定义域为 1，2） ，求 f(2x+1)的定义域。 ）2,5（提示：定义域是自变量 x的取值范围）2 已知 f(x2)的定义域为 1，1，求 f(x)的定义域3 若 的定义域是 ，则函数 的定义域是 （ ）yfx0,212fxfx 1,1, 10,24 已知函数 的定义域为，函数 的定义域为，则（ ）xfyfx B AABAB求值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数 y=ax+b(a 0)的定义域为 R，值域为 R；反比例函数 的定义域为x|x 0，值域为y|y 0；)0(kxy高中数学 安徽铜陵姚老师：138665007205二次函数 的定义域为 R
6、，)0()(2acbxf当 a0时，值域为 ；当 a0， = ，xy12)(当 x0时，则当 时，其最小值 ；ax2abcy4)(2min当 a0）时或最大值（a0）时，0)(0f再比较 的大小决定函数的最大（小）值.),(bfa若 a,b,则a,b是在 的单调区间内，只需比较 的大小即可决定0x)(xf )(,bfa函数的最大（小）值.注：若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习：1、求函数 y=3+ 的值域x32解：由算术平方根的性质，知 0，故 3+ 3。函数的值域为 xx32.,32、求函数 的值域
7、5,0,2xxy解： 对称轴 ,120,4,1maxin值 域 为时时y高中数学 安徽铜陵姚老师：1386650072071 单调性法例 3 求函数 y=4x (x1/3)的值域。x31设 f(x)=4x,g(x)= ,(x1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而 y=f(x)+g(x)=4x- x31在定义域为 x1/3 上也为增函数，而且 yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为y|y4/3 。小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数 y=3+ 的值域。
8、(答案：y|y3)x42 换元法例 4 求函数 的值域 xy12解：设 ，则tx1)0(12tt2, 20max值 域 为 ，时当且 开 口 向 下，对 称 轴 yt点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数 y= 的值域。 （答案：y|y3/4x1求 的值域；xcosin1例 5 （三角换元法）求函数 的值域2xy解： 设1,0cos2, 2,1)4in(sicosinco原 函 数 的 值 域 为 y小结：（1）若题目中含有 ，则可设1a)0,cos(2,sina或 设
9、（2）若题目中含有 则可设 ，其中2bsin,coba20（3）若题目中含有 ，则可设1x，其中x0高中数学 安徽铜陵姚老师：138665007208（4）若题目中含有 ，则可设 ，其中21xtanx2（5）若题目中含有 ，则可设 其中)0,(ry2sin,coryr2,03 平方法例 5 （选）求函数 的值域xxy53解：函数定义域为： ,2,4,2 1,058,5318)5(32原 函 数 值 域 为 得由y xxxx4 分离常数法 例 6 求函数 的值域21xy由 ，可得值域31y小结：已知分式函数 ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量)0(cdxbay的要求）内，值域为 ；如果是条件
10、定义域（对自变量有附加条件） ，采用部分分式法将原函数化为 ，用复合函数法来)(bcadcxbay求值域。练习求函数 的值域6412xy求函数 的值域3x求函数 y= 的值域；（ y(-1，1) ）12x例 7 求 的值域13xy-1 0 1 34-4xy 0 1t2t高中数学 安徽铜陵姚老师：138665007209解法一：（图象法）可化为 如图， 3,412,xy观察得值域 解法二：（不等式法） 同样可得值4114)(13xxx域练习： 的值域 1yx,例 8 求函数 的值域)1,0(239xx解：（换元法）设 ，则 原函数可化为t3t8,2 8,3;2,1,21 maxmin值 域 为
11、时时对 称 轴 ytyttty例 9 求函数 的值域x31解：（换元法）令 ，则1)(22xxt )1(3ty由指数函数的单调性知，原函数的值域为 ,例 10 求函数 的值域)0(2xy解：（图象法）如图，值域为 1,（换元法）设 ，tx3则 1133tyxx001ytt1,原 函 数 的 值 域 为1 0 xy高中数学 安徽铜陵姚老师：1386650072010例 13 函数 的值域12xy解法一：（逆求法） 1012 yyx,原 函 数 的 值 域 为解法二：（换元法）设 ，则 tx2原 函 数 值 域 即 得1201ytt解法三：（判别式法）原函数可化为 010)(2yx1） 时 不成立y2） 时，)1(40yy1y综合 1） 、2）值域 |解法四：（三角换元法） 设 ，则Rx2,tanx1,2cos,2costa12 y原函数的值域为1|y例 14 求函数 的值域3425xy解法一：（判别式法）化为 0)53(2yxy1） 时，不成立0y2） 时， 得50)53(8)4( yy0综合 1） 、2）值域 |y251 tt0
